线性系统极点配置问题

线性系统极点配置问题张颖(控制学院检测技术与自动化装置2009010191)摘要：极点配置是一类最为典型和最为简单的综合问题。机点配置实质上是对经典控制理论综合方法的一个直接推广。本文针对单输入连续时间线性时不变受控系统，基于状态反馈类型控制，系统讨论极点配置问题的综合理论和综合算法。1.问题的提出：状态反馈的极点配置问题状态反馈的极点配置问题：就是对给定的受控系统，确定状态反馈律u=-Kx+v,v为参考输入即确定一个的状态反馈增益矩阵K，使所导出的状态反馈闭环系统的极点为{}，也就是成立解决上述极点配置问题，需要解决两个问题：1）建立可配置条件问题，即利用状态反馈而任意地配置其闭环极点所应遵循的条件。2）建立相应的算法，即用以确定满足极点配置要求的状态反馈增益矩阵K的算法。2.问题的解决：〈一〉准备知识1.循环矩阵定义：如果系统矩阵A的特征多项式等同于其最小多项式，则称为循环矩阵。2.循环矩阵特性：1）A为循环矩阵，当且仅当它的约当规范形中相应于每一个不同的特征值仅有一个特征块。2）如果A的所有特征值为两两相异，则对应于每一个特征值必仅有一个约当块，因此A必定是循环的。3）若A为循环矩阵，则其循环性是指：必存在一个向量b，使向量组可张成一个n维空间，也即{A，b}为能控。4）若{A，B}为能控，且A为循环，则对几乎任意的实向量p,单输入矩阵对{A，Bp}为能控。5)若A不是循环的，但{A，B}为能控，则对几乎任意的常阵K，A-BK为循环。〈二〉极点可配置条件线性定常系统可通过线性状态反馈任意地配置其全部极点的充分必要条件，是此系统为完全能控。证：必要性：已知可配置极点，欲证{A，B}为能控。利用反证法，假设{A，B}不完全能控，则必可分解为：npBuBKAxx)(**2*1,,,nniBKAii,,2,1,)(*00,121cccBPBBAAAPAPABuAxx上式表明，状态反馈不能改变系统不能控部分的特征值，因此不可能任意地配置极点，与已知前提矛盾，故假设不成立。所以{A，B}为能控。充分性:已知{A，B}为能控，欲证可配置极点。分三步来证明：（1）使系统矩阵A为循环矩阵。若是即可。是循环阵，则可予置一个状态反馈，使得（2）化多输入系统的极点配置问题为等价的单输入系统的极点配置问题。。其中有对任一状态反馈21112121121)det()det(0det)det()det(,KKKPKAsIKBAsIAsIKBAKBAsIKPBAsIBKAsIKKKcccccccwKux1.1},,,{},,{:)det()det(,1)()()(:.},{,1,,,反馈增益阵为其中问题化成了单输入极点配置多输入极点配置问题表明并且阵为其中则有保持能控且选取为使阵为其中并取则当引入状态反馈为循环的设nkkbAKBAbkAsIBKAsInBbBvbkABvkBABvBKABApkKvKuAxxxxx.ˆ)()(11为循环阵中ABKABwBKAxx.1},,,{},,{:)det()det(,1)()()(:.},{,1,,,反馈增益阵为其中问题化成了单输入极点配置多输入极点配置问题表明并且阵为其中则有保持能控且选取为使阵为其中并取则当引入状态反馈为循环的设nkkbAKBAbkAsIBKAsInBbBvbkABvkBABvBKABApkKvKuAxxxxx表明对任给{}都必可找到使上式成立，即可任意配置闭环极点。三算法1单输入极点配置问题的算法给定能控矩阵对{A，b}和一组期望的闭环特征值{}，要确定的反馈增益据阵k，使成立第一步：计算A的特征多项式，即第二步：计算由{}所决定的多项式，即第三步：计算第四步：计算变换阵第五步：求],,[],,[,)()(:},,,,{10000:,},{)det()(.,},{,)3(1*10*010*0*11*1*11***2*11,110110111nnnnnnninnnnnnkkkPksssssbPbIAPPAbAsssAsIsbA取并且导出环极点再由任意指定的期望闭导出如下能控规范形能控由令环极点则必可任意地配置闭环能控若对单输入问题来证明*0*11*11*1*011*10*01101)det()det(*00],,[10000:ssskbAsIbkAsIIIkbAnnnnnnnnn而且于是**2*1,,,n1Pkk**2*1,,,nn1),,2,1()(*nibkAii0111)det(sssAsInnn**2*1,,,n*0*11*1**1*)()()(ssssssnnnn],,,[1*11*10*0nnk111,,,1111nnnbAbbAPQkk第六步：所求增益阵例：给定单输入线性定常系统2多输入极点配置问题的算法算法一：1）条件：给定能控矩阵对{A，B}和一组所期望的闭环特征值{}，要确定的反馈增益矩阵K，使成立。