《线角相交线与平行线》专题复习

《线、角、相交线与平行线》专题复习直线一、直线：直线是几何中不加定义的基本概念，直线的两大特征是“直”和“向两方无限延伸”。二、直线的基本性质：过两点有且只有一条直线。直线的这条性质是以公理的形式给出的，可简述为：“两点确定一条直线”。三、直线的性质两直线相交只有一个交点射线1、射线的定义：直线上一点和它们的一旁的部分叫做射线。2．射线的特征：“向一方无限延伸，它有一个端点。”线段1、线段的定义：直线上两点和它之间的部分叫做线段，这两点叫做线段的端点。2、线段的性质（公理）：所有连接两点的线中，线段最短。简称“两点之间相段最短”3、线段的中点：定义：点B把线段AC分成两条相等的线段，点B叫做线段AC的中点。角1、角的两种定义：一种是有公共端点的两条射线所组成的图形叫做角。要弄清定义中的两个重点①角是由两条射线组成的图形；②这两条射线必须有一个公共端点。另一种是一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形。可以看出在起始位置的射线与终止位置的射线就形成了一个角。2．角的平分线定义：一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。角的分类：（1）锐角：小于直角的角叫做锐角（2）直角：平角的一半叫做直角（3）钝角：大于直角而小于平角的角（4）平角：把一条射线，绕着它的端点顺着一个方向旋转，当终止位置和起始位置成一直线时，所成的角叫做平角。（5）周角：把一条射线，绕着它的端点顺着一个方向旋转，当终边和始边重合时，所成的角叫做周角。（6）周角、平角、直角的关系是：l周角=2平角=4直角=360°角的度量角的度量：度量角的大小，可用“度”作为度量单位。把一个圆周分成360等份，每一份叫做一度的角。1度=60分；1分=60秒。一、本章知识结构图平面内两条直线的位置关系相交线三线八角两线四角平行线平行公理及推论邻补角对顶角垂线及性质斜线同位角内错角同旁内角平行线的判定平行线的性质命题假命题真命题公理和定理相关的角1、对顶角：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角。2、互为补角：如果两个角的和是一个平角，这两个角做互为补角。3、互为余角：如果两个角的和是一个直角，这两个角叫做互为余角。4、邻补角：有公共顶点，一条公共边，另两条边互为反向延长线的两个角做互为邻补角。注意：互余、互补是指两个角的数量关系，与两个角的位置无关，而互为邻补角则要求两个角有特殊的位置关系。角的性质1、对顶角相等。2、同角或等角的余角相等。3、同角或等角的补角相等。相交线1、斜线：两条直线相交不成直角时，其中一条直线叫做另一条直线的斜线。它们的交点叫做斜足。2、两条直线互相垂直：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直。3、垂线：当两条直线互相垂直时，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。垂线的性质垂线公理：过一点有且只有一条直线与己知直线垂直。垂线段公理：直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短。简单说：垂线段最短。十二、距离1、两点的距离：连结两点的线段的长度叫做两点的距离。2、从直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离。3、两条平行线的距离：两条直线平行，从一条直线上的任意一点向另一条直线引垂线，垂线段的长度，叫做两条平行线的距离。平行线1、定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。2、平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。3、平行公理的推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。平行线的性质（1）两直线平行，同位角相等。（2）两直线平行，内错角相等。（3）两直线平行，同旁内角互补平行线的判定（1）同位角相等，两直线平行。（2）内错角相等，两直线平行。（3）同旁内角互补，两直线平行。1.命题的概念:判断一件事情的句子，叫做命题。命题必须是一个完整的句子;这个句子必须对某件事情做出肯定或者否定的判断。两者缺一不可。2.命题的组成:每个命是由题设、结论两部分组成。题设是已知事项;结论是由已知事项推出的事项。命题常写成“如果……，那么……”的形式。或“若……，则……”等形式。3.真命题和假命题:命题是一个判断，这个判断可能是正确的，也可以是错误的。由此可以把命题分成真命题和假命题。真命题就是:如果题设成立，那么结论一定成立的命题。假命题就是:如果题设成立时，不能保证结论总是成立的命题。例1．已知：如图5，AB∥CD，求证：∠B+∠D=∠BED.ABEDC（图5）证明：过点E作EF∥AB，∴∠B=∠1（两直线平行，内错角相等）.∵AB∥CD（已知），又∵EF∥AB（已作），∴EF∥CD（平行于同一直线的两条直线互相平行）.∴∠D=∠2（两直线平行，内错角相等）.又∵∠BED=∠1+∠2，∴∠BED=∠B+∠D（等量代换）.12F/变式1.已知：如图6，AB∥CD，求证：∠BED=360°-（∠B+∠D）.ABECD(图6)12F证明：过点E作EF∥AB，∴∠B+∠1=180°（两直线平行，同旁内角互补）.∵AB∥CD（已知），EF∥AB（已作），∴EF∥CD（平行于同一直线的两条直线互相平行）.∴∠D+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补）.∴∠B+∠1+∠D+∠2=180°+180°（等式的性质）.又∵∠BED=∠1+∠2，∴∠B+∠D+∠BED=360°（等量代换）.∴∠BED=360°-（∠B+∠D）（等式的性质）./变式2.已知：如图7，AB∥CD，求证：∠BED=∠D-∠B.DABEC(图7)F证明：过点E作EF∥AB，∴∠FEB=∠B（两直线平行，内错角相等）.∵AB∥CD（已知），EF∥AB（已作），∴EF∥CD（平行于同一直线的两条直线互相平行）.∴∠FED=∠D（两直线平行，内错角相等）.∵∠BED=∠FED-∠FEB，∴∠BED=∠D-∠B（等量代换）.变式3.已知：如图8，AB∥CD，求证：∠BED=∠B-∠D.ABEDCF12证明：过点E作EF∥AB，则∠1+∠B=180°（两直线平行，同旁内角互补）.∵AB∥CD（已知），EF∥AB（已作），∴EF∥CD（平行于同一直线的两条直线互相平行）.∴∠FED+∠D=180°（两直线平行，同旁内角互补）.∴∠1+∠2+∠D=180°.∴∠1+∠2+∠D-（∠1+∠B）=180°-180°（等式的性质）.∴∠2=∠B-∠D（等式的性质）.即∠BED=∠B-∠D.再见