用极坐标与参数方程解高考题型及解题策略

用极坐标与参数方程解高考题型及解题策略高考题中极坐标与参数方程主要考查简单图形的极坐标方程，极坐标与直角坐标的互化，直线、圆和圆锥曲线的参数方程，参数方程化为直角坐标方程等。高考热点是极坐标与直角坐标的互化、参数方程化为直角坐标方程，推导简单图形的极坐标方程、直角坐标方程化为参数方程。其中以考查基本概念，基本知识，基本运算为主，一般属于中档难度题。常以选考题的形式出现，此外在高考数学的选择题和填空题中，用参数方程与极坐标解决问题常能收到事半功倍的效果，必须引起教与学的足够。因此，对常见题型及解题策略进行探讨。一、极坐标与直角坐标的互化1.曲线的极坐标方程化成直角坐标方程：对于简单的我们可以直接代入公式ρcosθ＝x，ρsinθ＝y，ρ2＝x2＋y2，但有时需要作适当的变化，如将式子的两边同时平方，两边同时乘以ρ等.2.直角坐标(x，y)化为极坐标(ρ，θ)的步骤：(1)运用ρ＝x2＋y2，tanθ＝yx(x≠0)；(2)在[0，2π)内由tanθ＝yx(x≠0)求θ时，由直角坐标的符号特征判断点所在的象限(即θ的终边位置).解题时必须注意：①确定极坐标方程，极点、极轴、长度单位、角度单位及其正方向，四者缺一不可.②平面上点的直角坐标的表示形式是唯一的，但点的极坐标的表示形式不唯一.当规定ρ≥0，0≤θ＜2π，使得平面上的点与它的极坐标之间是一一对应的，但仍然不包括极点.③进行极坐标方程与直角坐标方程互化时，应注意两点：Ⅰ.注意ρ，θ的取值范围及其影响.Ⅱ.重视方程的变形及公式的正用、逆用、变形使用.例如、（2015年全国卷）在直角坐标系xOy中。直线1C:2x，圆2C：22121xy,以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系。（I）求1C，2C的极坐标方程；（II）若直线3C的极坐标方程为4R，设2C与3C的交点为M,N,求2CMN的面积解：（Ⅰ）因为cos,sinxy，所以1C的极坐标方程为cos2，2C的极坐标方程为22cos4sin40（Ⅱ）将4代入22cos4sin40，得23240，解得1222,2，故122，即||2MN由于2C的半径为1，所以2CMN的面积为12二、简单曲线的极坐标方程及应用1.求曲线的极坐标方程,就是找出动点M的坐标ρ与θ之间的关系,然后列出方程f(ρ,θ)=0,再化简并检验特殊点.2.极坐标方程涉及的是长度与角度,因此列方程的实质是解三角形.3.极坐标方程应用时多化为直角坐标方程求解,然后再转化为极坐标方程,注意方程的等价性.例如、（2015全国卷）在直角坐标系xOy中，曲线C1：cossinxtyt（t为参数，t≠0），其中0≤απ，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：2sin，C3：23cos。（1）求C2与C3交点的直角坐标；（2）若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求||AB的最大值。解：（Ⅰ）曲线2C的直角坐标方程为2220xyy，曲线3C的直角坐标方程为22230xyx.联立222220,230xyyxyx解得0,0,xy或3,23.2xy所以2C与3C交点的直角坐标为(0,0)和33(,)22（Ⅱ）曲线1C的极坐标方程为(,0)R，其中0因此A的极坐标为(2sin,)，B的极坐标为(23cos,)所以|||2sin23cos|4|sin()|3AB当56时，||AB取得最大值，最大值为4三、简单参数方程及应用1.将参数方程化为普通方程的基本途径就是消参,消参过程注意两点:①准确把握参数形式之间的关系;②注意参数取值范围对曲线形状的影响.2.已知曲线的普通方程求参数方程时,选取不同含义的参数时可能得到不同的参数方程.3.一般地,如果题目中涉及圆、椭圆上的动点或求最值范围问题时可考虑用参数方程,设曲线上点的坐标,将问题转化为三角恒等变换问题解决,使解题过程简单明了.例如、（2014年全国卷）坐标系与参数方程已知曲线C：22149xy，直线l：222xtyt（t为参数）.（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；（Ⅱ）过曲线C上任一点P作与l夹角为o30的直线，交l于点A，求||PA的最大值与最小值.