抛物线的简单几何性质课件

§2.4.2抛物线的简单几何性质（1）X定义：在平面内,与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫抛物线.抛物线的定义及标准方程准线方程焦点坐标标准方程图形xFOylxFOylxFOylxFOyly2=-2px(p0)x2=2py(p0)y2=2px(p0))0,2p(2px)0,2p(2px)2p0(，2pyx2=-2py(p0))2p0(，2py一、温故知新范围1、yox)0,2(pF由抛物线y2=2px（p0）220pxy有0p0x所以抛物线的范围为0x二、探索新知如何研究抛物线y2=2px（p0）的几何性质?抛物线在y轴的右侧，当x的值增大时，︱y︱也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。对称性2、yox)0,2(pF(,)xy关于x轴对称(,)xy即点(x,-y)也在抛物线上,故抛物线y2=2px(p0)关于x轴对称.则(-y)2=2px若点(x,y)在抛物线上,即满足y2=2px，顶点3、yox)0,2(pF定义：抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点。y2=2px(p0)中，令y=0,则x=0.即：抛物线y2=2px(p0)的顶点（0，0）.注:这与椭圆有四个顶点,双曲线有两个顶点不同。离心率4、yox)0,2(pFP(x,y)抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离之比，叫做抛物线的离心率。由定义知，抛物线y2=2px(p0)的离心率为e=1.下面请大家得出其余三种标准方程抛物线的几何性质。（二）归纳：抛物线的几何性质图形方程焦点准线范围顶点对称轴elFyxOlFyxOlFyxOlFyxOy2=2px（p0）y2=-2px（p0）x2=2py（p0）x2=-2py（p0）)0,2(pF)0,2(pF)2,0(pF)2,0(pF2px2px2py2pyx≥0y∈Rx≤0y∈Ry≥0x∈Ry≤0x∈R(0,0)x轴y轴1特点：1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无限延伸,但它没有渐近线;2.抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;3.抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线;4.抛物线的离心率是确定的,为1;思考：抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响.yox)0,2(pFP(x,y)4321-1-2-3-4-5-2246810y2=xy2=xy2=2xy2=4x21P越大,开口越开阔补充（1）通径：通过焦点且垂直对称轴的直线，与抛物线相交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的通径。|PF|=x0+p/2xOyFP通径的长度：2PP越大,开口越开阔（2）焦半径：连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径。焦半径公式：),(00yx（标准方程中2p的几何意义）利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出反映抛物线基本特征的草图。因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M（２，），22解:所以设方程为：)0(22ppxy又因为点M在抛物线上：所以：2(22)22p2p因此所求抛物线标准方程为：24yx例１：已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M（２，），求它的标准方程.22三、典例精析坐标轴当焦点在x(y)轴上,开口方向不定时,设为y2=2mx(m≠0)(x2=2my(m≠0)),可避免讨论练习一：1、已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在直线3x-4y-12=0上，那么抛物线通径长是.162、已知点A（-2，3）与抛物线的焦点的距离是5，则P=。22(0)ypxp4四、归纳总结抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但没有渐近线；抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;抛物线的离心率是确定的，等于１；抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线；抛物线的通径为2P,2p越大，抛物线的张口越大.1、范围：2、对称性：3、顶点：4、离心率：5、通径：§2.4.2抛物线的简单几何性质（2）X一、直线与抛物线位置关系种类xyO1、相离；2、相切；3、相交（一个交点，两个交点）与双曲线的情况一样xyO二、判断方法探讨1、直线与抛物线相离，无交点。例：判断直线y=x+2与抛物线y2=4x的位置关系计算结果：得到一元二次方程，需计算判别式。相离。xyO2、直线与抛物线相切，交与一点。例：判断直线y=x+1与抛物线y2=4x的位置关系计算结果：得到一元二次方程，需计算判别式。相切。二、判断方法探讨xyO3、直线与抛物线的对称轴平行，相交与一点。例：判断直线y=6与抛物线y2=4x的位置关系计算结果：得到一元一次方程，容易解出交点坐标二、判断方法探讨xyO例：判断直线y=x-1与抛物线y2=4x的位置关系计算结果：得到一元二次方程，需计算判别式。相交。4、直线与抛物线的对称轴不平行，相交与两点。二、判断方法探讨三、判断直线与抛物线位置关系的操作程序（一）把直线方程代入抛物线方程得到一元一次方程得到一元二次方程直线与抛物线的对称轴平行（重合）相交（一个交点）计算判别式0=00相交相切相离例1、已知抛物线的方程为24yx,直线l过定点(2,1)P,斜率为k,k为何值时,直线l与抛物线24yx:⑴只有一个公共点;⑵有两个公共点;⑶没有公共点?