高中数学数列讲义

数列讲义授课教师：听课学生：2015-6-2012015-6-20PartI基础达标一、数列数列的基本概念及性质数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；数列中的每个数都叫这个数列的项。记作na，在数列第一个位置的项叫第1项（或首项），在第二个位置的叫第2项，……，序号为n的项叫第n项（也叫通项）记作na；数列的一般形式：1a，2a，3a，……，na，……，简记作na。通项公式的定义：如果数列}{na的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式。例如，数列①的通项公式是na=n（n7，nN），数列②的通项公式是na=1n（nN）。注意：①na表示数列，na表示数列中的第n项，na=fn表示数列的通项公式；②同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如，na=(1)n=1,21()1,2nkkZnk；③不是每个数列都有通项公式。例如，1，1.4，1.41，1.414，……数列的函数特征与图象表示：序号：123456项：456789上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集N（或它的有限子集）的函数()fn当自变量n从1开始依次取值时对应的一系列函数值(1),(2),(3),fff……，()fn，……．通常用na来代替fn，其图象是一群孤立点。数列分类：①按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；②按数列项与项之间的大小关系分：单调数列（递增数列、递减数列）、常数列和摆动数列。递推公式定义：如果已知数列na的第1项（或前几项），且任一项na与它的前一项1na（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。数列{na}的前n项和nS与通项na的关系：11(1)(2)nnnSnaSSn≥22015-6-202.例题讲解与练习类型一：数列的基本计算1.数列{}na中，1112,(2,3,4,1nnnaaana），则它的前5项是。2.数列{}na中，12211,2,,nnnaaaaa则7a。类型二：根据数列的有限项，写出数列的通项公式3.求以下数列的通项公式（1）9，99，999，9999，……；an=;（2）7，77，777，7777，……；an=;（3）7，-77，777，-7777，……；an=;（4）1．-1，1，-1，……；an=;（5）1，0，1，0，……；an=;（6）12341,2,3,4,2345……；an=;类型三：已知数列的前n项和求数列的通项公式4.已知数列{an}的前n项和为221nSnn，求数列{an}的通项公式；5.已知数列{an}的前n项和为22nSnn，求数列{an}的通项公式。6.已知数列{an}的前n项和为1(1)nnSn,则通项an=;注意：（1）公式表示的是数列的前n项和与通项之间的关系。（2）切勿忽视n=1的情形。类型四：用递推公式求数列的通项公式7.数列{}na中，满足112,nnaaan，求数列{an}的通项公式；8.数列{}na中，满足112,1nnnaaan，求数列{an}的通项公式；类型五：数列与函数的结合9.已知函数xxxf1-)(，设*))((Nnnfan（1）求证：1na；32015-6-20（2）{an}是递增数列还是递减数列？为什么？二、等差数列1.等差数列定义和基本性质等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。用递推公式表示为1(2)nnaadn或1(1)nnaadn。等差数列的通项公式：1(1)naand；说明：等差数列（通常可称为AP数列）的单调性：d0为递增数列，0d为常数列，0d为递减数列。等差中项的概念：定义：如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。其中2abAa，A，b成等差数列2abA。等差数列的前n和的求和公式：11()(1)22nnnaannSnad。等差数列的性质：（1）在等差数列na中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；（2）在等差数列na中，相隔等距离的项组成的数列是AP，如：1a，3a，5a，7a，……；3a，8a，13a，18a，……；（3）在等差数列na中，对任意m，nN，()nmaanmd，nmaadnm()mn；（4）在等差数列na中，若m，n，p，qN且mnpq，则mnpqaaaa；（5）设数列{}na是等差数列，且公差为d，则有：（i）若项数为偶数，设共有2n项，则①S偶S奇nd；②1nnSaSa奇偶；（ii）若项数为奇数，设共有21n项，则①S奇S偶naa中；②1SnSn奇偶。（6）mmmmmSS,SS,S232仍成等差数列数列最值（1）10a，0d时，nS有最大值；10a，0d时，nS有最小值；42015-6-20（2）nS最值的求法：①若已知nS，可用二次函数最值的求法（nN）；②若已知na，则nS最值时n的值（nN）可如下确定100nnaa或100nnaa。2.例题讲解与练习1.在等差数列{an}中，a2+a5+a8=9,a3a5a7=-21,求通项an.2.在等差数列{an}中，S10=310，S20=1220，求Sn与通项an.3.a3,a15是方程x2-6x-1=0的两个根，求a7+a8+a9+a10+a11=.4.