微分方程习题和答案

..微分方程习题§1基本概念1.验证下列各题所给出的隐函数是微分方程的解.（1）yxyyxCyxyx2)2(,22（2）y0222t-)(,1eyyyxdt2..已知曲线族，求它相应的微分方程（其中21C,,CC均为常数）（一般方法：对曲线簇方程求导，然后消去常数，方程中常数个数决定求导次数.）（1）1)(22yCx；（2）xCxCy2cos2sin21.3．写出下列条件确定的曲线所满足的微分方程。（1）曲线在yx,处切线的斜率等于该点横坐标的平方。（2）曲线在点Pyx,处的法线x轴的交点为Q,，PQ为y轴平分。（3）曲线上的点Pyx,处的切线与y轴交点为Q,PQ长度为2，且曲线过点（2，0）。§2可分离变量与齐次方程1.求下列微分方程的通解（1）2211yyx；（2）0tansectansec22xdyyydxx；（3）23xyxydxdy；..（4）0)22()22(dydxyyxxyx.2．求下列微分方程的特解（1）0,02xyxyey；（2）21,12xyyyyx3.求下列微分方程的通解（1）)1(lnxyyyx；（2）03)(233dyxydxyx.4.求下列微分方程的特解（1）1,022xyyxxydxdy；（2）1,02)3(022xyxydxdyxy.5.用适当的变换替换化简方程，并求解下列方程（1）2)(yxy；（2）)ln(lnyxyyyx（3）11yxy（4）0)1()1(22dyyxxyxdxxyy6.求一曲线，使其任意一点的切线与过切点平行于y轴的直线和x轴所围城三角形面积等于常数2a.BAP(x,y)..7.设质量为m的物体自由下落，所受空气阻力与速度成正比，并设开始下落时)0(t速度为0，求物体速度v与时间t的函数关系.8.有一种医疗手段，是把示踪染色注射到胰脏里去，以检查其功能.正常胰脏每分钟吸收掉%40染色，现内科医生给某人注射了0.3g染色，30分钟后剩下0.1g，试求注射染色后t分钟时正常胰脏中染色量)(tP随时间t变化的规律，此人胰脏是否正常？9.有一容器内有100L的盐水，其中含盐10kg，现以每分钟3L的速度注入清水，同时又以每分钟2L的速度将冲淡的盐水排出，问一小时后，容器内尚有多少盐？§3一阶线性方程与贝努利方程1．求下列微分方程的通解（1）2xxyy；（2）0cos2)1(2xxyyx；（3）0)ln(lndyyxydxy；（4）)(ln2xyyy；（5）1sin4xedxdyy2．求下列微分方程的特解（1）0,sectan0xyxxyy；..(2)1|,sin0xyxxxyy3．一曲线过原点，在),(yx处切线斜率为yx2，求该曲线方程.4．设可导函数)(x满足方程x01sin)(2cos)(xtdttxx，求)(x.5．设有一个由电阻10R，电感HL2，电流电压tVE5sin20串联组成之电路，合上开关，求电路中电流i和时间t之关系.6．求下列贝努利方程的通解(1)62yxxyy（2）xyxyytancos4（3）0ln2yxxdydxy（4）2121xyxxyy§4可降阶的高阶方程1.求下列方程通解。(1)yyx；（2）122xyxy；2(3)20yyy341yy..2002.1,0,1xxyyyy求下列方程的特解（2）0,0,2002xxxyyeyxy3．求xy的经过)1,0(且在与直线12xy相切的积分曲线4．证明曲率恒为常数的曲线是圆或直线.证明：0,0(,)1(232KKKyy可推出y是线性函数；K可取正或负5．枪弹垂直射穿厚度为的钢板，入板速度为a，出板速度为b)(ba，设枪弹在板内受到阻力与速度成正比，问枪弹穿过钢板的时间是多少？§5高阶线性微分方程1.已知)(),(21xyxy是二阶线性微分方程)()()(xfyxqyxpy的解，试证)()(21xyxy是0)()(yxqyxpy的解2.已知二阶线性微分方程)()()(xfyxqyxpy的三个特解xeyxyxy33221,,，试求此方程满足3)0(,0)0(yy的特解.3．验证1,121xeyxy是微分方程1)1(yyxyx的解，并求其通解.§6二阶常系数齐次线性微分方程1.求下列微分方程的通解（1）02yyy；（2）0136yyy；..（3）044yyy；（4）02)4(yyy.2．求下列微分方程的特解（1）10y,6,0340x0xyyyy（2）5y,2,0250x0xyyy（3）3y,2,01340x0xyyyy3.设单摆摆长为l，质量为m，开始时偏移一个小角度0，然后放开，开始自由摆动.在不计空气阻力条件下，求角位移随时间t变化的规律.4.圆柱形浮筒直径为0.5m，铅垂放在水中，当稍向下压后突然放开，浮筒周期为2s，求浮筒质量.。5.长为6m的链条自桌上无摩察地向下滑动，设运动开始时，链条自桌上垂下部分长为1m，问需多少时间链条全部滑过桌面.PmglO)(txx..§7二阶常系数非齐次线性微分方程1.求下列微分方程的通解（1）xxeyyy323；（2）xyyy2345；（3）xxyycos4；（4）xyy2sin；（5）)4(2xexyyy.2．