高等数学第六章答案

1第六章定积分的应用第二节定积分在几何上的应用1求图中各阴影部分的面积（1）16.(2)1(3)323(4)3232.求由下列各曲线所围成的图形的面积(1)463(2)3ln22(3)12ee(4)ba3944（1）1213（2）45(1)a2(2)238a(3)218a6（1）4233（2）54（3）22sincos2及13627．求下列已知曲线所围成的图形按指定的轴旋转所产生的旋转体的体积：（1）2xxyyx和轴、向所围图形，绕轴及轴。2（2）22yxy8x,xy和绕及轴。（3）22xy516,x绕轴。（4）xy=1和y=4x、x=2、y=0，绕。（5）摆线x=at-sint,1cos,y0xyat的一拱，绕轴。2234824131,;(2),;(3)160;(4);(5)5a.52556（）8．由yx3x2y0所围成的图形分别绕x轴及y轴旋转计算所得两个旋转体的体积1287xVyV6459．把星形线3/23/23/2ayx所围成的图形绕x轴旋转计算所得旋转体的体积332105a10．（1）证明由平面图形0axb0yf(x)绕y轴旋转所成的旋转体的体积为badxxxfV)(2证明略。（2）利用题（1）结论计算曲线ysinx(0x)和x轴所围成的图形绕y轴旋转所得旋转体的体积2211．计算底面是半径为R的圆而垂直于底面上一条固定直径的所有截面都是等边三角形的立体体积3433R12．计算曲线3223yx上相应于38x的一段弧的弧长。212313．计算曲线2ln(1)yx上相应于102x的一段弧的弧长。1ln3214．求星型线33cossinxatyat的全长。6a315．求曲线1cosa的周长。8a第三节定积分的应用第四节1由实验知道弹簧在拉伸过程中需要的力F(单位N)与伸长量s(单位cm)成正比即Fks(k为比例常数)如果把弹簧由原长拉伸6cm计算所作的功18k(牛厘米)解将弹簧一端固定于A另一端在自由长度时的点O为坐标原点建立坐标系功元素为dWksds所求功为182160260skksdsWk(牛厘米)2．直径为20cm、高80cm的圆柱体内充满压强为10N/cm2的蒸汽设温度保持不变要使蒸汽体积缩小一半问需要作多少功？800ln2(J)解由玻马定律知80000)8010(102kPV设蒸气在圆柱体内变化时底面积不变高度减小x厘米时压强为P(x)牛/厘米2则80000)]80)(10[()(2xxP80800)(xP功元素为dxxPdW)()10(2所求功为2ln8008018000080800)10(4004002dxdxW(J)3．设地球的质量为M，半径为R，现要将一个质量为m的物体从地球表面升高到h处，问需要做多少功（设引力系数为G）？mMhGRh4．半径为R的圆柱体沿固定水平面做纯滚动，试分别求圆心C沿其轨迹移动的距离S时，作用于其上的静滑动摩擦力和滚动摩阻力偶的功解圆柱体做平面运动，由运动学知，点B为圆柱体的速度瞬心，由式（11-16）知圆柱体沿固定面做纯滚动时，静滑动摩擦力的功为零。4滚动摩阻力偶的功可利用滚动摩阻力偶矩M=FN来计算所以它的元功为MdW=-dsRFn如FN及R均为常量，滚动一段路程S后滚动摩阻力偶的功为W=0S-dsRFn=-sRFn可见滚动摩阻力偶的功为负功，且其绝对值W与圆柱半径成反比5．设一锥形贮水池深15m口径20m盛满水今以唧筒将水吸尽问要作多少功？解在水深x处水平截面半径为xr3210功元素为dxxxdxrxdW22)3210(所求功为1502)3210(dxxxW15032)9440100(dxxxx1875(吨米)57785.7(kJ)6有一闸门它的形状和尺寸如图水面超过门顶2m求闸门上所受的水压力2058(kN)解建立x轴方向向下原点在水面水压力元素为xdxdxxdP221闸门上所受的水压力为21252252xxdxP(吨)=2058(kN)57洒水车上的水箱是一个横放的椭圆柱体尺寸如图所示当水箱装满水时计算水箱的一个端面所受的压力17.3(kN)解建立坐标系如图则椭圆的方程为11)43()43(2222yx压力元素为dxxxdxxyxdP22)43()43(38)(21所求压力为2223022cos43cos43)sin1(4338)43()43(38tdxttdxxxP169cos49202tdx(吨)17.3(kN)(提示积分中所作的变换为txsin4343)8有一等腰梯形闸门它的两条底边各长10m和6m高为20m较长的底边与水面相齐计算闸门的一侧所受的水压力14388(千牛)解建立坐标系如图直线AB的方程为xy1015压力元素为dxxxdxxyxdP)5110()(21所求压力为61467)5110(200dxxxP(吨)14388(千牛)9．