7-多目标优化方法

多目标优化方法Multi-ObjectiveOptimization第一节概述第三节多目标优化的第一类方法第二节多目标优化设计理论第四节多目标优化的第二类方法第五节多目标优化的第三类方法国际上通常认为多目标最优化问题最早是在1886年由法国经济学家Pareto从政治经济学的角度提出的。多目标规划的真正发达时期，并正式作为一个数学分支进行系统的研究，是上世纪七十年代以后的事。现在，对多目标规划方面的研究集中在以下几个方面:一、关于解的概念及其性质的研究，二、关于多目标规划的解法研究，三、对偶问题的研究，四、不可微多目标规划的研究，五、多目标规划的应用研究。到现在为止，多目标优化不仅在理论上取得许多重要成果，而且在应用上其范围也越来越广泛，多目标决策作为一个工具在解决工程技术、经济、管理、军事和系统工程等众多方面的问题也越来越显示出它强大的生命力。第一节概述1.多目标优化设计示例11221max()45max()fXxxfXx目标函数示例1：某工厂生产两种产品A和B,每件产品A需制造工时和装配工时分别为1时和1.25时，每件产品B需制造工时和装配工时分别为1时和0.75时，每月制造车间和装配车间能够提供的最多工时为200时，另外，每月市场对产品A需求量很大，而对产品B的最大需求量为150件，产品A和产品B的售价分别为4元和5元，问如何安排每月的生产，最大限度的满足市场需求，并产值最大？12ABxx设计变量：产品的件数，产品的件数多目标优化设计模型T121maxF()45Xxxx＝，112212324152..()2000()2001.250.750()1500()0()0stgXxxgXxxgXxgXxgXx示例2：如图所示，设计一苦空心阶梯悬臂梁，根据结构要求，已确定梁的总长为1000mm，第一段外径为80mm，第二段外经为100mm，梁的端部受有集中力F＝12000N，梁的内径不得小于40mm，梁的许用弯曲应力为180MPa，确定梁的内径和各段长度，使梁的体积和静挠度最小。12D1=100D2=80L=1000x1x2F多目标优化设计模型12min()(),)(TFXfXfX6117422232419.7810..()18004.09610()75.20()400()0xstgXxgXxgXxgXx12xx设计变量：第一段梁的长度，梁的内径22221122112()()()()4fXxDxLxDx33214444442212126411()()3LfXxEDxDxDx在单目标优化问题中，任何两个解都可以比较出其优劣，这是因为单目标优化问题是完全有序的；而在多目标优化设计中，任何两个解不一定都可以比较出其优劣，这是因为多目标优化问题是半有序的。2.多目标优化问题解的特点T(1)(1)(1(1)(1)()(1)12T(2)(2)(2)(2)12(1)(2)(1)(21)())2()(),(),,()()(),(),,(),()()(1,2,,)mmllFXfXfXfXFXfXffXfXfXXXlmXXXXX设为多目标优化问题的两个可行解，其对应若对于每一个分量，都则显然，优的目标函数于，记为有为(1)(2)(1)(2)(2)(1)(2)(1)(2)()()()()()()()jjllFXFXfXfXFXfXfXXX大多数情况下，的某几个分量小于的对应分量，但另外几个分量大于的对应分量则显然，与无法比较优劣。1f2f213第一类：转化法。这类多目标最优化方法的基本思想是将多目标问题转化为一个或一系列的单目标优化问题，通过求解一个或一系列单目标优化问题来完成多目标优化问题的求解。3.多目标优化方法分类第二类：非劣解集法。这类多目标最优化方法的基本思想是求得多目标问题的非劣解集，然后在非劣解集中进行协调和选择，确定出优惠解。第三类：交互协调法。这类多目标最优化方法的基本思想是通过在分析者与抉择者间的不断交互，逐渐搞清抉择者的选择意图，获得多目标问题的优惠解。第二节多目标优化设计理论1.多目标优化设计模型..()01,2,,()01,2,,uvstgXuphXvq简记为VOP多目标优化问题(Multi-ObjectiveOptimizationProblem)又称为向量优化问题(VectorOptimizationProblem)。()V-minnFXXDR12min()(),(),,()TmFXfXfXfX2.决策空间与目标空间()01,2,,()01,2,,=uvngXupXhXvqDXR以设计变量为坐标的实空间Rn称为决策空间。以目标函数为坐标的实空间Rm称为目标空间。决策空间可行域：目标空间可行域12=[(),(),,()],mTFmXDFRFfXfXfXXD示例1112212324152..()2000()2001.250.750()1500()0()0stgXxxgXxxgXxgXxgXx决策空间可行域目标空间可行域T121maxF()45Xxxx＝，示例26117422232419.7810..()18004.09610()75.20()400()0xstgXxgXxgXxgXx22221122112()()()()4fXxDxLxDx决策空间可行域目标空间可行域12min()(),)(TFXfXfX33214444442212126411()()3LfXxEDxDxDx3.解的定义（1）理想解(idealsolution)000012[,,,]TmFfff在目标空间内，以单目标最小值为分量而形成的点，称为多目标问题的理想解。