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自考复习资料由北京自考吧整理高等数学(一)北京自考吧数列极限一、概念的引入（割圆术）“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”——刘徽正六边形的面积A1正十二边形的面积A2正6×2n-1形的面积AnA1，A2，A3，…，An，…→…S二、数列的定义定义:按自然数1，2，3…编号依次排列的一列数x1，x2，…，xn，…（1）称为无穷数列，简称数列。其中的每个数称为数列的项，xn称为通项（一般项）。数列（1）记为{xn}。例如2，4，8，…，2n，…；{2n}自考复习资料由北京自考吧整理高等数学(一)北京自考吧注意：（1）数列对应着数轴上一个点列，可看作一动点在数轴上依次取（2）数列是整标函数xn=f（n）三、数列的极限1.定义设{xn}是一数列，如果存在常数a，当n无限增大时，xn无限接近于常数a，则称数列{xn}收敛，a是数列{xn}的极限，或者称数列xn收敛于a，记为。如果数列没有极限，就说数列是发散的。例如2，4，8，…，2n，…；{2n}，发散，发散收敛于02.数列极限的性质（1）唯一性定理每个收敛的数列只有一个极限。（2）有界性定义:对数列xn，若存在正数M，使得一切自然数n,恒有|xn|≤M成立,则称数列xn有界，自考复习资料由北京自考吧整理高等数学(一)北京自考吧否则，称为无界。例如，数列有界，数列无界数轴上对应于有界数列的点xn都落在闭区间[-M，M]上。定理收敛的数列必定有界。注意：有界性是数列收敛的必要条件。推论无界数列必定发散。（3）保号性收敛数列的保号性：假设数列{αn}收敛，其极限为α，1）若有正整数N，n＞N时，αn＞0（或＜0），则α≥0（或α≤0）2）若α＞0（或＜0，则有正整数N，使得当n＞N时，αn＞0（或＜0）2.2级数1.级数的定义:称为数项无穷级数（或简称数项级数），un为一般项。2.级数的部分和自考复习资料由北京自考吧整理高等数学(一)北京自考吧无限增大时，如果级数的部分和数列Sn有极限S，即则称无穷级数收敛,这时极限S叫做级数的和,并写成。如果Sn没有极限，则称无穷级数发散。数项级数收敛存在例1.讨论等比级数（几何级数）（a≠0）的收敛性。【答疑编号11020101】自考复习资料由北京自考吧整理高等数学(一)北京自考吧解：如果q≠1时，当|q|＜1时,收敛当|q|＞1时发散如果|q|=1时当|q|=1时，，级数发散当q=-1时，级数变为α-α+α-α+…不存在，级数发散综上例2.（56页1（3））判断下列级数的敛散性，并在收敛时求出其和：自考复习资料由北京自考吧整理高等数学(一)北京自考吧【答疑编号11020102】解：由得级数收敛，其和为。例3.判断级数的敛散性【答疑编号11020103】例4.判断级数的敛散性，并在收敛时求出其和【答疑编号11020104】自考复习资料由北京自考吧整理高等数学(一)北京自考吧判别无穷级数的收敛性。【答疑编号11020105】解∴级数收敛，和为。2.3函数极限自考复习资料由北京自考吧整理高等数学(一)北京自考吧两种情形:（1）x→∞情形：（2）x→x0情形：一、自变量趋于无穷大时函数的极限定义：设M是任意一个正数，函数f（x）在上有定义，如果存在常数A，当|x|无限增大（即|x|→∞）时，f（x）无限接近于A，则称A为函数f(x)当x→∞时的极限，或简称为f（x）在无穷大处的极限，记为或f(x)→A，当x→∞时。定理：例1.（60页例5、例6）求下列函数的极限（1）【答疑编号11020201】自考复习资料由北京自考吧整理高等数学(一)北京自考吧（2）【答疑编号11020202】解：对于函数对于函数f（x）=arctanx，由反正切曲线y=arctanx的图形，易见所以，极限不存在。例2.【答疑编号11020203】自考复习资料由北京自考吧整理高等数学(一)北京自考吧【答疑编号11020204】例4.【答疑编号11020205】二、函数在有限点处的极限（自变量趋于有限值时函数的极限）自考复习资料由北京自考吧整理高等数学(一)北京自考吧定义：给定函数y=f（x）在（x∈D）上有定义，假设点x0的某一去心邻域，如果存在常数A，使得当x→x0时，函数值f（x）无限接近于A，则称A为函数f（x）当x→x0时的极限，记为或f（x）→A，当x→x0时。2.单侧极限定义：设f（x）在x0的一个左邻域中有定义，如果存在常数A，使得当时，相应的函数值f（x）无限接近于A，则称A为函数f(x)当时的左极限，记为或f（x0-0）。