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第四章微分中值定理和导数的应用4.1微分中值定理费马引理：设函数y=f(x)在点的一个邻域上有定义，并在可导，如果（或）则一、罗尔(Rolle)定理1.罗尔（Rolle）定理如果函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）内可导，且在区间端点的函数值相等，即f(a)=f(b)，那么在（a,b）内至少有一点，使得函数f(x)在该点的导数等于零，即。2.几何解释:在曲线弧AB上至少有一点C，在该点处的切线是水平的。例1.判断函数，在[-1，3]上是否满足罗尔定理条件，若满足，求出它的驻点。【答疑编号11040101】解满足在[-1，3]上连续，在（-1，3）上可导，且f(-1)=f(3)=0，∵，取例2.设f(x)=(x+1)(x-2)(x-3)(x-5)，判断有几个实根，并指出这些根所在的区间。【答疑编号11040102】二、拉格朗日(Lagrange)中值定理1.拉格朗日(Lagrange)中值定理如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间（a，b）内可导，那么在（a,b）内至少有一点，使等式成立。注意：与罗尔定理相比条件中去掉了f(a)=f(b)结论亦可写成。2.几何解释:在曲线弧AB上至少有一点C，在该点处的切线平行于弦AB。拉格朗日中值定理又称微分中值定理例3（教材162页习题4.1，3题（2）题）、判断f(x)=sinx在上是否满足拉格朗日中值定理。【答疑编号11040103】推论1如果函数f(x)在区间I上的导数恒为零，那么f(x)在区间I上是一个常数。例4（教材162页习题4.1，4题）、证明【答疑编号11040104】证设又，即，推论2假设在区间I上两个函数f(x)和g(x)的导数处处相等，则f(x)与g(x)至多相差一个常数。4.2洛必达法则一、型及型未定式解法：洛必达法则1、定义如果当x→a（或x→∞）时，两个函数f(x)与F(x)都趋于零或都趋于无穷大，那么极限称为或型未定式。例如,2、定理设（1）当x→0时，函数f(x)及F（x）都趋于零；（2）在a点的某临域内（点a本身可以除外），f＇(x)及F＇(x)都存在且F＇(x)≠0；（3）存在（或为无穷大）；那么。3、定义这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则。当x→∞时，以及x→a，x→∞时，该法则仍然成立。4、例题分析例1、求。【答疑编号11040201】解：原式。例2、求【答疑编号11040202】例3、求【答疑编号11040203】例4、求【答疑编号11040204】例5、求【答疑编号11040205】例6、【答疑编号11040206】例7（教材166页例4）、求。【答疑编号11040207】例8、求。【答疑编号11040208】解：原式。例9、求。【答疑编号11040209】解：原式。例10、求。【答疑编号11040210】例11（教材168页，例8）、求（a＞0）【答疑编号11040211】解：当x→+∞时，lnx→+∞，这是型未定式，用洛必达法则，例12、求（n是正整数）。【答疑编号11040212】解：这是型未定式，接连用洛必达法则n次，得。对于任意的α＞0，同样可以证明。二、型未定式解法关键：将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型。1、0.∞型步骤：，或。例13、求。（0·∞）【答疑编号11040213】解：原式例14、求。【答疑编号11040214】例15（教材169页，例10）、求。【答疑编号11040215】解：当x→∞时，所以这是0·∞型未定式。。2、∞－∞型步骤：例16、求。（∞－∞）【答疑编号11040216】例17（教材172页习题4.2，3题（2）题）、求【答疑编号11040217】3、型步骤：例18、求【答疑编号11040218】解：原式例19、。【答疑编号11040219】解：原式。