1PQ**2*1,,,nnp),,2,1()(*niBKAiissssssAsIsArankrankQjjuc7218121006100det)det()(3100610001:11,2001121006100023*3*2*1的特征多项式计算完全能控可控性判断解特征值为再给定期望的一组闭环xx122018614144181121010014664144181121010000101121187211872011800100101610011114664464)1)(1)(2()()()(121222*21*10*02331***QkkkPQbAbbAPPkksssjsjsssssii为所要确定的反馈增益阵计算变换阵求再计算2）算法：第一步：判断A是否为循环矩阵。若否，选取一个常阵，使为循环，并表示为；若是，则。第二步：对循环阵，通过适当选取一个实常向量，表示为，且{}为能控。第三步：对于等价单输入问题{bA,}，利用单输入极点配置问题的算法，求出增益向量k。第四步：当A为循环时，所求的增益矩阵；当A为非循环时，所求的增益矩阵为。算法二：1）条件：同上。2）算法：第一步：把能控矩阵对{A，B}，化为龙伯格规范形。假设n=9,p=3.如：第二步：把给定的期望闭环特征值{}按龙伯格规范形的对角线块阵的维数，相应地计算np1K1BKA1BKAAAAA1pBbbA,3332313035343332312928272621202322211918171615141211101100000000010000000001000000000010000000000100000000010ASSA100000000000010000010000001BSB**2*1,,,nA*30*312*323*334*9*8*7*6*3*20*212*5*4*2*10*112*123*3*2*1*1))()()(()())(()())()(()(ssssssssssssssssssssskK1KkK第三步：取由此可导出：由给定的矩阵对{A，B}，计算出变换矩阵第五步：所求状态反馈增益矩阵即为。K33*3332*3231*3130*30292827262919281827172616353421*2120*2021*211520*20143332312322212312*122211*112110*10)()(K*33*32*31*30*21*20*12*11*1010000100001010100010KBA1111111111121221111191**2*2*11111121],,,,,,,,,[:)()()()()det(rrrrrrAeAeeAeAeeSeeeePbAAbbbAAbbbAAbbPssssKBAsITrTrTrTTTTrTrTTrrrii根据第四步和1SKK算法三例：给定多输入线性定常系统规范形方案2241342151084215134215)1(9)3(5:52)21)(21())(()(595)2)(2)(1())()(()(:2:12121100001000041134100002101300100000102*5*4*223*3*2*1*1*5,4*3,2*1Kssjsjsssssssjsjssssssjju求先求利用算法方案值为再给定期望的一组特征xx24134215108)52)(595()det(250001000000595001000001024134215108100001000041134100002101300100000101223KKISsssssBKAsIKBA特征多项式为反馈系统的系统矩阵四状态反馈对传递函数矩阵的零点的影响（一）单输入—单输出系统1分析给定完全能控线性定常系统32349582920013100001000032349582900000200130000000000724485525100000100000100000104113410000210130010