郡中学理科实验班招生考试数学试卷

2011年湖南省长沙市长郡中学理科实验班招生考试数学试卷©2011菁优网菁优网©2010箐优网一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分）1、函数图象的大致形状是（）A、B、C、D、2、（2007•临沂）小明随机地在如图所示的正三角形及其内部区域投针，则针扎到其内切圆（阴影）区域的概率为（）A、B、πC、πD、3、满足不等式n200＜5300的最大整数n等于（）A、8B、9C、10D、114、甲、乙两车分别从A，B两车站同时开出相向而行，相遇后甲行驶1小时到达B站，乙再行驶4小时到达A站．那么，甲车速是乙车速的（）A、4倍B、3倍C、2倍D、1.5倍5、图中的矩形被分成四部分，其中三部分面积分别为2，3，4，那么，阴影三角形的面积为（）A、5B、6C、7D、86、如图，AB是圆的直径，CD是平行于AB的弦，且AC和BD相交与E，∠AED=α，那么△CDE与△ABE的面积之比是（）菁优网©2010箐优网A、cosαB、sin2αC、cos2αD、1﹣sinα7、两杯等量的液体，一杯是咖啡，一杯是奶油．舀一勺奶油到咖啡杯里，搅匀后舀一勺混合液注入到奶油杯里．这时，设咖啡杯里的奶油量为a，奶油杯里的咖啡量为b，那么a和b的大小为（）A、a＞bB、a＜bC、a=bD、与勺子大小有关8、设A，B，C是三角形的三个内角，满足3A＞5B，3C＜2B，这个三角形是（）A、锐角三角形B、钝角三角形C、直角三角形D、都有可能二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9、用数字1，2，3，4，5，6，7，8不重复地填写在下面连等式的方框中，使这个连等式成立：1+□+□=9+□+□=8+□+□=6+□+□_________．10、如图，正三角形与正六边形的边长分别为2和1，正六边形的顶点O是正三角形的中心，则四边形OABC的面积等于_________．11、计算：=_________．12、五支篮球队举行单循坏赛（就是每两队必须比赛1场，并且只比赛一场），当赛程进行到某一天时，A队已赛了4场，B队已赛了3场，C队已赛了2场，D队已赛了1场，那么到这一天为止一共已经赛了_________场，E队比赛了_________场．13、（2006•无锡）已知∠AOB=30°，C是射线OB上的一点，且OC=4．若以C为圆心，r为半径的圆与射线OA有两个不同的交点，则r的取值范围是_________．14、如图，△ABC为等腰直角三角形，若AD=AC，CE=BC，则∠1_________∠2（填“＞”、“＜”或“=”）三、解答题（共3小题，满分38分）15、（2009•深圳）迎接大运，美化深圳，园林部门决定利用现有的3490盆甲种花卉和2950盆乙种花卉搭配A、B两种园艺造型共50个摆放在迎宾大道两侧，已知搭配一个A种造型需甲种花卉80盆，乙种花卉40盆，搭配一个菁优网©2010箐优网B种造型需甲种花卉50盆，乙种花卉90盆．（1）某校九年级（1）班课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计，问符合题意的搭配方案有几种？请你帮助设计出来．（2）若搭配一个A种造型的成本是800元，搭配一个B种造型的成本是960元，试说明（1）中哪种方案成本最低？最低成本是多少元？16、如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC=BC，D为⊙O中上一点，延长DA至点E，使CE=CD．（1）求证：AE=BD；（2）若AC⊥BC，求证：．17、（2007•河北）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=50，AD=75，BC=135．点P从点B出发沿折线段BA﹣AD﹣DC以每秒5个单位长的速度向点C匀速运动；点Q从点C出发沿线段CB方向以每秒3个单位长的速度匀速运动，过点Q向上作射线QK⊥BC，交折线段CD﹣DA﹣AB于点E．