人教版高中数学【必修二】[知识点整理及重点题型梳理]-圆的方程-提高

精品文档用心整理资料来源于网络仅供免费交流使用人教版高中数学必修二知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习圆的方程【学习目标】1.掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程，能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径，解决一些简单的实际问题，并会推导圆的标准方程.2.掌握圆的一般方程的特点，能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径；能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程．【要点梳理】【圆的方程370891知识要点】要点一：圆的标准方程222()()xaybr，其中ab，为圆心，r为半径.要点诠释：(1)如果圆心在坐标原点，这时00ab，，圆的方程就是222xyr.有关图形特征与方程的转化：如：圆心在x轴上：b=0；圆与y轴相切时：||ar；圆与x轴相切时：||br；与坐标轴相切时：||||abr；过原点：222abr(2)圆的标准方程222()()xaybr圆心为ab，，半径为r，它显现了圆的几何特点.(3)标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径.由圆的标准方程可知，确定一个圆的方程，只需要a、b、r这三个独立参数，因此，求圆的标准方程常用定义法和待定系数法.要点二：点和圆的位置关系如果圆的标准方程为222()()xaybr，圆心为Cab，，半径为r，则有(1)若点00Mxy，在圆上22200||CMrxaybr(2)若点00Mxy，在圆外22200||CMrxaybr(3)若点00Mxy，在圆内22200||CMrxaybr要点三：圆的一般方程当2240DEF时，方程220xyDxEyF叫做圆的一般方程.,22DE为圆心，22142DEF为半径.要点诠释：精品文档用心整理资料来源于网络仅供免费交流使用由方程220xyDxEyF得22224224DEDEFxy(1)当2240DEF时，方程只有实数解,22DExy.它表示一个点(,)22DE.(2)当2240DEF时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．(3)当2240DEF时，可以看出方程表示以,22DE为圆心，22142DEF为半径的圆.要点四：几种特殊位置的圆的方程条件方程形式标准方程一般方程圆心在原点2220xyrr22200xyrr过原点2222()()xaybab220xyDxEy圆心在x轴上222()0xayrr220xyDxF圆心在y轴上222()0xybrr220xyEyF圆心在x轴上且过原点222()0xayaa220xyDx圆心在y轴上且过原点222()0xybbb220xyEy与x轴相切222()()xaybb220xyDxEyF240DF与y轴相切222()()xayba220xyDxEyF240EF要点五：用待定系数法求圆的方程的步骤求圆的方程常用“待定系数法”.用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是：(1)根据题意，选择标准方程或一般方程.(2)根据已知条件，建立关于abr、、或DEF、、的方程组.(3)解方程组，求出abr、、或DEF、、的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程.要点六：轨迹方程求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量,xy之间的方程．1．当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义（如圆）时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法（或称相关点法）．2．求轨迹方程时，一要区分“轨迹”与“轨迹方程”；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等．3．求轨迹方程的步骤：精品文档用心整理资料来源于网络仅供免费交流使用（1）建立适当的直角坐标系，用(,)xy表示轨迹（曲线）上任一点M的坐标；（2）列出关于,xy的方程；（3）把方程化为最简形式；（4）除去方程中的瑕点（即不符合题意的点）；（5）作答．【典型例题】类型一：圆的标准方程例1．求满足下列条件的各圆的方程：(1)圆心在原点，半径是3；(2)已知圆C经过(5,1),(1,3)AB两点，圆心在x轴上；(3)经过点5,1P，圆心在点8,3C．【思路点拨】一般情况下，如果已知圆心或易于求出圆心，可用圆的标准方程来求解，用待定系数法，求出圆心坐标和半径.【答案】（1）229xy（2）22(2)10xy（3）228325xy【解析】(1)229xy(2)线段AB的中垂线方程为240xy，与x轴的交点(2,0)即为圆心C的坐标，所以半径为||10CB，所以圆C的方程为22(2)10xy.(3)解法一：∵圆的半径22||58135rCP，圆心在点8,3C∴圆的方程是228325xy解法二：∵圆心在点8,3C，故设圆的方程为22283xyr又∵点5,1P在圆上，∴2225813r，∴225r∴所求圆的方程是228325xy.