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自考复习资料由北京自考吧整理高等数学(一)北京自考吧导数概念一、问题的提出1.切线问题割线的极限位置——切线位置如图，如果割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT，直线MT就称为曲线C在点M处的切线.极限位置即切线MT的斜率为2.自由落体运动的瞬时速度问题自考复习资料由北京自考吧整理高等数学(一)北京自考吧二、导数的定义设函数y=f（x）在点的某个邻域内有定义，当自变量x在处取得增量Δx（点仍在该邻域内）时，相应地函数y取得增量；如果Δy与Δx之比当Δx→0时的极限存在，则称函数y=f（x）在点处可导，并称这个极限为函数y=f（x）在点处的导数，记为即其它形式关于导数的说明：在点处的导数是因变量在点处的变化率，它反映了因变量随自变量的变化而变化的快慢程度。如果函数y=f（x）在开区间I内的每点处都可导，就称函数f（x）在开区间I内可导。对于任一，都对应着f（x）的一个确定的导数值，这个函数叫做原来函数f（x）的导函数，记作注意：2.导函数（瞬时变化率）是函数平均变化率的逼近函数.导数定义例题：例1、115页8设函数f（x）在点x=a可导，求：自考复习资料由北京自考吧整理高等数学(一)北京自考吧（1）【答疑编号11030101】（2）【答疑编号11030102】三、单侧导数1.左导数：2.右导数：自考复习资料由北京自考吧整理高等数学(一)北京自考吧（x）在点处可导左导数和右导数都存在且相等.例2、讨论函数f（x）=|x|在x=0处的可导性。【答疑编号11030103】解闭区间上可导的定义：如果f（x）在开区间（a，b）内可导，且及都存在，就说f（x）在闭区间[a，b]上可导.由定义求导数步骤：例3、求函数f（x）=C（C为常数）的导数。【答疑编号11030104】解自考复习资料由北京自考吧整理高等数学(一)北京自考吧、设函数【答疑编号11030105】解同理可以得到例5、求例6、求函数的导数。【答疑编号11030106】解自考复习资料由北京自考吧整理高等数学(一)北京自考吧、求函数的导数。【答疑编号11030107】解四、常数和基本初等函数的导数公式五、导数的几何意义表示曲线y=f（x）在点处的切线的斜率，即自考复习资料由北京自考吧整理高等数学(一)北京自考吧、求双曲线处的切线的斜率，并写出在该点处的切线方程和法线方程。【答疑编号11030108】解由导数的几何意义,得切线斜率为所求切线方程为自考复习资料由北京自考吧整理高等数学(一)北京自考吧法线方程为六、可导与连续的关系1.定理凡可导函数都是连续函数.注意：该定理的逆定理不成立，即：连续函数不一定可导。我们有：不连续一定不可导极限存在、连续、可导之间的关系。2.连续函数不存在导数举例例9、讨论函数在x=0处的连续性与可导性。【答疑编号11030109】解：自考复习资料由北京自考吧整理高等数学(一)北京自考吧、P115第10题设，α在什么条件下可使f（x）在点x=0处。（1）连续；（2）可导。【答疑编号11030110】解：（1）（2）自考复习资料由北京自考吧整理高等数学(一)北京自考吧七、小结1.导数的实质：增量比的极限；2.导数的几何意义：切线的斜率；3.函数可导一定连续，但连续不一定可导；4.5.求导数最基本的方法：由定义求导数.6.判断可导性3.2求导法则3.3基本求导公式一、和、差、积、商的求导法则1.定理：如果函数在点x处可导，则它们的和、差、积、商（分母不为零）在点x处也可导，并且自考复习资料由北京自考吧整理高等数学(一)北京自考吧、求的导数。【答疑编号11030201】解例2、求的导数。【答疑编号11030202】解自考复习资料由北京自考吧整理高等数学(一)北京自考吧、求y=tanx的导数。【答疑编号11030203】解同理可得例4、求y=secx的导数。【答疑编号11030204】解自考复习资料由北京自考吧整理高等数学(一)北京自考吧、131页例2设，求.【答疑编号11030205】二、反函数的导数1.定理：如果函数在某区间内单调、可导且，那么它的反函数在对应区间内也可导，且有即反函数的导数等于直接函数导数的倒数.2.例题分析例6、求函数y=arcsinx的导数【答疑编号11030206】解同理可得自考复习资料由北京自考吧整理高等数学(一)北京自考吧、求函数的导数。