点P、Q同时开始运动，当点P与点C重合时停止运动，点Q也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．（1）当点P到达终点C时，求t的值，并指出此时BQ的长；（2）当点P运动到AD上时，t为何值能使PQ∥DC；（3）设射线QK扫过梯形ABCD的面积为S，分别求出点E运动到CD、DA上时，S与t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）（4）△PQE能否成为直角三角形？若能，写出t的取值范围；若不能，请说明理由．菁优网©2010箐优网答案与评分标准一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分）1、函数图象的大致形状是（）A、B、C、D、考点：反比例函数的图象。分析：由题意只需找到图象在x轴下方的不经过原点的函数图象即可．解答：解：由函数解析式可得x可取正数，也可取负数，但函数值只能是负数；所以函数图象应在x轴下方，并且x，y均不为0．故选D．点评：解决本题的关键是根据在函数图象上的点得到函数图象的大致位置．2、（2007•临沂）小明随机地在如图所示的正三角形及其内部区域投针，则针扎到其内切圆（阴影）区域的概率为（）A、B、πC、πD、考点：几何概率。专题：计算题。分析：针扎到内切圆区域的概率就是内切圆的面积与正三角形面积的比．解答：解：设三角形的边长是1，则正三角形的面积是，而圆的半径是，面积是，因此概率是÷=．故选C．点评：用到的知识点为：边长为a的正三角形的面积为：a2；求三角形内切圆的半径应构造特殊的直角三角形求菁优网©2010箐优网解．3、满足不等式n200＜5300的最大整数n等于（）A、8B、9C、10D、11考点：幂的乘方与积的乘方。分析：可以先令n=10，看是否满足等式，同理可令n=11，也可令n=12，通过计算可求出n的最大值．解答：解：若n=10，∵10200=2200×5200=4100×5200，∴，∴（）100＞1，∴n=10满足不等式，若n=11，∵==（）100×（）200=[（）×（）]100=（）100，又∵＞1，∴（）100＞1，∴11200＜5300，∴n=11满足不等式．若n=12，∵=（）100，又∵＜1，∴n=12不满足不等式，故n最大取11．故选D．点评：本题利用了幂的乘方、积的乘方以及分数的基本性质进行变形而求的．4、甲、乙两车分别从A，B两车站同时开出相向而行，相遇后甲行驶1小时到达B站，乙再行驶4小时到达A站．那么，甲车速是乙车速的（）A、4倍B、3倍C、2倍D、1.5倍考点：分式方程的应用。专题：行程问题。分析：如果设A，B两车站路程为s，甲、乙车速分别为a，b，那么当甲、乙两车分别从A，B两车站同时开出相向而行到相遇时所用时间为．又相遇后甲行驶1小时到达B站，根据甲由A车站行驶到B车站的时间不变可列出菁优网©2010箐优网方程=+1①，同样，乙再行驶4小时到达A站，根据乙由B车站行驶到A车站的时间不变可列出方程=+4②，将方程①②变形，即可求出的值，从而得出正确选项．解答：解：设A，B两车站路程为s，甲、乙车速分别为a，b．由题意，有．变形得，两式相除，得．故选C．点评：本题考查分式方程在行程问题中的应用．分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．行程问题常用的基本关系式为路程=速度×时间，解题时，紧紧抓住行程问题的三个基本量：路程、速度、时间进行分析．注意本题所设未知数有三个，但只能列出两个方程，不能求出未知数的具体值，将两个方程变形，求出a与b的比值即可．5、图中的矩形被分成四部分，其中三部分面积分别为2，3，4，那么，阴影三角形的面积为（）A、5B、6C、7D、8考点：面积及等积变换。专题：几何图形问题。分析：如图所示，设矩形面积为s，按图中所设的长度，得a（c+d）=4，bc=6，d（a+b）=8，从而结合图形可得出关于s的一个等式，然后将选项代入判断即可得出答案．