3-1假设检验初述,两类错误

第一节假设检验二、假设检验的相关概念三、假设检验的一般步骤一、假设检验的基本原理四、典型例题五、小结一、假设检验的基本原理在本节中，我们将讨论不同于参数估计的另一类重要的统计推断问题.这就是根据样本的信息检验关于总体的某个假设是否正确.这类问题称作假设检验问题.在总体的分布函数完全未知或只知其形式、但不知其参数的情况下,为了推断总体的某些性质,提出某些关于总体的假设.例如,提出总体服从泊松分布的假设;提出总体服从正态分布的假设;.,0假设等的期望等于对于正态总体提出数学又如假设检验参数假设检验非参数假设检验总体分布已知，检验关于未知参数的某个假设总体分布未知时的假设检验问题假设检验就是根据样本对所提出的假设作出判断:是接受,还是拒绝.如何利用样本值对一个具体的假设进行检验?通常借助于直观分析和理论分析相结合的做法,其基本原理就是人们在实际问题中经常采用的所谓实际推断原理:“一个小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的”.这一节我们讨论对参数的假设检验.在假设检验中，我们称这个小概率为显著性水平，用表示.的选择要根据实际情况而定。实际推断原理:“一个小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的”.常取.05.0,01.0,1.0下面结合实例来说明假设检验的基本思想.实例某车间用一台包装机包装葡萄糖,包得的袋装糖重是一个随机变量,它服从正态分布.当机器正常时,其均值为0.5千克,标准差为0.015千克.某日开工后为检验包装机是否正常,随机地抽取它所包装的糖9袋,称得净重为(千克):0.4970.5060.5180.5240.4980.5110.5200.5150.512,问机器是否正常?,的均值和标准差装糖重总体分别表示这一天袋和用X分析:由长期实践可知,标准差较稳定,,015.0设),015.0,(~2NX则.未知其中问题:根据样本值判断.0.50.5还是提出两个对立假设.:5.0:0100HH和再利用已知样本作出判断是接受假设H0(拒绝假设H1),还是拒绝假设H0(接受假设H1).如果作出的判断是接受H0,即认为机器工作是正常的,否则,认为是不正常的.,0则由于要检验的假设涉及总体均值,故可借助于样本均值来判断.,的无偏估计量是因为X,||,00不应太大则为真所以若xH),1,0(~/,00NnXH为真时当,/||||00的大小的大小可归结为衡量衡量nxx于是可以选定一个适当的正数k,,,/00Hknxx拒绝假设时满足当观察值.,/,00Hknxx接受假设时满足当观察值反之/2,ku),1,0(~/00NnXZH为真时因为当U由标准正态分布分位点的定义得2{||}PUu对给定的显著性水平，.,/,,/02/002/0HunxHunx接受时拒绝时当0.05,在实例中若取定0.015,,9n又已知0.511,x由样本算得1.96,2.2/0nx即有于是拒绝假设H0,认为包装机工作不正常.假设检验过程如下:,96.1025.02/uuk则以上所采取的检验法是符合实际推断原理的.0.05,0.01,,一般取总是取得很小由于通常.,/,,,/,,2/002/000几乎是不会发生的的观察值等式由一次试验得到满足不为真就可以认为如果根据实际推断原理小概率事件是一个时即为真因而当xunxHunXH.,,/,002/0HHxunx因而拒绝正确性的的假设则我们有理由怀疑原来的观察值得到了满足不等式在一次试验中.,,/002/0HHunxx因而只能接受没有理由拒绝假设则满足不等式若出现观察值如果H0是对的，那么衡量差异大小的某个统计量落入区域W(拒绝域)是个小概率事件.如果该统计量的实测值落入W，也就是说，H0成立下的小概率事件发生了，那么就认为H0不可信而否定它.否则我们就不能否定H0（只好接受它）.这里所依据的逻辑是：不否定H0并不是肯定H0一定对，而只是说差异还不够显著，还没有达到足以否定H0的程度.所以假设检验又叫“显著性检验”二、假设检验的相关概念1.显著性水平./,,,0来作决定还是小于值大于等于的观察值的绝对然后按照统计量定就可以确数后选定当样本容量固定时kknxUk,,,/000Hxknxu则我们拒绝的差异是显著的与则称如果.0之下作出的著性水平在显有无显著差异的判断是与上述关于x.称为显著性水平数,,,/,000Hxknxu则我们接受不显著的的差异是与则称如果反之如果显著性水平取得很小，则拒绝域也会比较小.其产生的后果是：H0难于被拒绝.如果在很小的情况下H0仍被拒绝了，则说明实际情况很可能与之有显著差异.01.0基于这个理由，人们常把时拒绝H0称为是显著的，而把在时拒绝H0称为是高度显著的.005.2.