向量三点共线定理及其延伸应用汇总

个人收集整理仅供参考学习1向量三点共线定理及其扩展应用详解一、平面向量中三点共线定理的扩展及其应用一、问题的提出及证明。1、向量三点共线定理：在平面中A、B、C三点共线的充要条件是：.OAxOByOC（O为平面内任意一点），其中1xy。那么1xy、1xy时分别有什么结证？并给予证明。结论扩展如下：1、如果O为平面内直线BC外任意一点，则当1xy时A与O点在直线BC同侧，1xy时，A与O点在直线BC的异侧，证明如下：设OAxOByOC且A与B、C不共线，延长OA与直线BC交于A1点设1OAOA（≠0、≠1）A1与B、C共线则存在两个不全为零的实数m、n1OAmOBnOC且1mn则OAmOBnOCmnOAOBOCmx、ny1mnxy（1）1则1xy则111OAOAOAA与O点在直线BC的同侧（如图[1]）（2）0,则101xy，此时OA与1OA反向A与O在直线BC的同侧（如图[2]）图[2]BCA11OAOA11BCA图[1]个人收集整理仅供参考学习2（3）1o，则1xy此时111OAOAOAA与O在直线BC的异侧（如图[3]）图[3]2、如图[4]过O作直线平行AB，延长BO、AO、将AB的O侧区域划分为6个部分，并设OPxOAyOB,则点P落在各区域时，x、y满足的条件是：（Ⅰ）区：0001xyxy（Ⅱ）区：0001xyxy（Ⅲ）区：0001xyxy（Ⅳ）区：0011xyxy（Ⅴ）区：00xy（Ⅵ）区：0010xyxy（证明略）二、用扩展定理解高考题。（1）如图[5]OMAB，点P在由射线OM,线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内（不含边界），且OPxOAyOB，则实数对（x、y）可以是……（）A.（14，34）B.（23，23）C.（14，34）D.（15，75）解：根据向量加法的平等四边形法则及扩展定理，则0x，且1Oxy，则选C（2）如图[5]OMAB，点P在由射线OM，线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内（不含边界）运动，且OPxOAyOB，则x的取值范围是。当12x时，y的取值范围是。解：根据向量加法的平行四边形法则及扩展定理，则有：0x，且当12x，有：1Oxy，即1131222Oyy答案为：0x，（12，32）ABCA11OABOⅢⅣⅤⅥⅠⅡMBAOP图[4]图[5]个人收集整理仅供参考学习3二、向量共线定理的几个推论及其应用人教版《数学》（必修）第一册（下）P115面介绍了一个定理：向量b与非零向量a共线有且仅有一个实数，使b=a。谓之“向量共线定理”。以它为基础，可以衍生出一系列的推论，而这些推论在解决一些几何问题（诸如“三点共线”“三线共点”等）时有着广泛的应用。以下通过例题来加以说明。一、定理的推论推论一：向量b与向量a共线存在不全为0的实数12,，使120ab，这实质是定理的另外一种表述形式。推论二：三个不同点A、B、C共线存在一组全不为0的实数12,，使120ABAC。注意推论（二）与推论（一）的区别：推论（二）中,ABAC均不为零向量，而推论（一）中，向量,ab可能含O。推论三:设O、A、B三点不共线，且OPxOAyOB，（x，y∈R），则P、A、B三点共线x+y=1。这实质是直线方程的向量形式。推论四:设O为平面内任意一点，则三个不同点A、B、C共线存在一组全不为0的实数123,,使123OAOBOCO且123=0证：①当O点与A、B、C三点中任一点重合，则推论（四）即为推论（二）；②当O点与A、B、C三点均不重合，则三点A、B、C共线存在s，t∈R，且s·t≠0，使得sABtACO，此时，s≠-t，否则ABAC，从而B点与C点重合，这与已知条件矛盾，故有：()()sOBOAtOCOAO，即：()sOBtOCstOAO。显然s+t+[-(s+t)]=0令123()0,0,0stst,故1230得证。推论五：设O为平面内任意一点，则三个不同点A、B、C不共线若存在实数123,,，使123OAOBOCO且1230则123=0。推论五实质是推论四的逆否命题。推论六：点P在ΔABO的内部（不含边界）存在正实数12,，使得12OPOAOB，且121。证：：如图，必要性：若点P在ΔABO的内部（不含边界），则12OPOAOB，延长OP交AB于P1，过P作OA、OB的平行线，分别交OA，OB于M，N点，过P1作OA，OB的平行线，分别交OA，OB于M1，N1点，显然BN1NP1AM1MOP个人收集整理仅供参考学习411||||PMPM，11||||PNPN，12OPOMONOAOB。其中12||||,||||OMONOAOB显然120,0。由于111112||||||||||||||||||||||||PNPMOMONPNPMOAOBOAOBOAOB11||||||1||||||PBAPABABABAB.而充分性由上述各步的可逆性易知。事实上，我们可以将推论三与推论六整合在一起，导出推论七：推论七：已知平面内不共线向量AB，AC且12APABAC。分别记过点A且与BC平行的直线为1l，直线BC，AB，AC分别为234,,lll.