7-3-平面及其方程

第三节一、平面方程二、两平面的夹角三、点到平面的距离平面及其方程1.点法式方程2.一般式方程3.截距式方程第七章一、平面方程设有平面，点0000(,,)Mxyz平面的法向量的n特征：0n①n②如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做该平面的法向量．xyzo0MMn1.点法式设法向量：(,,),nABC),,(zyxM0MMn00MMn222(0)nABC平面方程有三种表达形式：在平面上0MM0000(,,)MMxxyyzzxyzo0MMn000()()()0(3.1)AxxByyCzz——平面的点法式方程注②平面上的一定点).,,(0000zyxM反之，若点不在平面上，则M与0MMn不垂直，00MMn，即点M的坐标一定不满足(3.1).所以(3.1)式是平面的方程.确定平面方程的二要素：法向量：(,,);nABC①(可不唯一)求过三点)4,1,2(A、)2,3,1(B和)3,2,0(C的平面方程.解(3,4,6)AB(2,3,1)AC取nABAC(14,9,1),例1132643kji所求平面方程为,0)4()1(9)2(14zyx化简得.015914zyx(方法1)设是所求平面上的任意一点，(,,)Mxyz(3,4,6)AB(2,3,1)AC(2,1,4)AMxyz则共面，故所求平面方程为[]AMABAC0132643412zyx即14(2)9(1)(4)0,xyz亦即.015914zyx(方法2)2.一般式三元一次方程2220(0)(3.2)AxByCzDABC平面方程证()()由令000(3.1),()DAxByCz则可写成(3.1)(3.2).任取定点满足则0000(,,)(3.2),Mxyz)(000CzByAxD代入(3.2),便可化为(3.1).——平面的一般式方程法向量:),,(CBAn例2一些特殊平面方程(1)平面通过坐标原点；由满足得(0,0,0)(3.2),0,OD0:CzByAx(2)平面平行于坐标轴；若平面轴，则//x法向量(,,)nABC(1,0,0)i,0in0A0:DCzBy(缺少x项)即0,A,0,0DD平面通过轴；x平面平行于轴；x,0BA平面平行于坐标面：xoy类似地，可讨论平面平行于y轴、z轴的情形.(3)平面平行于坐标面；法向量(,,)nABC//(0,0,1)k(0,0,)(0)nCkCC,0:DCz或.zc类似地，可讨论平面平行于其它坐标面的情形.设平面过原点及点)2,3,6(，且与平面824zyx垂直，求此平面方程.设平面为,0DCzByAx由平面过原点知,0D由平面过点)2,3,6(知0236CBA420ABC,32CBA.0322zyx所求平面方程为解例3法向量:(,,)nABC)2,1,4(1nn(方法1)1(4,1,2)nnO•P(6,-3,2)点P(6,-3,2)，O(0,0,0)法向量：OPnn1412632ijk(4,4,6)2(2,2,3)所求平面方程：0)0(3)0(2)0(2zyx即2230xyz(方法2)求过点)1,1,1(，且垂直于平面7zyx和051223zyx的平面方程.2(3,2,12)nn故可取法向量：21nnn(10,15,5),解设所求平面的法向量：(,,);nABC依题设，知1(1,1,1),nn1223111kji,0)1(5)1(15)1(10zyx化简得.0632zyx所求平面方程为：例4设平面与zyx,,三轴分别交于)0,0,(aP、)0,,0(bQ、),0,0(cR（其中0a，0b，0c），求此平面方程.设平面为,0DCzByAx将三点坐标代入得,0,0,0DcCDbBDaA解3.截距式例5代入所设方程得1czbyax——平面的截距式方程x轴上截距y轴上截距z轴上截距,aDA,bDB.cDC求平行于平面6x+y+6z+5=0而与三个坐标面所围成的四面体体积为一个单位的平面方程.设平面为,1czbyaxxyzo,1V,12131abc由所求平面与已知平面平行得（向量平行的充要条件）解o例6,611161cba,61161cba化简得令tcba61161,61ta,1tb,61tcttt61161611代入体积式,61t,1,6,1cba.666zyx所求平面方程为定义（通常取锐角）12两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角.,0:11111DzCyBxA,0:22222DzCyBxA),,,(1111CBAn),,,(2222CBAn二、两平面的夹角1n2n按照两向量夹角余弦公式有),cos(cos21nn——两平面夹角余弦公式为钝角，为锐角),(),(),(),,(21212121nnnnnnnn)20(222222212121212121||CBACBACCBBAA121n2n两平面位置特征：21)1(;0212121CCBBAA12(2)//.212121CCBBAA.21212121DDCCBBAA事实上，若与重合，则12111222ABCkABC11110DzCyBxA12)(DDk1222)(DzCyBxAk.21kDD与重合12(3)研究以下各组里两平面的位置关系：013,012)1(zyzyx01224,012)2(zyxzyx02224,012)3(zyxzyx解)1(2222231)1(2)1(|311201|cos601cos两平面相交，夹角.601arccos例7)2(212142两平面平行但不重合．)3(,21212142两平面重合02224,012zyxzyx01224,012zyxzyx,11121DD例8求过点，且与面成角的平面12(0,1,0),(0,0,1)60.MMxoy解n1M2M)1,0,0(k6021MMn)1,1,0(,021MMn0CB60),(kn又60cos21knknnC),,,(CBAn所求平面的法向量为：即1,2Cn从而12Bn再由得222,nABCnA21所求平面方程为：0)1(212121znynxn即210xyz或210xyz)0(n设),,(0000zyxP是平面ByAx0DCz外的一点，求0P到平面的距离.),,(1111zyxP1PNn0P解三、点到平面的距离例901PrjPPdnnnPPPPn0101Prj),,(10101001zzyyxxPP222101010)()()(CBAzzCyyBxxA,)(222111000CBACzByAxCzByAx),,(CBAn0111DCzByAx)(1PnnPPPPn0101Prj,222000CBADCzByAx.||222000CBADCzByAx——点到平面距离公式01PrjPPn01PrjPPdn故例10在轴上求与两平面等距离的点12:12920190:16121590.zxyzxyz解设所求点为，则(0,0,)Pz22220912|192009012|z22215)12(16|915012016|z,9151920zz)915(1920zz或42,5zz故所求点为：或4(0,0,2)(0,0,).5平面的方程（熟记平面的几种特殊位置的方程）两平面的夹角.点到平面的距离公式.点法式方程.一般式方程.截距式方程.（注意两平面的位置特征）内容小结备用题例3-1.)2,1,4(的平面方程轴和点求过Mx解(方法1)因为所求平面过x轴，故可设平面的一般式方程为)1(0CzBy在该平面上点又)2,1,4(M，0)2(1CBCB2代入(1),消去C得所求平面方程.02zy(方法2)又∵原点O(0,0,0)在该平面上.因为所求平面过x轴，nO•M(4,1,-2))0,0,1(iin所求平面的法向量OMn故可取iOMn001214kji)2,1,4()1,2,0(所求平面的点法式为0)2()1()1()2()4(0zyx.02zy即