2.3-数学归纳法(第一课时)

2.3数学归纳法(第一课时)问题情境一问题1:大球中有5个小球，如何证明它们都是绿色的？问题2:如果{an}是一个等差数列，怎样得到an=a1+(n-1)d完全归纳法不完全归纳法模拟演示问题情境二数学家费马运用不完全归纳法得出费马猜想的事例：归纳法：由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法（结论一定可靠，但需逐一核对，实施较难）（结论不一定可靠，但有利于发现问题，形成猜想）（1）完全归纳法：考察全体对象，得到一般结论的推理方法（2）不完全归纳法，考察部分对象，得到一般结论的推理方法归纳法分为完全归纳法和不完全归纳法问题情境三多米诺骨牌课件演示问题情境三如何解决不完全归纳法存在的问题呢？如何保证骨牌一一倒下？需要几个步骤才能做到？（1）处理第一个问题；（相当于推倒第一块骨牌）（2）验证前一问题与后一问题有递推关系；（相当于前牌推倒后牌）数学归纳法对于由不完全归纳法得到的某些与自然数有关自然数的数学命题我们常采用下面的方法来证明它们的正确性：（1）证明当n取第一个值n0(例如n0=1)时命题成立，（2）假设当n=k(k∈N*,k≥n0)时命题成立证明当n=k+1时命题也成立，这种证明方法叫做数学归纳法3.数学归纳法的应用：（1）恒等式例1例2例3（2）不等式（3）三角方面（4）整除性例4（5）几何方面例5（6）计算、猜想、证明22222222221231,623512,6347123,64591234,6.情境1.观察下列各等式，你发现了什么？归纳问题情境22222(1)(21)1234.6nnnn思考：你由不完全归纳法所发现的结论正确吗？若不正确，请举一个反例;若正确，如何证明呢？数学建构类比多米诺骨牌游戏证明情境1中的猜想的步骤为：(1)证明当n=1时猜想成立(2)证明若当n=k时命题成立，则n=k+1时命题也成立.22222(1)(21)1234.6nnnn完成了这两个步骤以后就可以证明上述猜想对于所有的正整数n都是成立的。相当于第一张牌能倒下相当于使所有骨牌倒下的第2个条件222222(1)[(1)1][2(1)1]1234(1)6kkkkk目标：证明①当n=1时，左边＝1＝右边,等式显然成立。例证明：数学运用递推基础递推依据22222*(1)(21)1234().6nnnnnN22222(1)(21)12346kkkk22222221234(1)(1)(21)(1)6(1)[(1)1][2(1)1]6kkkkkkkkk②假设当n=k时等式成立，即那么,当n=k+1时，有这就是说，当n=k+1时,等式也成立。根据①和②，可知对任何nN*等式都成立。dnaan)1(1如果是等差数列，已知首项为，公差为，那么}{na1ad对一切都成立．Nn证明：（1）当n=1时，,1a左边,011ada右边等式是成立的．（2）假设当n=k时等式成立，就是,)1(1dkaak那么当n=k+1时，daakk1dkaddka]1)1[(])1([11　　这就是说，当n=k+1时，等式也成立由（1）和（2）可知，等式对任何都成立．Nn练习1用数学归纳法证明：递推基础递推依据11[(1)1]kaakd目标：练习2用数学归纳法证明2*135(21)().nnnN证明（1）当n=1时，左边=1，右边=1，等式成立．2135(21)[2(1)1](1)kkk目标：这就是说，当n=k+1时，等式也成立．由（1）和（2），可知等式对任何正整数n都成立．（2）假设当n=k时，等式成立，即2135(21).kk递推基础递推依据222135(21)[2(1)1][(2(1)1]21(1)kkkkkkk那么当n=k+1时，用数学归纳法证明与正整数有关命题的步骤是：（1）证明当取第一个值（如或2等）时结论正确；10nn0n（2）假设时结论正确，证明时结论也正确．)N(0nkkkn且1kn递推基础递推依据“找准起点，奠基要稳”“用上假设，递推才真”“综合（1）、（2），……”不可少！注意:数学归纳法使用要点：两步骤,一结论。分析下列各题用数学归纳法证明过程中的错误：练习3纠错!（1）2+4+6+8+…+2n=n2+n+1(nN*)证明：假设当n=k时等式成立，即2+4+6+8+…+2k=k2+k+1(kN*)那么，当n=k+1时，有2+4+6+8+…+2k+2（k+1)=k2+k+1+2(k+1)=(k+1)2+(k+1)+1,因此，对于任何nN*等式都成立。缺乏“递推基础”事实上，我们可以用等差数列求和公式验证原等式是不成立的！这就是说，当n=k+1时,命题也成立.11111(1)()()22312111=2(1)1kkkkk左边右边*111(2)()1223(1)1nnNnnn没有用上“假设”，故此法不是数学归纳法请修改为数学归纳法证明①当n=1时,左边=,212111)1(1321211kkkk②假设n=k(k∈N*)时原等式成立，即此时，原等式成立。