例20（教材172页习题4.2，4题）、设是连续函数，求a.【答疑编号11040220】注意：洛必达法则的使用条件是分子分母都有导数，且分母的导数不为0，导数比的极限存在。例21、求。【答疑编号11040221】解：原式洛必达法则失效。原式4.3函数的单调性一、单调性的判别法定理设函数y=f(x)在[a,b]上连续，在（a,b）内可导，（1）如果在（a,b）内f＇(x)＞0，那么函数y=f(x),在[a,b]上单调增加；（2）如果在（a,b）内f＇(x)＜0，那么函数y=f(x)在[a,b]上单调减少。例1、讨论函数的单调性。【答疑编号11040301】解：二、单调区间求法问题:如上例，函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调．定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的单调区间.导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点．方法：用方程f＇(x)=0的根及f＇(x)不存在的点来划分函数f(x)的定义区间，然后判断区间内导数的符号。注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性。例2、求的单调区间【答疑编号11040302】例3、确定函数的单调区间。【答疑编号11040303】解：例4、确定的单调区间。【答疑编号11040304】利用导数判断函数的单调性的性质可以证明一些不等式。例5、当x＞0，证明：x＞ln(1+x)这个不等式成立。【答疑编号11040305】单调增函数的含义例6、证明：当x≠0时。【答疑编号11040306】4.5函数的极值与最值函数极值的定义定义设函数f(x)在区间(a,b)内有定义，是（a,b）内的一个点，如果存在着点的一个邻域，对于这邻域内的任何点x，除了点外，f(x)＜均成立，就称是函数f(x)的一个极大值；如果存在着点的一个邻域，对于这邻域内的任何点x，除了点外，f(x)＞均成立，就称是函数f(x)的一个极小值。函数的极大值与极小值统称为极值，使函数取得极值的点称为极值点。函数极值的求法定理1（必要条件）设f(x)在点处具有导数，且在处取得极值，那么必定f＇()=0。定义使导数为零的点（即方程f＇(x)=0的实根）叫做函数f(x)的驻点。注意：可导函数f(x)的极值点必定是它的驻点，但函数的驻点却不一定是极值点。如例7、。【答疑编号11040307】注意:函数的不可导点,也可能是函数的极值点。所以:连续函数的极值点必是函数的驻点和不可导点。定理2（第一充分条件）设函数f(x)在点的一个邻域上连续，在去心邻域上可导。（1）如果，有f＇(x)＞0；而，有f＇(x)＜0，则f(x)在处取得极大值。（2）如果，有f＇(x)＜0；而，有f＇(x)＞0，则f(x)在处取得极小值。（3）如果当及时，f＇(x)符号相同，则f(x)在处无极值。(是极值点情形)(不是极值点情形)求极值的步骤:（1）求定义域；（2）求导数f＇(x)及导数不存在的点；（3）求驻点，即方程f＇(x)=0的根；（4）检查f＇(x)在驻点左右的正负号，判断极值点；（5）求极值。例8、求出函数的极值。【答疑编号11040308】x（-∞，-1）-1（-1,3）3（3,+∞）f＇（x）+0-0+f（x）↑极大值↓极小值↑极大值f(-1)=10,极小值f(3)=-22。定理3（第二充分条件）设f(x)在x0处具有二阶导数，且f＇()=0，f＇＇()≠0，那么（1）当f＇＇()＜0时，函数f(x)在处取得极大值；（2）当f＇＇()＞0时，函数f(x)在处取得极小值。例9、求出函数的极值。【答疑编号11040309】解：f＇(x)=3+6x-24=3(x+4)(x-2)令f＇(x)=0,得驻点=-4，=2。∵f＇＇(x)=6x+6,∵f＇＇(-4)=-18＜0，故极大值f(-4)=60，f＇＇(2)=18＞0，故极小值f(2)=-48。例10、求出函数的极值。【答疑编号11040310】解：当x=2时，f＇(x)不存在，但函数f(x)在该点连续。