则：P点在直线2l上121；P点在直线2l不含A点一侧121；P点在直线2l与1l之间1201；P点在直线1l上120；P点在直线1l不含直线2l一侧120；P点在直线3l不含C点一例20,R；P点在直线3l含C点一侧210,R；P点在直线4l不含B点一侧120,R，P点在直线4l含B点一侧120,R。证：设直线AP与直线BC相交于点P，则设BPtBC，则()(1)APABBPABtBCABtACABtABtAC故P若在直线BC上，则121,又∵,APAP共线，则APkAP,故：12[(1)]ABACktABtAC,则12()()ktkABktAC,∵AB、AC不共线，则1200ktkkt.∴122()kkt（1）若P在①区域内，则0k1，即0121，且12,均为正实数，即1201,01;（2）若P在②区域内，则0k1，t1，则20，10，且1201;（3）若P在③区域内，则k0，120,0，且120;（4）若P在④区域内，则k0，120,0，且120;l3l4l22Pl1P3④⑤③②⑥AP1⑧1P①3P⑦⑨BCP2个人收集整理仅供参考学习5（5）若P在⑤区域内，则k0，120,0，且120;（6）若P在⑥区域内，则0k1，则12(0,1);（7）若P在⑦区域内，则k1，则121,0，121;（8）若P在⑧区域内，则k1，则120,0，121;（9）若P在⑨区域内，则k1，则120,1，121.综上：当P点位于1l上方，120;当P点位于1l下方2l上方，12(0,1);当P点位于2l下方121;当P点位于3l左边，20，3l右边，20;当P点位于4l左边，10，4l右边10从而得证。注：推论（七）的相关结论还可以分得更细，它对解决“区域”问题很有重要的作用。二、应用举例例1如图，在平行四边形ABCD中，点M是AB的中点，点N在BD上。BN=13BD，求证：M、N、C三点共线。证：设1ABe，2ADe，（1e与2e不共线），则21BDee.∵N为BD的三等分点，∴2111()33BNBDee,而11122BMBAe,∴21212111211212()333323333BNeeeeeBMBCBM,∵12,33mn，且m+n=1，且B、M、C三点不共线，则点M、N、C三点共线。例2设M，N分别是正六边形ABCDEF的对角线AC、CE的内分点，且AMCNACCE，若B、M、N三点共线，求的值。分析：要求的值，只需建立f()=0即可，而f()=0就隐含在直线方程的向量形式中。解：延长EA，CB交于点P，设正六边形的边长为1,易知ΔECP为RtΔ，AE=AP=AC=3，PB=2,A是EP之中点，1CECN,∴11113()322222CACECPCNCBCNCB,又∵AMCNACCE，∴11CACM；∴11313(1)12222CMCNCBCMCNCB；∵B、M、N三点共线.由推论（三）知，13(1)31223即为所求AMBCNDBCDEFAPMN个人收集整理仅供参考学习6例3（06年江西高考题）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若1200OBaOAaOC，且A、B、C三点共线，（设直线不过点O），则S200=A．100B．101C．200D．201解：易知a1+a200=1,∴1200200200()1002aaS,故选A。例4如图OM∥AB，点P在由射线OM，线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内（不含边界），且OPxOAyOB，则实数对（x，y）可能的取值是A．13(,)44B．22(,)33C．13(,)44D．17(,)55解：由P点所处的区域，利用推论（七）的结论我们不难判定OPxOAyOB中的线性组合系数对（x，y）应满足0x+y1，且x0，y0。从而应选C。例5（梅涅劳斯定理）若直线l不经过ΔABC的顶点，并且与ΔABC的三边BC、CA、AB或它们的延长线分别交于P、Q、R，则BPCQARPCQARB=1证：如图，设P、Q、R三点分有向线段BC、CA、AB，所成的比分别为123,,，则1231||||||1BPCQARPCQARB，又P、Q、R三个分点中有一个或三个外分点，所以1230，因而只需证明1231。任取一点O，则由定比分点的向量公式得：1212,11OBOCOCOAOPOQ,331OAOBOR,∵P、Q、R三点共线,∴由推论4知存在全不为0的实数k1，k2，k3使312123123123()()()01110OAOBOBOCOCOAkkkkkk即333221112233112()()()0111111kkkkkkOAOBOC,且333221112233112()()()0111111kkkkkk,而A、B、C三点不共线，由推论5得3332211122331120111111kkkkkk,∴1231，原命题得证。AOMPQBAQPCBLR个人收集整理仅供参考学习7例6（塞瓦定理）若P、Q、R分别是ΔABC的BC、CA、AB边上的点，则，AP、BQ、CR三线共点的充要条件是1BPCQARPCQARB。证：必要性：如图，设P、Q、R分有向线段BC、CA、AB所成的比分别为123,,，则12311BPCQARPCQARB.在平