求下列微分方程的特解（1）2(0)y,6)0(,523yyyy；（2）1)(y,1)(,02sinyxyy3.设连续函数)(xf满足xxdttfxtexf0)()()(求)(xf.Ox)(tp..4.一质量为m的质点由静止开始沉入水中，下沉时水的反作用力与速度成正比（比例系数为k），求此物体之运动规律.5.一链条悬挂在一钉子上，起动时一端离开钉子8m，另一端离开钉子12m，若不计摩擦力，求链条全部滑下所需时间.6.大炮以仰角、初速0v发射炮弹，若不计空气阻力，求弹道曲线.§8欧拉方程及常系数线性微分方程组O)(txP))(),(()(tytxtpxyO)(txPx..1.求下列微分方程的通解（1）32322xyyxyxyx；（2）xxyxyy22.2．求下列微分方程组的通解（1）33yxdtdydtdxyxdtdydtdx（2）00432222yxdtydyxdtxd自测题1.求下列微分方程的解。（1）xyxyytan；（2）0)2(2dyxyxydx；..（3）xxyyyy222；（4）xxyy2sin.2．求连续函数)(x，使得0x时有10)(2)(xdtxt.3．求以xexxCCy2221)(为通解的二阶微分方程.4．某个三阶常系数微分方程0cyybyay有两个解xe和x，求cba,,.5．设)()(xfyxpy有一个解为x1，对应齐次方程有一特解2x，试求：（1）)(),(xfxp的表达式；（2）该微分方程的通解.6．已知可导函数)(xf满足关系式：1)(1)()(12xfdttftfx求)(xf.7．已知曲线)(xyy上原点处的切线垂直于直线012yx，且)(xy满足微分方程xeyyyx2cos52，求此曲线方程...微分方程习题答案§1基本概念1．验证下列各题所给出的隐函数是微分方程的解.（1）yxyyxCyxyx2)2(,22yxyyxyyyxyx2)2(:022::移项求导解故所给出的隐函数是微分方程的解..（2）y0222t-)(,1eyyyxdt.解：隐函数方程两边对x求导0122yey方程两边再对x求导0][22yyyyey指数函数非零，即有2)(yyy故所给出的隐函数是微分方程的解2．已知曲线族，求它相应的微分方程（其中21C,,CC均为常数）（一般方法：对曲线簇方程求导，然后消去常数，方程中常数个数决定求导次数.）（1）1)(22yCx；102)(2:222yyyyycxyycx代入原方程得解出求导得（2）xCxCy2cos2sin21.04:,2cos42sin4:)2sin(22cos2:212121yyccxcxcyxcxcy得消去再求导得求导得3．写出下列条件确定的曲线所满足的微分方程。（1）曲线在yx,处切线的斜率等于该点横坐标的平方。解：设曲线为y=y(x)则曲线上的点yx,处的切线斜率为y，由题意知所求方程为2xy（2）曲线在点Pyx,处的法线x轴的交点为Q,，PQ为y轴平分。..解：曲线上的点yx,处法线方程：1YyXxy。故法线x轴的交点为Q坐标应为,0yyx，又PQ为y轴平分，故102yyxx，便得曲线所满足的微分方程：02xyy（3）曲线上的点Pyx,处的切线与y轴交点为Q,PQ长度为2，且曲线过点（2，0）。解：点Pyx,处切线方程：()YyyXx故Q坐标为0,yyx，则有2202PQxyyyx则得初值问题为：222(1)40xxyy§2可分离变量与齐次方程1．求下列微分方程的通解（1）2211yyx；解:分离变量cxyxdxydyxdxydyarcsinarcsin11,112222得两边积分（2）0tansectansec22xdyyydxx；解:分离变量22secsectantanxdxydyxy(tan)(tan)tantandxdyxy1lntanlntanxyC1lntantanxyC..1lntantanxyCee1tantanCxye1tantanCxyetantanxyC其中1CCe（3）23xyxydxdy；解:23dyxyxydx(3)dyxyydx分离变量得(3)dyxdxyy(3)dyxdxyy(3)dyxdxyy133dydyxdxyy2111lnln332yyxC213ln332yxCy213ln332yxCyee213323xCyeey2323xyCey其中13CCe（4）0)22()22(dydxyyxxyx.解：分离变量得222121yxyxdydx222121yxyxdydx21212121yxyxdd1ln21ln21yxC1ln2121yxC1ln2121yxCee1ln2121Cyxe12121Cyxe2121yxC其中1CCe2．求下列微分方程的特解（1）0,02xyxyey；..)1(212102120222xyxxyxyxyeecyceedxedyedxedye所以特解为：解得由解：（2）21,12xyyyyx解：分离变量得2dydxyyx11()1dxdyyyx11lnlnyxCy