当x＜2时，f＇(x)＞0；当x＞2时，f＇(x)＜0。∴f(2)=1为f(x)的极大值。二、函数的最值若函数f(x)在[a,b]上连续，除个别点外，处处可导，并且至多有有限个导数为零的点，则f(x)在[a,b]上的最大值与最小值存在。步骤:1.求驻点和不可导点；2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,大的就是最大值,小的就是最小值；应用举例例1、求函数y=2x3+3x2-12x+14的在[-3,4]上的最大值与最小值。【答疑编号11040401】比较得最大值f(4)=142，最小值f(1)=7。实际问题求最值应注意:(1)建立目标函数;(2)求最值;若目标函数只有唯一驻点，则该点的函数值即为所求的最大（或最小）值。例2、由直线y=0，x=8及抛物线y=x2围成一个曲边三角形，在曲边y=x2上求一点使曲线在该点处的切线与直线y=0及x=8所围成的三角形面积最大。【答疑编号11040402】令解得（舍去）。为极大值。故为所有三角形中面积的最大者。补：第三章第六节导数和微分在经济学中的简单应用3．6．1边际分析定义：设y=f(x)是一个经济函数，其导数f＇(x)称为f(x)的边际函数。f＇(x0)称为f(x)在点的边际函数值。成本、收入、利润函数的导数称为边际成本MC、边际收入MR、边际利润ML。例３、（147页例1）已知某产品的产量为q件时总成本为（百元），求q=900件时的边际成本。【答疑编号11040403】解：，即MC=1.5当q从900件改变（增加或减少）1件时，成本要改变150元。3．6．2弹性分析定义：设y=f(x)是一个经济函数，当经济变量x在点x0改变△x时，经济变量y相应地在y0=f(x0)处改变△y=f(x0+△x)-f(x0)，如果极限存在，则称此极限值为y=f(x)在点x0的弹性，记为在任意点的弹性记为，它作为x的函数称为y=f(x)的弹性函数。=例4、（149页例3）设S=S(p)是市场对某一种商品的供给函数，其中p是商品价格，S是市场的供给量，则称为供给价格弹性。由于S一般随p的上升而增加，S（p）是单调增加函数，当△p＞0时，△S＞0，故≥0。其意义是：当价格从p上升1%时，市场供给量从S（p）增加个百分数。【答疑编号11040404】例5、（149页例4）【答疑编号11040405】例6、（07年4月考题）设某商品市场需求量D对价格p的函数关系为，则需求价格弹性是：【答疑编号11040406】解：例7、（05年1月考题）已知某厂生产x件产品的成本为，问：（1）要使平均成本最小，应生产多少件产品？【答疑编号11040407】（2）如产品以每件500元出售，要使利润最大，应生产多少件产品？【答疑编号11040408】解：（1）4.4曲线的凹凸性和拐点曲线凹凸的定义问题:如何研究曲线的弯曲方向?曲线凹凸的判定定理1如果f(x)在[a,b]上连续，在（a,b）内具有二阶导数，若在（a,b）内（1）f＇＇(x)＞0，则f(x)在[a,b]上的图形是凹的；（2）f＇＇(x)＜0，则f(x)在[a,b]上的图形是凸的。例1、判断曲线y=x3的凹凸性。【答疑编号11040501】解：当x＜0时，y＇＇＜0，∴曲线在(-∞,0)为上凸的；当x＞0时，y＇＇＞0，∴曲线在（0，+∞）为上凹的。注意到，点（0，0）是曲线由凸变凹的分界点。曲线的拐点及其求法1.定义连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点。2．拐点的求法拐点只可能是二阶导数为零的点以及二阶导数不存在的点。设函数f(x)在x0的邻域内二阶可导且f＇＇(x0)=0或者二阶不可导：（1）x0两侧f＇＇（x）变号，点（x0,f(x0)）即为拐点；（2）x0两侧f＇＇(x)不变号，点（x0,f(x0)）不是拐点。例2、求曲线y=3x4-4x3+1的拐点及凹凸的区间。【答疑编号11040502】解：x（-∞，0）0（0，2/3）2/3（2/3，+∞）f＇＇（x）+0-0+f（x）凹的拐点（0,1）凸的拐点（2/3,11/27）凹的例3、设函数f(x)在区间（a,b）上恒有f＇