解答：解：设矩形面积为s，按图中所设的长度，得a（c+d）=4，bc=6，d（a+b）=8，s=（a+b）（c+d），三式相乘，得a（c+d）•bc•d（a+b）=abcds=4×6×8，ads=32①；又ac=s﹣14，bd=s﹣10，所以abcd=（s﹣14）（s﹣10），6ad=（s﹣14）（s﹣10）②；由①②得s（s﹣14）（s﹣10）=192，用四个选项的值验证，当阴影面积为7时s=16，s（s﹣14）（s﹣10）=16×2×6=192成立．故选C．点评：本题考查面积及等积变换，有一定难度，在解答本题时将图形合适的分解是解答本题的关键．6、如图，AB是圆的直径，CD是平行于AB的弦，且AC和BD相交与E，∠AED=α，那么△CDE与△ABE的面积之比是（）菁优网©2010箐优网A、cosαB、sin2αC、cos2αD、1﹣sinα考点：相似三角形的判定与性质；圆周角定理。分析：CD与AB平行，则△CDE与△ABE相似，要求△CDE，△ABE的面积之比，只需求出两三角形的相似比；连接AD，构造直角三角形，然后利用锐角三角形函数求出相似比，面积比等于相似比的平方．解答：解：连接AD，∵AB∥DC，∴△CDE∽△ABE，∴S△CDE：S△ABE=，∵AB是圆的直径，∴∠ADB=90°，∴cos∠AED=，∵∠AED=α，∴=cosα，∴S△CDE：S△ABE==cos2α．故选B．点评：本题结合锐角三角形函数考查了相似三角形的性质，两三角形相似，面积比等于相似比的平方．7、两杯等量的液体，一杯是咖啡，一杯是奶油．舀一勺奶油到咖啡杯里，搅匀后舀一勺混合液注入到奶油杯里．这时，设咖啡杯里的奶油量为a，奶油杯里的咖啡量为b，那么a和b的大小为（）A、a＞bB、a＜bC、a=bD、与勺子大小有关考点：分式的混合运算。专题：应用题。分析：设各杯的量为1，一勺的量为x．第一次：咖啡杯里的奶油量为x，奶油杯里的咖啡量为0；第二次：咖啡杯里的奶油量为，奶油杯里的咖啡量为，分别计算再进行比较即可．解答：解：设各杯的量为1，一勺的量为x．菁优网©2010箐优网第一次：咖啡杯里的奶油量为x，奶油杯里的咖啡量为0；第二次：咖啡杯里的奶油量为，奶油杯里的咖啡量为．所以a=b．故选C．点评：此题考查分式的混合运算在实际生活中的应用，理清题意，找到等量关系是关键．8、设A，B，C是三角形的三个内角，满足3A＞5B，3C＜2B，这个三角形是（）A、锐角三角形B、钝角三角形C、直角三角形D、都有可能考点：三角形内角和定理。专题：推理填空题。分析：由3A＞5B，3C＜2B，得到3A+2B＞5B+3C，则A＞B+C，不等式两边加A，得到2A＞A+B+C，在利用三角形的内角和定理得A＞90°，即可判断三角形的形状．解答：解：∵3A＞5B，2B＞3C，∴3A+2B＞5B+3C，即A＞B+C，不等式两边加A，∴2A＞A+B+C，而A+B+C=180°，∴2A＞180°，即A＞90°，∴这个三角形是钝角三角形．故选B．点评：本题考查了三角形的内角和定理：三角形的三个内角的和为180°．也考查了代数式的变形能力以及三角形的分类．二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9、用数字1，2，3，4，5，6，7，8不重复地填写在下面连等式的方框中，使这个连等式成立：1+□+□=9+□+□=8+□+□=6+□+□1+8+6=9+5+1=8+3+4=6+7+2．考点：有理数的加法。专题：计算题。分析：先将数字1，2，3，4，5，6，7，8相加可得36，再将1，9，8，6相加可得24，又（36+24）÷4=60÷4=15，可知每组数字的和为15等式成立．解答：解：∵1+2+3+4+5+6+7+8=36，1+9+8+6=24，36+24=60，60÷4=15，∴1+8+6=9+5+1=8+3+4=6+7+2．故答案为：8，6，5，1，3，4，7，2．点评：本题考查了有理数的加法，趣味性较强，有一定的难度，找准每组数字的和是解题的关键．10、如图，