解：（Ⅰ）曲线C的参数方程为2cos,3sin,xy（为参数）直线l的普通方程为260xy（Ⅱ）曲线C上任意一点(2cos,3sin)P到l的距离为5|4cos3sin6|5d则25|||5sin()6|sin305dPA，其中为锐角，且4tan3当sin()1时，||PA取得最小值，最小值为255四、参数方程与极坐标方程的综合应用第一步:消去参数,将曲线C1的参数方程化为普通方程;第二步:将曲线C1的普通方程化为极坐标方程;第三步:将曲线C2的极坐标方程化为直角坐标方程;第四步:将曲线C1与曲线C2的直角坐标方程联立,求得交点的直角坐标;第五步:把交点的直角坐标化为极坐标.例如、（2017年全国卷）在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为2+,,xtykt（t为参数），直线l2的参数方程为2,,xmmmyk（为参数）.设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C.（1）写出C的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ(cosθ+sinθ)−2=0，M为l3与C的交点，求M的极径.解：⑴将参数方程转化为一般方程1:2lykx……①21:2lyxk……②①②消k可得：224xy即P的轨迹方程为224xy；⑵将参数方程转化为一般方程3:20lxy……③联立曲线C和3l22204xyxy解得32222xy由cossinxy解得5即M的极半径是5．五、极坐标方程解圆锥曲线问题如果圆锥曲线问题中涉及到焦半径或焦点弦长时，设曲线方程为极坐标方程往往能避开繁杂的计算。例如、(2007重庆理改编)中心在原点O的椭圆2213627xy，点F是其左焦点，在椭圆上任取三个不同点123P,P,P使0122331120PFPPFPPFP∠∠∠．证明：213111FPFPFP为定值，并求此定值．解：以点F为极点建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程为：92cos，设点1P对应的极角为，则点2P与3P对应的极角分别为0120、0120，1P、2P与3P的极径就分别是1||FP92cos、2||FP092cos(120)与3||FP092cos(120)，因此213111FPFPFP002cos2cos(120)2cos(120)999，而在三角函数的学习中，我们知道00coscos(120)cos(120)0因此21311123FPFPFP为定值六、参数方程解圆锥曲线问题1.参数方程思想表示普通方程中的两个变量，注意参数几何意义和取值范围。2.消去参数，用参数的几何意义和取值范围确定所求问题的解。例如、（2016年天津卷）设椭圆13222yax)3(＞a的右焦点为F，右顶点为A.已知FAeOAOF311，其中O为原点，e为椭圆的离心率.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点A的直线l与椭圆交于点B（B不在x轴上），垂直于l的直线与l交于点M，与y轴交于点H.若HFBF，且MOA≤MAO，求直线l的斜率的取值范围.解：（Ⅰ）设(,0)Fc，由113||||||cOFOAFA，即113()ccaaac，可得2223acc，又2223acb，所以21c，因此24a，所以椭圆的方程为22143xy.（Ⅱ）设直线l的斜率为k（0k），则直线l的方程为)2(xky.设),(BByxB，由方程组)2(13422xkyyx，消去y，整理得0121616)34(2222kxkxk.解得2x，或346822kkx，由题意得346822kkxB，从而34122kkyB.由（Ⅰ）知，)0,1(F，设),0(HyH，有),1(HyFH，)3412,3449(222kkkkBF.由HFBF，得0HFBF，所以034123449222kkykkH，解得kkyH12492.因此直线MH的方程为kkxky124912.设),(MMyxM，由方程组)2(124912xkykkxky消去y，解得)1(1292022kkxM.在MAO中，||||MOMAMAOMOA，即2222)2(MMMMyxyx，化简得1Mx，即1)1(1292022kk，解得46k或46k.所以，直线l的斜率的取值范围为),46[]46,(.