检验统计量3.原假设与备择假设假设检验问题通常叙述为:,下在显著性水平.,01”检验针对下或称为“在显著性水平HH.,10称为备择假设称为原假设或零假设HH.:,:0100HH检验假设./0称为检验统计量统计量nXZU4.拒绝域与临界点当检验统计量取某个区域W中的值时,我们拒绝原假设H0,则称区域W为拒绝域,拒绝域的边界点称为临界限.如在前面实例中,/2||,uu拒绝域为.,2/2/uuuu临界限为5.两类错误及记号假设检验的依据是:小概率事件在一次试验中很难发生,但很难发生不等于不发生,因而假设检验所作出的结论有可能是错误的.这种错误有两类:(1)当原假设H0为真,观察值却落入拒绝域,而作出了拒绝H0的判断,称做第一类错误,又叫弃真错误,这类错误是“以真为假”.犯第一类错误的概率是显著性水平.(2)当原假设H0不真,而观察值却落入接受域,而作出了接受H0的判断,称做第二类错误,又叫取伪错误,这类错误是“以假为真”..}{}{0001HPHHPH接受或不真接受当当样本容量n一定时,若减少犯第一类错误的概率,则犯第二类错误的概率往往增大.犯第二类错误的概率记为若要使犯两类错误的概率都减小,除非增加样本容量.6.显著性检验.:,:,,,,::01000010100为双边假设检验的假设检验称形如假设称为双边备择也可能小于可能大于表示备择假设中和在HHHHH7.双边备择假设与双边假设检验只对犯第一类错误的概率加以控制,而不考虑犯第二类错误的概率的检验,称为显著性检验.8.右边检验与左边检验右边检验与左边检验统称为单边检验..:,:0100称为左边检验的假设检验形如HH.:,:0100称为右边检验的假设检验形如HH9.单边检验的拒绝域,,,,,,),,(~212给定显著性水平的样本是来自总体为已知设总体XXXXNXn证明(1)右边检验,:,:0100HH./,/00unxuunxu左边检验的拒绝域为右边检验的拒绝域为则,/0nXU取检验统计量,10要小中的都比中的全部因HH,,1往往偏大观察值为真时当xH,,为待定正常数因此拒绝域的形式为kkx}{00HHP为真拒绝由kXPH0nknXP//000nknXP//00上式不等号成立的原因:,0因为,//0nXnX所以.////000nknXnknX事件,}{00HHP为真拒绝要控制.//00nknXP只需令故右边检验的拒绝域为),1,0(~/NnX因为0,kun0./xuun即0,xun,/0unk所以证明(2)左边检验,:,:0100HH}{00HHP为真拒绝由,/00knxP,ku得,,/0待定拒绝域的形式为kknxu./0unxu故左边检验的拒绝域为三、假设检验的一般步骤;,.110HH假设及备择提出原假设根据实际问题的要求;.2n以及样本容量给定显著性水平3.确定检验统计量以及拒绝域形式;;}{.400求出拒绝域为真拒绝按HHP.,.50H受还是拒绝根据样本观察值确定接取样四、典型例题.05.0?s,/cm2s./cm25.41,25,.s/cm2,s/cm40),,(2取显著水平烧率有显著的提高以往生产的推进器的燃推进器的燃烧率是否较问用新方法生产的法下总体均方差仍为设在新方得燃烧率的样本均值为测只随机取进器用新方法生产了一批推现从正态分布推进器的燃烧率服某工厂生产的固体燃料xnN例1,)(:01烧率即假设新方法提高了燃H这是右边检验问题,.0.050H下拒绝故在显著性水平即认为这批推进器的燃烧率较以往有显著提高.解根据题意需要检验假设,)(40:00燃烧率即假设新方法没有提高H.645.1/05.00unxu拒绝域为,645.13.125/0nxu因为,值落在拒绝域中u某织物强力指标X的均值=21公斤.改进工艺后生产一批织物，今从中取30件，测得=21.55公斤.假设强力指标服从正态分布且已知=1.2公斤，问在显著性水平=0.01下，新生产织物比过去的织物强力是否有提高?0X),,(2N课堂练习代入=1.2,n=30，并由样本值计算得统计量U的实测值U=2.512.33故拒绝原假设H0，即新生产织物比过去的织物的强力有提高。落入否定域解:提出假设:21:21:10HH)1,0(~21NnXU取统计量否定域为W:01.0uU=2.33五、小结假设检验的基本原理、相关概念和一般步骤.真实情况(未知)所作决策接受H0拒绝H0H0为真正确犯第I类错误H0不真犯第II类错误正确假设检验的两类错误提出假设根据统计调查的目的,提出原假设H0和备选假设H1作出决策抽取样本检验假设对差异进行定量的分析，确定其性质(找一检验统计量T，在H0成立下其分布已知.）拒绝还是不能拒绝H0显著性水平P(TW)=-----犯第一类错误的概率，W为拒绝域