等差数列{an}，)9(,30,240,1849naSSnn，则项数n为（）5．等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（）A.130B.170C.210D.2606.若数列{}na是等差数列，首项120032004200320040,0,.0aaaaa，则使前n项和0nS成立的最大自然数n是：（）A.4005B.4006C.4007D.40087.等差数列{an}，{bn}的前n项和为Sn，Tn，且71427nnSnTn,求1111ab.8.等差数列{an}共有2n-1项，所有奇数项的和为132，所有偶数项的和为120，则n=.9．在等差数列{an}中,,SS,a83125则前n项和nS的最小值为（）A.-80B.-76C.-75D.-7410.已知等差数列}{na，nS是其前n项和，且877665,,SSSSSS，则下列结论错误的是（）A.d0B.07aC.59SSD.6S与7S均为nS的最大值.11．已知数列｛bn｝是等差数列，b1=1，b1+b2+…+b10=100.（Ⅰ）求数列｛bn｝的通项bn；（Ⅱ）设数列｛an｝的通项an=lg（1+nb1），记Sn是数列｛an｝的前n项和，试比较Sn与21lgbn+1的大小，并证明你的结论。三、等比数列52015-6-20等比数列定义和基本性质等比数列定义一般地，如果一个数列从第二项起．．．．，每一项与它的前一项的比等于同一个常．数．，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示(0)q，即：1na：(0)naqq数列（注意：“从第二项起”、“常数”q、等比数列的公比和项都不为零）等比数列通项公式为：)0(111qaqaann。说明：（1）由等比数列的通项公式可以知道：当公比1d时该数列既是等比数列也是等差数列；（2）等比数列的通项公式知：若{}na为等比数列，则mnmnaqa。等比中项如果在ba与中间插入一个数G，使bGa,,成等比数列，那么G叫做ba与的等比中项（两个符号相同的非零实数，都有两个等比中项）。等比数列前n项和公式一般地，设等比数列123,,,,,naaaa的前n项和是nS123naaaa，当1q时，qqaSnn1)1(1或11nnaaqSq；当q=1时，1naSn（错位相减法）。说明：（1）nSnqa,,,1和nnSqaa,,,1各已知三个可求第四个；（2）注意求和公式中是nq，通项公式中是1nq不要混淆；（3）应用求和公式时1q，必要时应讨论1q的情况。等比数列的性质①等比数列任意两项间的关系：如果na是等比数列的第n项，ma是等差数列的第m项，且nm，公比为q，则有mnmnqaa；②对于等比数列na，若vumn，则vumnaaaa，也就是：23121nnnaaaaaa，如图所示：nnaanaannaaaaaa112,,,,,,12321。③若数列na是等比数列，nS是其前n项的和，*Nk，那么kS，kkSS2，kkSS23成等比数列。如下图所示：kkkkkSSSkkSSkkkaaaaaaaa3232k31221S32162015-6-202.例题讲解与练习1.数列{}na是等比数列，则在①1{}nnaa；②1{}nnaa；③1{}nnaa；④3{}na；⑤{}nna；⑥{lg}na这6个数列中仍成等比数列的是。2.等差数列a,b,c三项的和为12，且a,b,c+2成等比数列，求a的值。3.等比数列{an}中,an0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,则a3+a5=()4.等比数列{an}中，,baa),a(,aaa20191090则10099aa（）A：89abB：9)ab(C：910abD：10)ab(5.{an}是各项为正数的等比数列，965aa，则1032313alogalogalog=（）A：12B：10C：8D：523log6．等比数列{an}中，49nS，2112nS，则3nS=。7．等比数列{an}中，11,512,341,nnaaS求q。8．求211,,,,,naaa的前n项和。9．{an}成等差数列，1351a,a,a成等比数列，则该等比数列的公比为（）A：21B：2C：41D：3110．{an}成等差数列，{bn}成等比数列，)n,,,i(b,qi2101，若11ba，1111ba，则（）A：66baB：66baC：66baD：66ba或66ba11．y,a,a,x21成等差数列，y,b,b,x21成等比数列，则21221bb)aa(的取值范围是（）A：),[4B：（0，4）C：),[],(40D：),[),(4012．（2006年辽宁卷）在等比数列na中,12a,前n项和为nS,若数列1na也是等比数列，则nS等于（）72015-6-20A．122nB．3nC．2nD．31n13．（2006年北京卷）设4710310()22222()nfnnN，则()fn等于（）A．2(81)7nB．12(81)7nC．32(81)7nD．42(81)7n14．（1996全国文，21）设等比数列｛an｝的前n项和为Sn，若S3＋S6＝2S9，求数列的公比q；15．（2005江苏3）在各项都为正数的等比数列{an}中，首项a1＝3，前三项和为21，则a3＋a4＋a5＝（）（A）33（B）72（C）84（D）18916．（2000上海，12）在等差数列｛an｝中，若a10＝0，则有等式a1+a2+…＋an=a1+a2+…＋a19－n（n＜19，n∈N)成立.类比上述性质，相应地：在等比数列｛bn｝中，若b9＝1，则有等式成立。PartII数列综合应用一、数列求和（一）．公