【总结升华】确定圆的方程的主要方法是待定系数法，即列出关于a、b、r的方程组，求a、b、r或直接求出圆心（a，b）和半径r，一般步骤为：（1）根据题意，设所求的圆的标准方程为(x―a)2+(y―b)2=r2；（2）根据已知条件，建立关于a、b、r的方程组；（3）解方程组，求出a、b、r的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程．举一反三：【变式1】圆心是（4，―1），且过点（5，2）的圆的标准方程是（）A．(x―4)2+(y+1)2=10B．(x+4)2+(y―1)2=10C．(x―4)2+(y+1)2=100D．22(4)(1)10xy【答案】A精品文档用心整理资料来源于网络仅供免费交流使用例2．（2015秋湖北宜昌月考）求下列各圆的标准方程：（1）圆心在直线y=0上，且圆过两点A（1，4），B（3，2）；（2）圆心在直线2x+y=0上，且圆与直线x+y―1=0切于点M（2，―1）．【思路点拨】（1）求出圆心和半径，即可求圆C的方程；（2）设出圆心坐标，列方程组解之．其中由圆心在直线2x+y=0上得出一个方程；再由圆心到直线x+y―1=0的距离即半径得出另一个方程．【答案】（1）22(1)20xy；（2）22(1)(2)2xy【解析】（1）∵圆心在直线y=0上，∴设圆心坐标为C（a，0），则|AC|=|BC|，即22(1)16(3)4aa，即22(1)16(3)4aa，解得a=―1，即圆心为（―1，0），半径2||(11)1625rAC，则圆的标准方程为22(1)20xy，（2）设圆心坐标为（a，b），则2220|1|(2)(1)2ababab解得a=1，b=－2，∴2r，∴要求圆的方程为22(1)(2)2xy．举一反三：【圆的方程370891典型例题1】【变式1】（1）过点(2,3),(2,5)AB且圆心在直线230xy上；（2）与x轴相切，圆心在直线30xy上，且被直线0xy截得的弦长为27．【答案】（1）22(1)(2)10xy（2）22(1)(3)9xy或22(1)(3)9xy【解析】（1）设圆的方程为：222()xaybr，则2222222325230abrabrab，解得：21,2,10abr所求圆的方程为：22(1)(2)10xy精品文档用心整理资料来源于网络仅供免费交流使用（2）设圆的方程为：222()xaybr，则222230142rbababr解得：2139abr或2139abr所求圆的方程为：22(1)(3)9xy或22(1)(3)9xy．类型二：圆的一般方程例3．已知直线x2+y2―2(t+3)x+2(1―4t2)y+16t4+9=0表示一个圆．（1）求t的取值范围；（2）求这个圆的圆心和半径；（3）求该圆半径r的最大值及此时圆的标准方程．【思路点拨】若一个圆可用一般方程表示，则它具备隐含条件D2+E2―4F＞0，解题时，应充分利用这一隐含条件．【答案】（1）117t（2）（t+3，4t2－1）2167tt（3）477222413167497xy【解析】（1）已知方程表示一个圆D2+E2―4F＞0，即4(t+3)2+4(1―4t2)2―4(16t4+9)＞0，整理得7t2―6t―1＜0117t．（2）圆的方程化为[x―(t+3)]2+[y+(1―4t2)]2=1+6t―7t2．∴它的圆心坐标为（t+3，4t2－1），半径为2167tt．（3）由2222131647476172777rDEFttt．∴r的最大值为477，此时圆的标准方程为222413167497xy．【总结升华】在本例中，当t在1,17中任取一个值，它对应着一个不同的圆，它实质上是一系列的圆，因此本例中的圆的方程实质上是一个圆系方程，由2341xtyt得y=4(x―3)2―1，再由117t，知2047x，因此它是一个圆心在抛物线2204(3)147yxx的圆系方程．举一反三：【圆的方程370891典型例题2】精品文档用心整理资料来源于网络仅供免费交流使用【变式1】（1）求过(2,2),(5,3),(3,1)ABC的圆的方程，及圆心坐标和半径；（2）求经过点(2,4)A且与直线3260xy相切于点（8，6）的圆的方程．【答案】（1）224(1)5xy（4，1）5（2）22113300xyxy【解析】（1）法一：设圆的方程为：220xyDxEyF，则8220345301030DEFDEFDEF，解得：8212DEF所以所求圆的方程为：228220xyxy，即224(1)5xy，所以圆心为（4，1），半径为5．法二：线段AB的中点为为75,22，321523ABk线段AB的中垂线为57322yx，即3130xy同理得线段BC中垂线为260xy联立2603130xyxy，解得41xy所以所求圆的方程为（4，1），半径22(42)(12)5r所以224(1)5xy．（2）法一：设圆的方程为：220xyDxEyF，则2024062382100860DEFEDDEF，解得：11330DEF所以圆的方程为22113300xyxy．法二：过点B与直线3260xy垂直的直线是3180xy，线段AB的中垂线为40xy，精品文档用心整理资料来源于网络仅供免费交流使用由318040xyxy得：圆心坐标为113,22，由两点间距离公式得半径21252r，所以圆的方程为22113125222xy．【变式2】判断方程ax2+ay2―4(a―1)x+