0min()njjffXXDR其中在多目标优化问题中，由于各个目标间往往是矛盾的，所以一般不存在使各目标皆达到各自最优值的理想解。fxX(0)f1(0)f2(0)f1f2（2）非劣解（NoninferiorSolution）或Pareto解()()pFXFX对于可行点XPD，若不存在另一个可行点XD，使()()1,2,,,()()ppjjllfXfXjmfXfX但至少有一个成立，则称Xp为多目标问题的非劣解。向量不等式的含义为决策空间非劣解集目标空间非劣解集（3）满意解（最佳协调解或优惠解）11((),(),,())mUUfXfXfX效用函数值的大小反映决策者对多目标值的喜爱程度，一般来说，决策者希望效用函数的值越大越好。效用函数：决策者对多目标函数优化解进行评价的函数，记为使效用函数取最大值的非劣解称为最佳协调解。对于效用函数未知的情况，无法直接求得最佳协调解。我们把多目标优化过程满意结束的解称为优惠解。满意解4多目标优化问题的K－T条件对于多目标优化问题..()01,2,,()01,2,,uvstgXuphXvqVOP(),1,2,,;(),1,2,,;(),1,2,,;juvfXjmgXuphXvq设**VOPjuvXXw皆为连续可微函数，为可行点，则为（）的非劣解的必要条件为：存在、与使***1*1()()()02()01,2,,301,2,,401,2,,pqmjjuuvvjuvuuujwfXgXhXgXupupwjm（）（）（）（）12min()(),(),,()TmFXfXfXfX1.主目标法转化为第三节多目标优化的第一类方法主目标法就是从多目标中依据重要程度选择一个目标作为主目标，而将其它目标转化为约束，即将多目标优化问题12min()(),(),,()s.t.()01,2,,()01,2,,TmuvFXfXfXfXgXuphXvq0min()s.t.()01,2,,()01,2,,()1,2,,,kuvllfXgXuphXvqfXflmlk主目标法中约束目标的约束值选取0*1,2,,,lllfflmlk**()min()1,2,,,XllllXDffXffXlmlk式中为目标函数的单目标极小值，即＝*()0.01~0.02)1,,2,,llllfXflmlk式中为对目标函数的单目标极小值的放大值，一般可取＝（2.线性加权法转化为线性加权法就是将多目标的加权和作为单目标，即将多目标优化问题12min()(),(),,()s.t.()01,2,,()01,2,,TmuvFXfXfXfXgXuphXvqmin()()s.t.()01,2,,()01,2,,mllluvFXwfXgXuphXvq(2）对权系数的要求(3)权系数的确定01,2,,lwlm非负要求11mllw归一化要求老手法**1min()lllXDlwffXf线性加权法的有关说明：（1)线性加权之前，各目标应进行无量纲化处理。3.极小极大法转化为极小极大法就是求取多目标函数中的最大值，然后使最大值函数在可行域内极小化，即将多目标优化问题12min()(),(),,()s.t.()01,2,,()01,2,,TmuvFXfXfXfXgXuphXvq1minmax()s.t.()01,2,,()01,2,,llmuvfXgXuphXvq(2)极小极大法也可以引入一个变量和m个约束，即极小极大法的有关说明：（1)考虑到各目标的重要程度差别，可以对各目标乘以权系数，然后再求最大值函数，即1minmax()s.t.()01,2,,()01,2,,lllmuvwfXgXuphXvqmins.t.()01,2,,()01,2,,()1,2,,uvllgXuphXvqwfXjm4.理想点法转化为理想点法就是将距理想点最近的点作为多目标问题的优惠解，即将多目标优化问题12min()(),(),,()s.t.()01,2,,()01,2,,TmuvFXfXfXfXgXuphXvq200()min()s.t.()01,2,,()01,2,,mlllluvfXfUXfgXuphXvq00012mfff其中，，为多目标问题在目标空间中的理想点。理想点法的有关说明：考虑到各目标的重要程度差别，可以对各目标乘以权系数，即权系数的选取可以参阅线性加权法。200()min()s.t.()01,2,,()01,2,,mllllluvfXfUXwfgXuphXvq5.功效系数法在多目标优化问题，各目标的要求不全相同，有的要求极小化，有的要求极大化，有的要求有一个合适的数值。为了反映这些不同的要求，故引入如下的功效函数：0110jjjjjccfcf的取值为～，＝表示目标的值最满意；＝表示目标的值最不满意。()1,2,,jjcFfjm12maxUjmmcccc取所有的几何平均值为多目标问题的评价函数，即功效系数的确定：1.直线法2.折线法3.指数法6.分层序列法将多目标优化问题的各目标分清主次，按其重要程度逐一排序，然后依次对各目标函数求最优解，但应注意后一目标应在前一目标的最优解域内进行寻优。()1,2,,jfXjm设目标函数的重要程度排序为*11min()fXfXD首先对第一个目标函数求最优值*22*11min()()fXfXDXfXf在第一个目标函数的最优解域中，求第二个目标函数的最优解，即照此继续下去，最后求得第m个目标函数得最优解，真个解即为多目标优化问题的最终解。在分层序列法中，当前面有某个目标函数的最优解唯一时，该方法就发生中断现象，因此需要引入目标容差。*11min()fXfXD首先对第一个目标函数求最优值*22*111min()()fXfXDXfXf