一底为8cm、高为6cm的等腰三角形片铅直地沉没在水中顶在上底在下且与水面平行而顶离水面3cm试求它每面所受的压力解建立坐标系如图腰AC的方程为xy32压力元素为dxxxdxxxdP)3(34322)3(所求压力为168)2331(34)3(34602360xxdxxxP(克)(牛)10设有一长度为l、线密度为的均匀细直棒在与棒的一端垂直距离为a单位处有一质量为m的质点M试求这细棒对质点M的引力解建立坐标系如图在细直棒上取一小段dy引力元素为dyyaGmyadymGdF2222dF在x轴方向和y轴方向上的分力分别为dFradFxdFrydFy2202222022)(1)(laalGmdyyayaaGmdyyaGmraFllx)11()(12202222022laaGmdyyayaGmdyyaGmryFlly总复习题六71．填空题：（1）曲线2yx与22yxx直线围成所界区域的面积为13（2）曲线226yx与直线1yx所界区域的面积为18（3）曲线0sinxytdt上相应于0x的一段弧长为4(4)圆盘222ayx绕xb(ba0)旋转所成旋转体的体积222ab（5）一圆盘的半径为R，而密度为，其中为圆盘上一点到圆心的距离，则其质量M02Rd(6)半径为的球沉入水中，它与水面相切，密度与水相同，若将球从水中取出，则做的功。2．求抛物线223xxy与Ox轴所围成图形的面积。3．求抛物线xy2与42xy所围成图形的面积。4．求圆222ryx的面积、圆周长。5．求双纽线2cos22ar的面积。6．求心脏线)cos1(ar绕极轴旋转所成旋转体体积。7．求摆线),cos1(),sin(tayttax)20(t与x轴围成图形的面积，弧长，绕x轴旋转体体积。8．求悬链线)(,)(2axaxacheeayaxax下的曲边梯形的面积，弧长，绕x轴旋转体体积。9．抛物线)0(,22axpxy绕x轴旋转所得旋转抛物面的体积。10．证明曲线xysin的一个周期的弧长等于椭圆2222yx的周长。11．求椭球体1222222czbyax的体积。812．设有一半径为R，长度为l的圆柱体平放在深度为R2的水池中（圆柱体的侧面与水面相切）。设圆柱体的比重为)1(，现将圆柱体从水中移出水面，问需做多少功？13．一块高为a，底为b的等腰三角形薄板，垂直地沉没在水中，顶在下，底与水面相齐，试计算薄板每面所受的压力。14．用铁锤将一铁钉击入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉击入木板的深度成正比，在铁锤击第一次时能将铁钉击入木板内cm1，如果铁锤每次打击铁钉所做的功相等，问铁锤击第二次时，能将铁钉又击入多少cm？答案：2．解：),1)(3(232xxxxy令0y得13orx。故抛物线与Ox轴交点为)0,3(及)0,1(，所求图形为Ox轴上半部分。332)23()(13213dxxxdxxfS。3．解：两条抛物线交点为)2,2(),2,2(。则2316)24(2])4[(2022222dyydyyyS。4．解：由对称性，只需考虑第一象限，dxxrSr0221422cos1coscossin220220rdttrtdtrtrtrx；故圆面积为2rS。由圆的参数方程,sin,costrytrx，求周长只需考虑第一象限，2cossin202022221rdtrdttrtrl；圆周长rll241。95．解：22402402042sin2cos2)(214aadadrS。6．解：sin)cos1(sincos)cos1(cosaryarx)cos)cos1((sin)cos1(2202adaVda3023sin)cos21()cos1(32112338)1)(21()1(cosadttttat。7．解：3202220203)cos1()cos1()cos1()()(adttadttatadttxtyS；adttadttatadttytxl82sin2sin)cos1()]([)]([202022222022；32203322022025)cos1())sin(()cos1()()(adttattadtatdxtyV8．解：12)(2shadxaxachdxxySaaaa；12)(1)]([122ashdxaxchdxaxshdxxylaaaaaa；)2211()()(3222shadxaxchadxxyVaaaa。9．解：20022papxdxdxyVaa。10．证：曲线xysin的一个周期的弧长为dxxdxyL2022021cos11；对于椭圆2222yx，由于其参数方程为tytxsin2cos故202220222)cos2()sin()]([)]([dtttdttytxLdxxdtt202202cos1cos1；10可见21LL。11．解：用垂直于x轴的平面截椭球，交x轴于],[aax，所得截面为椭圆,1222222axczby即,1)1()1(22222222axczaxby于是此椭圆的面积为)()(222xaabcxS，从而椭球体的体积为abcdxxaabcVaa34)(222。12．解：建立如图所示坐标系，把平放的圆柱体从水中移出，相当把每一个水平薄板提高R2，所做的功包括将薄板提升到水面提升力所做的功及从水面提高到yR高度提升力所做的功之和；水下部分提升力xldyF2)1(1，所以,)(2)1(1dyyRxldw水上部分提升力xldyF21，,)(22dyyRxldw故dyyRyRld