那么n=k+1时,由①②知,对一切正整数n,原等式均正确.11==1+12右边证明①当n=1时,左边=,21211*111(2)()1223(1)1nnNnnn1)1(1321211kkkk11111223(1)(1)(2)111(1)(2)(1)1kkkkkkkkkk这才是数学归纳法②假设n=k(k∈N*)时原等式成立，即21111右边=此时，原等式成立。那么n=k+1时,这就是说，当n=k+1时,命题也成立.由①②知,对一切正整数n,原等式均正确.11111=(1)()()223111=11nnnnn证二：左边右边，所以原等式成立。*111(2)()1223(1)1nnNnnn这不是数学归纳法（3）（纠错题）课本P87T32nn2(nN*)证明：①当n=1时，2112,不等式显然成立。②假设当n=k时等式成立，即2kk2,那么当n=k+1时，有2k+1=22k=2k+2kk2+k2k2+2k+1=(k+1)2.这就是说，当n=k+1时不等式也成立。根据（1）和（2），可知对任何nN*不等式都成立。虽然既有“递推基础”，又用到假设（“递推依据”），但在证明过程中出现错误，故上述证法错误！事实上，原不等式不成立，如n=2时不等式就不成立。练习巩固n+22n+1*-+++=a≠1,nN11-a1+aaaa...1、用数学归纳法证明：“”在验证n=1成立时，左边计算所得的结果是（）A．1B.C．D.1+a21+a+a231+a+a+a2.已知:,则等于()A:B:C:D:131...2111)(nnnnf)1(kf1)1(31)(Kkf231)(Kkf11431331231)(KKKKkf11431)(KKkfCC3.用数学归纳法证明:1×2＋2×3＋3×4＋……＋n(n＋1)＝)2)(1(31nnn练习巩固4、用数学归纳法证明：2)1()1()1(4321121222nnnnn5．求证:当n∈N*时，nnnnn2121112112141312113.用数学归纳法证明1×2＋2×3＋3×4＋…＋n(n＋1)＝)2)(1(31nnn练习巩固从n=k到n=k+1有什么变化凑假设凑结论证明:2)假设n=k时命题成立,即1×2＋2×3＋3×4＋…＋k(k+1)＝)2)(1(31kkk则当n=k+1时，)1(...433221kk)2)(1(kk)2)(1(31kkk+)2)(1(kk＝=)2)(1(kk)131(k∴n=k+1时命题正确。由(1)和(2)知，当，命题正确。nn=2111)1(31kkk1)当n=1时，左边=1×2=2,右边==2.命题成立1×1×2×333.用数学归纳法证明1×2＋2×3＋3×4＋…＋n(n＋1)＝)2)(1(31nnn练习巩固从n=k到n=k+1有什么变化凑假设凑结论证明:2)假设n=k时命题成立,即1×2＋2×3＋3×4＋…＋k(k+1)＝)2)(1(31kkk则当n=k+1时，)1(...433221kk)2)(1(kk)2)(1(31kkk+)2)(1(kk＝=)2)(1(kk)131(k∴n=k+1时命题正确。由(1)和(2)知，当，命题正确。nn=2111)1(31kkk1)当n=1时，左边=1×2=2,右边==2.命题成立1×1×2×33练习巩固4、用数学归纳法证明2222121(1)1234(1)(1)2nnnnn证明:(1)当n=1时，左边=1,右边===1.命题成立)221()1(1n(2)假设n=k时命题正确，即2222k-12k-1k(k+1)1-2+3-4++(-1)k=(-1)2则当n=k+1时,=+=2)1()1(1kkk2)1()1(kk2222k-121-2+3-4++(-1)kk2+(-1)(k+1)k-k+2k+2(-1)(k+1)()22)2)(1()1(kkk(k+1)-1(k+1)(k+1)+1=(-1)2∴n=k+1时命题正确。由(1)和(2)知，当，命题正确。*nN提什么好呢?注意结论的形式练习巩固nnnnn2121112112141312115．求证:当n∈N*时，证明:)1(2111121213121KKKKKK121121213121KKKKK12111212121211111KKkKK∴n=k+1时命题正确。由(1)和(2)知，当，命题正确。nn(1)当n=1时，左边=21211;右边21∴左边=右边，∴n=1时，命题成立。(2)假设n=k时命题正确，即:KKKKK212111211214131211当n=k+1时，左边=KK211214131211)1(211)1(21KKKKK212111221121KK(2)数学归纳法证题的步骤：两个步骤，一个结论；(3)数学归纳法优点：即克服了完全归纳法的繁杂的缺点，又克服了不完全归纳法结论不可靠的不足。(4)数学归纳法的基本思想：运用“有限”的手段来解决“无限”的问题(1)数学归纳法是一种证明与正整数有关的数学命题的重要方法回顾反思