数的开方与二次根式

数学第一章数与式第5节数的开方与二次根式平方根、算术平方根1．若x2＝a，则x叫做a的________，当a≥0时，a是a的_____________．正数b的平方根记作_________.a是一个_______数，只有_________数才有平方根．平方根算术平方根±b非负非负立方根2．若x3＝a，则x叫做a的_______________．任一实数a的立方根记作______.3a3＝____，(3a)3＝____，3－a____－3a.立方根3aaa＝二次根式的概念3．(1)形如a(__________)的式子叫做二次根式，a为二次根式的条件是________．(2)满足下列两个条件的二次根式叫做最简二次根式：①被开方数的因数是_____________，因式是_________；②被开方数中不含有_____________________________________．a≥0a≥0整数整式开得尽方的因数或因式二次根式的性质4．(1)ab＝_____________(a≥0，b≥0)；ab＝_______(a≥0，b0)；(2)(a)2＝____(a_______0)；a·baba≥二次根式的运算5．(1)二次根式的加减：二次根式相加减，先把各个二次根式化成______________________，再把____________________分别合并．(2)二次根式的乘法：a·b＝_________(a≥0，b≥0)．(3)二次根式的除法：ab＝________(a≥0，b0)．(4)二次根式的估值：二次根式的估算，一般采用“夹逼法”确定其值所在范围．具体地说，先对二次根式平方，找出与平方后所得的数_________的两个能开得尽方的整数，对其进行_________，即可确定这个二次根式在哪两个整数之间．最简二次根式同类二次根式abab相邻开方(5)在二次根式的运算中，实数的运算性质和法则同样适用．二次根式的混合运算顺序是：先算__________，后算_________，有括号时，先算括号内的(或先去括号)．乘除加减平方根、算术平方根与立方根【例1】(1)(2015·庆阳)16的平方根是_______；(2015·安顺)19的算术平方根是____；(2)如图，下列各数中数轴上点A表示的可能是()±213CA．4的算术平方根B．4的立方根C．8的算术平方根D．8的立方根二次根式的概念及性质【例2】(1)(2015·随州)若代数式1x－1＋x有意义，则实数x的取值范围是()A．x≠1B．x≥0C．x≠0D．x≥0且x≠1(2)若（2a－1）2＝1－2a，则()A．a12B．a≤12C．a12D．a≥12DB(3)实数a，b在数轴上的位置如图所示，则（a＋b）2＋a的化简结果为_______．－b点拨：(1)依被开方数和分母满足的条件列出不等式(组)；(2)依a2＝|a|≥0；(3)先化成含有绝对值的式子，再结合数轴化简．二次根式的运算与化简求值【例3】已知a＝12＋3，求a2－1a＋1－a2－2a＋1a2－a的值．点拨：该题中隐含条件是：由已知得a＝2－3，则a－1＝1－30，是化简|a－1|的关键．解：∵a＝12＋31，∴a－10，∴a2－2a＋1＝（a－1）2＝|a－1|＝1－a，∴原式＝a－1＋1a，∴当a＝12＋3时，原式＝12＋3－1＋(2＋3)＝3忽视二次根式与绝对值综合考查时的大小关系．【例4】计算：33－(3)2＋(π＋3)0－27＋|3－2|.解：－331．(2015·绵阳)±2是4的()A．平方根B．相反数C．绝对值D．算术平方根2．(2014·潍坊)若代数式x＋1（x－3）2有意义，则实数x的取值范围是()A．x≥－1B．x≥－1且x≠3C．x－1D．x－1且x≠33．(2015·宁夏)下列计算正确的是()A.3＋2＝5B.12÷3＝2C．(5)－1＝5D．(3－1)2＝2ABB4．(2014·济宁)如果ab＞0，a＋b＜0，那么下面各式：①ab＝ab；②ab·ba＝1；③ab÷ab＝－b.其中正确的是()A．①②B．②③C．①③D．①②③5．计算：(2014·青岛)40＋55＝__________；(2015·聊城)(2＋3)2－24＝____．6．若y＝x－3＋3－x＋2，则xy＝____．B22＋1597．计算：(1)(2－3)2015·(2＋3)2016－2×|－32|－(－2)0；(2)(12)－2－6sin30°－(17－5)0＋2＋|2－3|.解：1解：38．先化简，再求值：(1)x－2x－1÷(x＋1－3x－1)，其中x＝3－2；(2)(2015·绥化)(x＋2x2－2x－x－1x2－4x＋4)÷x－4x，其中x＝tan60°＋2.解：原式＝1x＋2，当x＝3－2时，原式＝33解：原式＝1（x－2）2，当x＝tan60°＋2＝3＋2时，原式＝139．计算32×12＋2×5的结果估计在()A．6和7之间B．7和8之间C．8和9之间D．9和10之间10．已知a0，那么|a2－2a|可化简为_________．11．(2015·攀枝花)先化简，再求值：a2－1a2－a÷(2＋a2＋1a)，其中a＝2.B－3a解：原式＝1a＋1，当a＝2时，原式＝2－112．(2015·汕尾)已知a＋b＝－2，求代数式(a－1)2＋b(2a＋b)＋2a的值．解：原式＝(a＋b)2＋1，当a＋b＝－2时，原式＝31．(2015·凉山州)下列根式中，不能与3合并的是()A.13B.23C.23D.122．(2015·滨州)数5的算术平方根为()A.5B．25C．±25D．±53．(2015·重庆)计算32－2的值是()A．2B．3C.2D．22CAD4．(2015·广州)下列计算正确的是()A．ab·ab＝2abB．(2a)3＝2a3C．3a－a＝3(a≥0)D.a·b＝ab(a≥0，b≥0)5．(2015·孝感)已知x＝2－3，则代数式(7＋43)x2＋(2＋3)x＋3的值是()A．0B.3C．2＋3D．2－36．(2015·随州)4的算术平方根是____，9的平方根是______，－27的立方根是______．DC2±3－37．(2015·襄阳)计算：2－1－318＝____．8．(2015·泰州)计算：18－212＝_______．9．(2015·南京)计算5×153的结果是____．10．已知a(a－3)＜0，若b＝2－a，则b的取值范围是_________________．11．(2014·凉山州)已知x1＝3＋2，x2＝3－2，则x12＋x22＝____．02252－3＜b＜21012．计算：(1)(2015·宁波)π0＋2－1－14－－13；(2)(2015·绵阳)1－2＋(－12)－2－1cos45°＋3－8；(3)(2015·凉山州)－32÷3×1tan60°＋|2－3|；(4)(2015·黔西南州)(3－2014)0＋|－tan45°|－(12)－1＋8.解：23解：1解：－2解：2213．先化简，再求值：(1)(2015·上海)x2x2＋4x＋4÷xx＋2－x－1x＋2，其中x＝2－1；(2)(2015·苏州)(1－1x＋2)÷x2＋2x＋1x＋2，其中x＝3－1；解：原式＝1x＋2，当x＝2－1时，原式＝2－1解：原式＝1x＋1，当x＝3－1时，原式＝33(3)(2015·莱芜)(x－2－12x＋2)÷4－xx＋2，其中x＝－4＋3；(4)(2015·襄阳)(5x＋3yx2－y2＋2xy2－x2)÷1x2y－xy2，其中x＝3＋2，y＝3－解：原式＝－x－4，当x＝－4＋3时，原式＝－3解：原式＝3xy，当x＝3＋2，y＝3－2时，原式＝3