一元函数积分与二元函数积分的区别与联系

1一元函数积分与二元函数积分的区别与联系学生姓名：李金辉学号：20105031137数学与信息科学学院数学与应用数学专业指导教师：董丽职称：讲师摘要：本文主要介绍了一元函数积分与二元函数积分的定义、性质和计算，并讨论了定积分与曲线积分、二重积分的区别与联系．关键词：不定积分；含参量积分；定积分；曲线积分；二重积分ThedifferencesandrelationsbetweensinglevariableintegralandbinaryfunctionintegralAbstract：Thispapermainlyintroducesthedefinitions，properties，andcalculationsofsinglevariableintegralandbinaryfunctionintegral，anddiscussesthedifferencesandrelationsofdefiniteintegral，curveintegral，anddoubleintegral．Keywords：indefiniteintegral；integralwithparameter；definiteintegral；curveintegral；doubleintegral前言一元函数积分与二元函数积分有着本质上的区别，但是其性质以及计算过程却有着千丝万缕的联系，作为初学者，我惊叹于其中的联系，在此我浅谈一元函数积分与二元函数积分的性质以及其区别与联系．1不定积分与含参量积分1.1不定积分的定义定义1.1设函数f与F在区间I上有定义．若IxxfxF,)()(',则称为f在I上的一个原函数．定义1.2函数f在区间I上的全体原函数称为f在I上的不定积分，记作()().fxdxFxc2其中称为积分号，()fx为被积函数，()fxdx为被积表达式，x为积分变量．1.2不定积分的结果不定积分与原函数是总体与个体的关系，即若是F是f的一个原函数，则f的不定积分是一个函数族{}Fc，其中c是任意常数，记作()().fxdxFxc这时又称c是积分常数．1.3含参量积分的定义(1)含参量正常积分一般地，设),(yxf为定义在区域{(,)|()(),}Gxycxydxaxb上的二元函数，其中(),()cxdx为定义在[,]ab上的连续函数(图一)，若对于[,]ab上每一固定的x值，(,)fxy作为y的函数在[(),()]cxdx上可积，则其积分值是x在[,]ab上取值的函数，记作()()()(,),[,].dxcxFxfxydyxab(图一)(2)含参量反常积分设函数(,)fxy定义在无界区域{(,)|,}RxyxIcy上，其中I为一个区间，若对每一个固定的[,],xab反常积分(,)cfxydy⑴都收敛，则它的值是x在I上取值的函数，记作XYOG()ycx()ydx3()(,),,cxfxydyxI称为⑴式定义在I上的含参量x的无穷限反常积分．函数对于函数族是集合与元素的关系，含参量积分的存在性与不定积分有较大区别，并且含参量积分的计算是看作定积分来计算的．2定积分的定义及部分性质2.1定积分的物理背景(1)曲边梯形的面积．(2)变力的功—变力F沿x轴由a移动到点b，并设F处处平行于x轴．2.2定积分的定义核心思想：做分割，近似求和，取极限．定义2.1设闭区间[,]ab上有n-1个点依次为：011nnaxxxxbL,它们把[,]ab分成n个小区间，这些闭子区间或者这些分点构成对[,]ab的一个分割，记为1212{,,,}{,,,},nnTxxxLL或小区间i的长度1iiixx，并记)max||||1iniix（称为分割T的模．定义2.2设f是定义在[,]ab上的一个函数，对于[,]ab上的任一分割1212{,,,},{,,,},nnTxxxLL任取点,(1,2,,)iiinL，并做和式niiixf1)(，称此和式为f在[,]ab上的一个积分和，也称黎曼和．定义2.3设f是定义在[,]ab上的一个函数，J是一个确定的实数，若对任给的正数，总存在某一正数，使得对[,]ab的任何分割T，以及在其上任意选取的点集}{i，只要||||T，就有niiiJxf1|)(|，4则称函数f在区间[,]ab上可积或黎曼可积，数J称为f在[,]ab上的定积分或黎曼积分，记作().baJfxdx2.3可积条件对于定义在区间[,]ab上的函数()fx：(1)可积的必要条件：若在[,]ab上可积,则f在[,]ab上必定有界．(2)可积的充要条件：函数f在],[ba上可积T,0，使得.)()(TsTS(3)可积的充分条件①连续必可积．②只有有限个间断点的有界函数可积.③单调则可积.2.4定积分的性质(1)线性性质①若()fx在[,]ab上可积,k为常数则kf在[,]ab也可积，且.bbaakfdxkfdx②若f,g都在[,]ab上可积，则fg在[,]ab上可积且[].bbbaaafgdxfdxgdx③若f,g都在[,]ab上可积，则fg在[,]ab上也可积④若f,g都在[,]ab上可积，(,)cab有bcbaacfdxfdxfdx.(2)不等式性质①设()fx为可积函数，若()0fx，[,]xab，则0bafdx.②若设f为[,]ab上的可积函数，则||f在[,]ab上也可积，且5||||bbaafdxfdx.(3)积分第一中值定理：若[,]fab在，则至少存在一点[,]ab，使()()().bafxdxfba(4)推广的积分第一中值定理:若g[a,b]f与都在上连续，且g(x)[a,b]在上不变号，则至少存在一点[a,b]，使得ba()()()().bafxgxdxfgxdx3曲线积分的定义及计算3.1第一型曲线积分的物理背景设物体的密度函数()fP是定义在上的连续函数．