几何画板演示.,21xkyl的方程为设直线由题意解由方程组,,xyxky4212244210kyyk可得①.,41412xxyy得代入把,,101yk得由方程时当①.,,141点与抛物线只有一个公共直线这时l.,1216022kkk的判别式为方程时当①.,,,2110120120kkkk或解得即由.,.,,,,有一个公共点与抛物线只直线这时只有一个解而方程组从只有一个解方程时或当于是lkk211①.,,2110120220kkk解得即由.,.,,,有两个公共点与抛物线直线这时只有两个解从而方程组只有两个解方程时且当于是lkk0211①.,,,2110120320kkkk或解得即由;,,,一个公共点与抛物线只有直线时或或当lkkk02111102,,;kkl当且时直线与抛物线有两个公共点.,,,与抛物线没有公共点直线时或当lkk211我们可得综上,.,.,,,,与抛物线没有公共点直线这时没有解方程组从而没有实数解方程时或当于是lkk211①例2斜率为1的直线l经过抛物线24yx的焦点F,且与抛物线相交于A、B两点,求线段AB的长.解这题,你有什么方法呢?法一:直接求两点坐标,计算弦长(运算量一般较大);法二:设而不求,运用韦达定理,计算弦长(运算量一般);法三:设而不求,数形结合,活用定义,运用韦达定理,计算弦长.xyOFABB’A’224,(1)4,yxxx代入方程得.0162xx化简得84)(216212212121xxxxABxxxx。的长是所以，线段8AB例2.斜率为1的直线L经过抛物线的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点,求线段AB的长.y2=4x解法一:由已知得抛物线的焦点为F(1,0),所以直线AB的方程为y=x-1xyOFABB’A’.,,),,(),,(2211BAddlBAyxByxA的距离分别为准线到设,1,121xdBFxdAFBA由抛物线的定义可知1228ABAFBFxx所以例2.斜率为1的直线L经过抛物线的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点,求线段AB的长.y2=4x2,1,2pp.1:xl准线解法二:由题意可知,分析：运用抛物线的定义和平面几何知识来证比较简捷．xyOFBAxyOFBADCxyEOFBADCHxyEOFBADCHxyEOFBADCHxyEOFBADCHxyEOFBADCH变式：过抛物线y2=2px的焦点F任作一条直线m，交这抛物线于A、B两点，求证：以AB为直径的圆和这抛物线的准线相切．证明：如图．xyEOFBADCH所以EH是以AB为直径的圆E的半径，且EH⊥l，因而圆E和准线l相切．设AB的中点为E，过A、E、B分别向准线l引垂线AD，EH，BC，垂足为D、H、C，则｜AF｜＝｜AD｜，｜BF｜＝｜BC｜∴｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜＝｜AD｜＋｜BC｜=2｜EH｜16课堂练习:1.过抛物线的焦点,作倾斜角为的直线,则被抛物线截得的弦长为_________2.垂直于x轴的直线交抛物线y2=4x于A、B,且|AB|=4,求直线AB的方程.y2=8x0453X=3课堂练习:3.过点(0,1)M且和抛物线C:24yx仅有一个公共点的直线的方程是__________________________.k联立214ykxyx消去x得2440kyy101yxyx或或点评：本题用了分类讨论的方法.若先用数形结合，找出符合条件的直线的条数，就不会造成漏解。§2.4.2抛物线的简单几何性质（3）XxyoFDBlA532.图.:,,,1平行于抛物线的对称轴直线证求于点线线的准物线顶点的直线交抛物抛和通过点两点交抛物线于的直线过抛物线焦点例DBDABAF.,,称轴之间的位置关系与抛物线对助方程研究直线借方程过建立抛物线及直线的即通我们用坐标法证明分析DB.,.的纵坐标相等即可的纵坐标与点点只要证明所示的直角坐标系建立如图BD532xyoFDBlA532.图.,,,.建立直角坐标系点它的顶点为原轴对称轴为以抛物线如图证明x532122,pxy设抛物线方程为2220020,,,xypyOAypyA的方程为线则直的坐标为点32.px抛物线的准线方程为43202.,ypyD点的纵坐标为可得、联立xyoFDBlA532.图.,,22202200ppypxyyAFpF的方程为直线所以的坐标是因为点52022.,ypyBpxy坐标为点的纵可得联立与.,//,平行于抛物线的对称轴故轴得、由DBxDB54xyBAFO221122122(0)(,),(,),:.ypxpABAxyBxyyyp例2、过抛物线焦点作直线交抛物线于，两点，设求证解：因为直线AB过定点F且不与x轴平行,设直线AB的方程为222221222()2220ypxpypmypxmyypmypyyp即：　（定值）2pxmyxyBAFO________?,:121221xxpyy，那么注意到在同样的条件下联想.4),,(),()0(2:122122112pxxyxB、yxA，Fppxy则有交抛物线于点的直线焦点过抛物线变题221122122(0)(,),(,),:.ypxpABAxyBxyyyp例2、过抛物线焦点作直线交抛物线于，两点，设求证xyBAFO?)0,2(:2221也成立那么反之是否成立时有过点焦点由于直线联想，pyypFAB.,),,(),()0(2:222122112FABpyyyx、ByxAppxy焦点过抛物线则直线若两个动点上抛物线变题小结:设而不求,联立方程组,韦达定理这是研究直线和圆锥曲线的位置关系问题的重要方法.例3、已知抛物线y2=2x,过Q(2,1)作直线与抛物线交于A、B，求AB中点的轨迹方程..FxOyQABM解：1122(,),(),(,)AxyBxyABMxy设中点22212122xyxy由)(221212121xxyyxxyy相减得：1ABky12ABykx又112yyx220yyx即212(,)(2,0)20xxxyyyx当=2时，为满足02:2xyyM轨迹方程为中点例4.已知抛物线y=x2,动弦AB的长为2，求AB中点纵坐标的最小值。xoyFABMCND解：),(