【答疑编号11030207】解特别地三、小结：初等函数的求导问题1.常数和基本初等函数的导数公式2.函数的和、差、积、商的求导法则设u=u（x），v=v（x）可导，则例8、127页1题（6）（14）（15）（1）1题（6）小题自考复习资料由北京自考吧整理高等数学(一)北京自考吧【答疑编号11030208】解：（2）1题（14）小题【答疑编号11030209】解：（3）1题（15）小题【答疑编号11030210】解：自考复习资料由北京自考吧整理高等数学(一)北京自考吧、115页3若一直线运动的运动方程为，求在t=3时运动的瞬时速度。【答疑编号11030211】解：例10、115页5求曲线的与直线y=5x的平行的切线。【答疑编号11030212】另一条求出来是四、分段函数的求导问题1.114页定理：设（1）如果函数在上连续，在上可导，且当时，则自考复习资料由北京自考吧整理高等数学(一)北京自考吧（2）如果函数在上连续，在上可导，且当时，则2.分段函数的求导问题举例例11、116页11求下列分段函数f（x）的：（1）【答疑编号11030213】解：五、复合函数的求导法则自考复习资料由北京自考吧整理高等数学(一)北京自考吧可导，而y=f（u）在点可导，则复合函数在点x0可导，且其导数为即因变量对自变量求导，等于因变量对中间变量求导，乘以中间变量对自变量求导。（链式法则）推广设，则复合函数的导数为2.例题分析例1.求函数y=lnsinx的导数。【答疑编号11030301】解∵y=lnu，u=sinx.自考复习资料由北京自考吧整理高等数学(一)北京自考吧=（2x2-3x+5）100，求。【答疑编号11030302】例3.求y=sin5x的导数【答疑编号11030303】例4.求函数的导数【答疑编号11030304】解自考复习资料由北京自考吧整理高等数学(一)北京自考吧（教材133页习题3.3，1题（2）小题）求的导数【答疑编号11030305】自考复习资料由北京自考吧整理高等数学(一)北京自考吧高等数学(一)北京自考吧求的导数【答疑编号11030306】例7.求的导数（a0）【答疑编号11030307】例8.求函数的导数【答疑编号11030308】自考复习资料由北京自考吧整理高等数学(一)北京自考吧（教材128页习题3.2，3题（5）小题）求的导数【答疑编号11030309】例10.（教材128页习题3.2，3题（7）小题）求y=（sinnx）（cosnx）的导数【答疑编号11030310】自考复习资料由北京自考吧整理高等数学(一)北京自考吧求的导数【答疑编号11030311】例12.求的导数【答疑编号11030312】自考复习资料由北京自考吧整理高等数学(一)北京自考吧求的导数【答疑编号11030313】例14.求的导数【答疑编号11030314】自考复习资料由北京自考吧整理高等数学(一)北京自考吧（教材习题3.2，8题）已知在点x＝1可导，求a，b。【答疑编号11030315】自考复习资料由北京自考吧整理高等数学(一)北京自考吧幂指函数、抽象的复合函数的求导例题自考复习资料由北京自考吧整理高等数学(一)北京自考吧一、幂指函数求导例1：xx【答疑编号11030401】例2：y=（sinx）cosx求y＇【答疑编号11030402】二、抽象的复合函数求导例3：设f（u）可导，求下列函数的导数（1）f（lnx）+lnf（x）【答疑编号11030403】解：自考复习资料由北京自考吧整理高等数学(一)北京自考吧（2）y=f（e-x）【答疑编号11030404】解：（3）y=ef（x）【答疑编号11030405】（4）【答疑编号11030406】自考复习资料由北京自考吧整理高等数学(一)北京自考吧（5）【答疑编号11030407】3.4高阶导数一、高阶导数的定义问题:变速直线运动的加速度。设s=f（t），则瞬时速度为v（t）=f＇（t）∵加速度α是速度v对时间t的变化率∴a（t）=v＇（t）=[f＇（t）]＇定义如果函数f（x）的导数f＇（x）在点x处可导，即存在，则称（f＇（x））＇为在点x处的二阶导数。记作。二阶导数的导数称为三阶导数,。自考复习资料由北京自考吧整理高等数学(一)北京自考吧三阶导数的导数称为四阶导数,。例4：y=3x2+sinx【答疑编号11030408】一般地，函数