当是直线段时用定积分就能计算得到该物体的质量．当是平面或空间某一可求长度的曲线段时物体的质量时就引入了第一性曲线积分．3.2第一型曲线积分的定义核心思想：做分割，近似求和，取极限．定义3.1设L为平面上可求长度的曲线段，(,)fxy为定义在L上的函数．对曲线L作分割T，它把L分成可求长度的小区线段,(1,2,,),iiLinLL的弧长为iS分割T的细度为||||max{}.(1,2,,)iTSinL，在iL上取点,(,)iiiL，若有极限JSfiniiiT),(lim10||||．且J的值与分割T无关与点),(ii的取法无关，则称此极限为(,)fxy在L上的第一型曲线积分记作(,)Lfxyds.3.3第一型曲线积分的性质①若Lidsyxf),(1,2,,inL存在，(1,2,,)icinL为常数，则LniniLiiiidsyxfcdsyxfc11),(),(6②积分曲线的可加性：若曲线L由曲线kLLL,,,21首尾相接而成，且(,),(1,2,,)iLfxydsinL都存在，则(,)Lfxyds也存在，且kiLLidsyxfdsyxf1),(),(．③若(,),(,)LLfxydsgxyds都存在，且在L上(,)(,),fxygxy则(,)(,)LLfxydsgxyds．④若(,)Lfxyds存在，则L|(,)|fxyds也存在，且|(,)||(,)|.LLfxydsfxyds⑤若(,)Lfxyds存在，L的弧长为s，则存在常数c，使得Lcsdsyxf),(，)),(sup),(inf(yxfcyxfLL．3.4第一型曲线积分的计算用参数方程转化为定积分进行计算设有光滑曲线,(),:[,](),xtLtabyt，函数(,)fxy为定义在L上的连续函数，则dtttttfdsyxfL)()()(),((),(2'2'．3.5第二型曲线积分的物理背景一质点受力(,)Fxy的作用沿平面曲线L从点A移动到点B，求力F做的功．3.6第二型曲线积分的性质性质1若LiidyQdxP，(1,2,,)ikL存在，则LkikiiiiidyQcdxPc11)()(也存在，且)()()(111dyQdxPcdyQcdxPciiLkikikiiiiii．其中),,2,1(kici为常数．性质2若有向线段L是有向线段kLLL,,,21首尾相接而成，且iLPdxQdy，(1,2,,)ik存在，则LPdxQdy也存在，且1ikLiPdxQdyPdxQdyL．73.7第二型曲线积分的计算转化成定积分来计算．设平面曲线,,(),:[,](),xtLtyt，其中(),()tt在[,]上具有一阶连续导函数，且点A与点B的坐标分别为((),()),((),())，又设(,),(,)PxyQxy为L上连续函数，则沿L从A到B的第二型曲线积分''(,)(,)((),())()((),())()LPxydxQxydyPtttdtQtttdt．4二重积分4.1二重积分的物理背景求曲顶柱体的体积：即设),(yxf是定义在可求面积的有界闭域D上的非负连续函数．求以),(yxfz为顶D的曲顶柱体的体积V．4.2二重积分的定义核心思想：做分割，近似求和，取极限．设(,)fxy是定义在可求面积的有界闭区域上的函数．J是一个确定的数，若对于任意的正数，总存在某个正数，使得对D上的任何分割T，当||||T分隔和有|),(|1Jfniiii，则称(,)fxy在D上可积，数J称为(,)fxy在D上的二重积分记作(,)DJfxyd．4.3二重积分的性质(1)),(yxf在D上可积).(lim)(lim00TsTSTT(2)),(yxf在D上可积的充要条件：对于任意的0，存在D上的某个分割T，使.)()(TsTS(3)有界闭域D上的连续函数必可积．8(4)设),(yxf在有界闭域D上有界，且其不连续点集E是零面积，则),(yxf在D上可积．此外，二重积分的与定积分的性质完全相同．4.4二重积分的计算(1)矩形区域下二重积分的计算：设(,)fxy在矩形区域[,][,]abcd上可积，且对每一个[,]xab，积分(,)dcfxydy存在，则累次积分(,)bdacdxfxydy也存在，且(,)(,)bdacDfxyddxfxydy．(2)x型(y型)区域积分的计算：若(,)fxy在图二所示的x型区域D上连续，其中)(),(21xyxy在[,]ab上连续，则baxyxydyyxfdxdyxf)()(21),(),(．(对于一般的区域可以分割成多个x型区域(y型区域))．(3)变量变换之后计算．5定积分与曲线积分、二重积分的比较经过以上性质的叙述可以知道，一元函数的定积分与二元函数的曲线积分二重积分有着很多区别和联系．仅从结果上讲定积分与曲线积分、二重积分是相同的，但从YOXab)(2xyy)(1xyy(图二)9意义上讲却有着本质的区别．从一元函数积分到二元函数积分是质的飞跃．一元函数二元函数积分种类定积分第一型曲线积分第二型曲线积分二重积分物理背景曲边梯形的面积物体的质量变力沿曲线的功曲顶柱体的体积(被积函数为1是是曲边梯形的面积)定义域直线段没有方向的曲线上有正方向的曲线上可求面积的平面上参考文献[1]胡适耕，张显文．数学分析原理与方法［M］．北京：科学出版社，北京，2008．[2]Ｂ·Ａ·卓里奇．数学分析［M］．北京：高等教育出版社，2002．[3]孙清华，孙昊．数学分析内容方法与技巧［M］．武汉：华中科技大学出版社，2003．