0020高等数学第一章

高等数学（经济管理类公共课）全国高等教育自学考试指导委员会主编：扈志明前言本课程是全国高等教育自学考试经济管理类专科中的一门重要的基础理论课程。是为培养各种与经济管理有关的人才二设置的，在当今时代，数学科学已渗透到各个学科领域，微积分是近代科学最主要的成就，是学习任何一门科学或经济管理专业的数学基础。•高等数学是在实数范围，用极限的方法，研究函数（主要是初等函数或少量非初等函数）以及函数的微分学和积分学性质。其主要内容包括导数，微分和积分的概念、性质，微分运算法则与积分预算公式，微分学和积分学的应用等内容。极限是研究函数微分学与积分学性质的基本工具。几点要求学习方法：.1上课纪律：.2好习惯。题的学习中，要养成多想问容后，再去做作业，在学内习，基本掌握了课堂教急于完成作业，通过复不要要注意以听为主。课后必须记适当的笔记，但题来听课，上课前先预习，带着问课，不迟到，不早退，不旷累计缺课超过该课程授，不得参加期末考试；课学时的31上课必须关闭手！机，严禁上课玩手机考试形式和试卷结构试卷满分100分，考试时间为150分钟考试方式是闭卷，笔试，考试时不允许携带计算器，参考书等公式试卷题型结构：单项选择题10小题，每小题3分，共30分简单计算题5小题，每小题4分，共20分计算题5小题，每小题5分，共25分综合题4小题，共25分试卷内容结构第一章，第二章函数、极限与连续25分左右第三章，第四章一元函数微分学35分左右第五章一元函数积分学25分左右第六章多元函数微积分15分左右试题难度分布试题难度分为：易、中等偏易、中等偏难、难分值分别为：30分、40分、20分、10分第一章函数初等代数中的几个问题一元二次方程定义判别式∆判别式与实根的关系∆0，∆=0，∆0二元一次方程组定义唯一解、无解、无穷多解的情况代数不等式不等式：表示两个量之间的大小关系的记号叫做不等号，用不等号连接的式子叫做不等式常用的不等号有：，，，，基本性质：如果-0ab，那么ab；反之也成立。如果-0ab，那么ab；反之也成立。.不等式的性质性质1如果ab，那么ba；反之，如果ab，那么ba（自反性）；性质2如果ab，且bc，那么ac（传递性）性质3如果ab，那么acbc．性质4如果ab，0c，那么acbc；如果ab，0c，那么acbc．性质5如果0ab，那么22ab．性质6如果0ab，那么ab；反之如果ab，那么ab。由基本性质，我们可以证明得到下面的性质常用不等式:.0,,0,,xxxxxRx.0,.1xRxo绝对值:)0(.3hhxo.hxh)0(.4hhxo.hxhx或.,.2xxxRxo.yxyxyx,,.5Ryxo三角不等式.6o(平均值不等式)22121aaaa(几何平均值)(算术平均值)更一般地，有,)1(niRxi.2121nnxxxxxx一元一次不等式及其解法定义只有一个未知数（一元），不等式未知数的最高次数为1（一次）的不等式解法：经过同解变形，例如去分母，去括号，移项、合并同类项、不等式两边都除以未知系数（为负数时，改变不等号方向）等，得到形如或，然后进行求解。(0)axbaxba①形如的解集为:②形如的解集为:形如或的不等式的解(0)axbaxba(0)axbabxa(0)axbabxaxbabax三、一元一次不等式组及其解法定义由几个一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式组解法：分别对组成一元一次不等式组的几个一元一次不等式进行求解，然后综合几个一元一次不等式的解集，得到一元一次不等式组的解集。一元一次方程组的解可以化为以下四种情况()mn不妨设1.形如，此时解集为2.形如，此时解集为,,xmxn,,xmxnxnxnmxnmxm3.形如，此时解集为4.形如，此时解集为,,xmxn,,xmxnmxnxnmxnm含绝对值的不等式1、形如的不等式及其解法,xaxa(1)0a当时xa的解集为axaxaxaxa或的解集为(2)0a当时xa的解集为0a(3)当时xa的解集为R0a当时xa的解集为0x2、形如的不等式及其解法,axbcaxbc（1）、解不等式相当于解不等式axbc,,axbccaxbcaxbc即（2）、解不等式相当于解不等式axbcaxbcaxbc或数列定义，通项，前n项和S及其表示等差数列定义，公差d，通项，前n项和S，等差中项等比数列定义，公比，通项，前n项和，等比中项集合与逻辑符号集合的定义，子集的定义集合的表述方法：列表法，描述法，图表法有限集，无限集，空集交集，并集，余集常见的集合：自然数集（N），整数集（Z）有理数集（Q），实数集（R），复数集（C）实数的集合记作区间：由数轴上两点间的一切实数所组成的集合叫做区间.其中，这两个点叫做区间端点.开区间：满足不等式的所有实数的集合axb{|}xaxb(,)ab记作闭区间：满足不等式的所有实数的集合axb{|}xaxb[,]ab记作右（左）开区间：满足不等式的所有axb{|}xaxb[,)ab()axb或({|})xaxb或((,])ab或邻域:,0为邻域的中心点x.,0为邻域的半径),(00xUxO空心邻域：的点),(:00xUx实心邻域的点.),(}{000xxxxxx0x0x0x.),(),(}0{00000xxxxxxxx0x0x0x1.一些逻辑符号.”，则若“：表示“可推出”或.