定理：例5.62页2：（5）（6）（7）求函数在指定点的左右极限，判定该点极限是否存在。自考复习资料由北京自考吧整理高等数学(一)北京自考吧（5）x=2【答疑编号11020206】（6）x=0【答疑编号11020207】（7），x=0【答疑编号11020208】自考复习资料由北京自考吧整理高等数学(一)北京自考吧问题：函数y=f（x）在x→x0的过程中，对应函数值f（x）无限趋近于确定值A。例6.求【答疑编号11020209】注意：函数极限与f（x）在点x0是否有定义无关三、函数极限的性质1.唯一性定理若limf(x)存在，则极限唯一。2.有界性定理（有极限函数的局部有界性）假设存在，则f（x）在x0点的某个邻域中有界，自考复习资料由北京自考吧整理高等数学(一)北京自考吧＞0，使得在x0的某个去心邻域中，有3.保号性若，且A＞0（或A＜0）推论若时f(x)≥0（或f(x)≤0），则A≥0（或A≤0）四、小结函数极限的统一定义2.4极限的运算法则一、极限运算法则自考复习资料由北京自考吧整理高等数学(一)北京自考吧定理设，则（1）（2）（3）例7.【答疑编号11020210】推论1如果limf(x)存在，而c为常数，则常数因子可以提到极限记号外面。推论2如果limf(x)存在，而n是正整数，则自考复习资料由北京自考吧整理高等数学(一)北京自考吧二、求极限方法举例例8.求【答疑编号11020211】解（直接代入法）例9.求。【答疑编号11020212】解：x→1时，分子，分母的极限都是零。（型）（消去零因子法或因式分解法）自考复习资料由北京自考吧整理高等数学(一)北京自考吧求【答疑编号11020213】解：先变形再求极限。。例11.求【答疑编号11020214】三、小结1.极限的四则运算法则及其推论；2.极限求法a.多项式与分式函数代入法求极限；自考复习资料由北京自考吧整理高等数学(一)北京自考吧因式分解法消去零因子求极限；c.通分法d.利用左右极限求分段函数极限。2.5无穷小和无穷大一、无穷小1.定义：极限为零的变量称为无穷小。函数f（x）当x→x0（或x→∞）时为无穷小，记作例如，，∴函数sinx是当x→0时的无穷小。，∴函数是当x→∞时的无穷小。，∴数列是当n→∞时的无穷小。注意：（1）无穷小是变量，不能与很小的数混淆；（2）零是可以作为无穷小的唯一的数。2.无穷小与函数极限的关系：定理其中α（x）是当x→x0时的无穷小。自考复习资料由北京自考吧整理高等数学(一)北京自考吧无穷小的运算性质：（1）在同一过程中，有限个无穷小的代数和仍是无穷小。（2）有限个无穷小的乘积也是无穷小。（3）有界变量与无穷小的乘积是无穷小。例如，当x→0时，自考复习资料由北京自考吧整理高等数学(一)北京自考吧二、无穷大1.定义：绝对值无限增大的变量称为无穷大。函数f（x）当x→x0（或x→∞）时为无穷大，记作。2.特殊情形：正无穷大，负无穷大。注意：（1）无穷大是变量，不能与很大的数混淆；（2）切勿将认为极限存在。（3）无穷大是一种特殊的无界变量，但是无界变量未必是无穷大。例如，是无界变量不是无穷大。自考复习资料由北京自考吧整理高等数学(一)北京自考吧三、无穷小与无穷大的关系1.定理在同一过程中，无穷大的倒数为无穷小；恒不为零的无穷小的倒数为无穷大。2.意义：关于无穷大的讨论，都可归结为关于无穷小的讨论。例1.求。【答疑编号11020301】解：商的法则不能用又由无穷小与无穷大的关系,得例2.求。【答疑编号11020302】解：x→∞时，分子，分母的极限都是无穷大。（型）先用x3去除分子分母，分出无穷小，再求极限。（无穷小因子分出法）自考复习资料由北京自考吧整理高等数学(一)北京自考吧求【答疑编号11020303】例4.求【答疑编号11020304】自考复习资料由北京自考吧整理高等数学(一)北京自考吧小结：当，m和n为非负整数时有无穷小分出法：以分子、分母中自变量的最高次幂除分子，分母，以分出无穷小，然后再求极限。例5.【答疑编号11020305】例6.求【答疑编号11020306】例7.求【答疑编号11020307】自考复习资料由北京自考吧整理高等数学(一)北京自考吧（2007年10月）【答疑编号11020308】例9（2007年10月）、下面A、B、C、D四个极限中，哪一个极限存在（）A.B.C.D.【答疑编号11020309】答案：D自考复习资料由北京自考吧整理高等数学(一)北京自考吧（2007年4月）（）A.0B.1C.-1D.不存在【答疑编号11020310】答案：B自考复习资料由北京自考吧整理高等数学(一)北京自考吧（2007年7月）计算【答疑编号11020311】自考复习资料由北京自考吧整理