或“等价”“充分必要”：表示“当且仅当”或充分条件，必要条件充分非必要条件必要非充分条件既不充分也不必要条件作业：P26第一题选择题：单数第二题计算题：单数第四题函数的概念与图形在日常生活中，有两种常见的量，一种量的值是固定的，称为常量，另一种值可以取不同的值，称之为变量，函数研究的就是变量之间的对应关系。例如：圆的面积公式自由落体运动价格与单价的关系温度与时间的关系等函数的概念称为对应的数数yx一.函数的定义定义.MD和设给定两个非空实数集对应按照某种对应法则若,,fDx唯一确定,My的一个实数上的函数，是定义在则称Df))((:xfyxMDf表示为：的定义域，称为函数fD;)(xfyx的函数值，记作.的值域称为函数f函数传统的习惯符号：表示法分别有：表达式，图形和数表.)(Dxxfy，函数图形函数的图形是指在xOy平面上的点集常见幂函数的图形如下：函数的性质.,)(Dxxfy设1．函数的有界性,MxfDx,MMM)(0)3(若,)(,0)1(MxfDxM若.)(上有界在则称DxfpxfDxRp)(,)2(若.)(界上有上在则称Dxf,))((qxf)(q)(下.)()(上既有上界又有下界在函数上有界在函数DxfDxf定理.上无界在则称Dxf)(.],[)0(),0()0,(1)(6上有界区间在任何不包含原点的闭无界，与在证明：例baxxf证,0M:Mx.1)(MxxfMMMxM10;)0(),0()0,(1)(无界与在xxf,],[（不包含原点）而bax,bxa即,111axb.],[1)(上有界在baxxf,)1(M2．函数的单调性,,,2121时当如果xxDxx.)(的单调递增上是在区间则称函数Dxf),()(:21xfxf恒有)(xfy)(1xf)(2xfxyoD()（减）.,)(Dxxfy设x)(xfy)(1xf)(2xfyoD时，上单调递增或单调递减在当Dxf)(;)(的单调上是在则称Dxf.)(单调函数上的为Dxf)(xfy)(1xf)(2xfxyoD,,,2121时当如果xxDxx),()(:21xfxf恒有.)(单调不减上是在区间则称函数Dxf)()(xfy)(1xf)(2xfxyoD)(增3．函数的奇偶性),()(,)1(xfxfDx若),()(,)2(xfxfDx若,)(关于原点对称上定义，且在设DDxf.)(称为非奇非偶函数否则，xf.),()(,)0(),()(7数的和内能表成奇函数与偶函在证明内的任意函数为定义在设例llxflllxf证,)]()([21)(xfxfxF令,)]()([21)(xfxfxG偶函数奇函数.)()()(xGxFxf显然为偶函数；则称)(xf.)(为奇函数则称xf一个函数也可以在其定义域的不同部分分别用不同的解析式子表示，则称之为分段定义的函数，简称分段函数..0,1,0,21,0,)(:2xxxxxxf例如oxy121)(xfy分段函数•作业p321、选择题1、3、4、5三角函数的定义：角α的终边上任意一点P（x,y），它与原点的距离是r(r0)，那么角α的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割分别是p(x,y)rasinyarcosxartanyaxcotxaysecraxcscray三角函数常见三角函数关系式22222221)cossin1sec1tan2)sinsincoscossincossinsincoscostantantan1tantan3)2tansin22sincos,cos2cossintan21tanxxxxxyxyxyxyxyxyxyxyxyxxxxxxxxxm同角公式和角公式倍角公式22222222241cos1cossinsincostan222221cos5,,ABCsinAsinsin2cos2cos2cosxxxxxxxabcabcBcabcbcAbacacBcababC）半角公式）正弦定理其中分别是三角形三个角的对边6）余弦定理正弦、余弦函数的图像和性质f(x)=sinx(xR)x6yo--12345-2-3-41x6o--12345-2-3-41yf(x)=cosx(xR)定义域值域周期性xRy[-1,1]T=2正弦、余弦函数的奇偶性？正弦、余弦函数的奇偶性sin(-x)=-sinx(xR)y=sinx(xR)x6yo--12345-2-3-41是奇函数x6o--12345-2-3-41ycos(-x)=cosx(xR)y=cosx(xR)是偶函数（定义域关于原点对称）f(x)=sinx(xR)f(x)=cosx(xR)（定义域关于y轴对称）f(x)=tanx(xR)f(x)=cotx(xR)定义域值域周期性正切xR,x≠k+/2余切xR,x≠k+y(-∞,+∞)T=•定义域关于原点对称，正切tanx与cotx均为奇函数•反三角函数,arcsinxy,arccosxyx,yarctanxarcycot周期函数为周期函数，则称)(xf.)(的一个周期称为xfl,)(上定义在设函数Dxf,0l若)()(xflxf有定义,DlxDx且.为无穷区间说明周期函数的定义域D2l23l2l23l....xyo)(xfy的所有周期中存在在周期函数若)(xf最小的正，周期T.)(的为则称这个最小正周期xfT基本周期.周期都是指基本周期通常我们所说的函数的，有一个周期若)(xf.)(必有无穷多个周期则xf则的一个周期为事实上，若,)(xfl)()(lxfxf])[(llxf)2(lxf.)(nlxf.)()(的周期也是xfNnnl,2cos,s