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小学数学教材中的大道理——核心概念的理解与呈现任敏龙杭州市上城区教育学院突出数学课的数学味个人工作背景简介•任小学一线数学教学工作10年。•任小学数学教研员16年。期间参加浙教版新思维小学《数学》教材编写，任编委。•北京师范大学附属杭州中学任校长助理1年。•2013年起任6-8年级数学教研员3年。•现任4-6年级数学教研员，分管中小学学业评价。在梯形ABCD中，AD//BC，AB=10，∠A=90°，AD=4，BC=6，点P在线段AB上，是否存在以点P、A、D组成的三角形相似于点P、B、C组成的三角形?若存在，求AP长；若不存在，请说明理由。分类讨论在相似三角形中的应用PADBCABPCD错例呈现图形暗示：DP⊥PC，这个暗示无法避免。强化了凭直觉解题。观察、直觉所得不能作条件用•图中空白部分是正方形•发展学生的图形直觉长方体、正方体的认识分成两节课上下列图形中，哪个图形是长方体？（1）（2）（3）（4）整体感知，直觉判断静态观察，提取特征•观察长方体实物或图形，同桌交流：•长方体有个面，每个面的形状是，完全相同的面有。•长方体有条棱，长度相等的棱有。•长方体有个顶点。想一想：把长方体与其他立体图形区别开来的关键特征是什么？（1）（2）（3）分析比较，提取关键特征基于关键特征的推理面数量形状大小棱数量长度顶点数量6长方形相对的2个面完全相同。2个/组×3组=6个面。12相对的4条棱长度相等。4条/组×3组=12条棱。8基于运动的推理：面动成体基于运动的推理：线动成面基于运动的推理：点动成线基于运动的推理：点动成线图形名称底面面数棱数顶点数四棱柱四边形6128五棱柱五边形六棱柱六边形七棱柱七边形n棱柱n边形715108181292114n+23n2n欧拉公式：棱=面+顶点-2基于运动变化的推理将得什么样的立体图形？用线连一连。活动围绕所示的轴旋转各个平面图形，为什么上下一样粗细？为什么上下底面平行？大道理：多样视角——基于运动变换观点的理解侧面积=底面周长×经过距离体积=底面积×经过距离•工厂的废气通过10个直径80厘米的圆形排气管口排入空中，排气速度平均0.1米/秒，这个工厂每天排出废气多少立方米？大道理：运动变化的学习价值•小学数学中引入平移、旋转、轴对称（反射），不仅是为了认识生活中这样的运动现象，更因为它为学习图形提供了统一的视角。•把图形认识、图形运动、测量统一起来了。•平移、旋转、轴对称描述了一种空间性质，在这一空间中图形经三种运动变化保持形状、大小不变，这种运动也叫刚体运动。一道考题：先填空，再回答问题。（1）右图中一共有条线段。（2）5位朋友见面，每两人握一次手，他们总共握了次手。（3）右图中一共有条线段。（4）从前面3个小题的解答中你发现了什么？请解释为什么会这样。大道理：联系的观点ABCDOABOCDABCDEABECD对教学的启示：静与动哪些是三角形？什么叫做三角形？对教学的启示：静与动在什么条件下形成三角形？三点不在一直线上，两边之和…什么叫做三角形？A用这样的观点•如何认识长方形、正方形、平行四边形、梯形、圆。——什么不变？•所谓规律：就是变化中的不变性。•如何引导学生认识圆周长与直径之间存在倍数关系？小贴士：顶点数V，面数F，棱数E，由欧拉公式V+F-E=2证得仅存在五种正多面体。大道理：定义与性质、判定•长方形特征：对边相等，四个直角。•正方形特征：四边相等，四个直角。•正方形是特殊的长方形（据特征）。如何给长方形下定义？长方形邻边不等，正方形邻边相等。系统定义：属加种差方式。经济原则：四个角是直角的四边形是长方形。把下面的四边形分成两类⑴⑵⑶⑷⑸⑹⑺⑻四个角是直角的四边形叫做长方形射影几何平行线交于无穷远点射影几何都涉及二维与三维之间的关系在影像处理上有什么不同？对教学有什么启示？中心投影与平行投影不同方位观察物体•从哪个方向观察可以看到图B?•你真的看到了？（眼睛、点光源）•怎么办？（平行光投影、压扁）•需要说明、需要想象！图A图B大道理：长度、面积、体积测量的本质•什么叫面积？•物体表面或平面封闭图形的大小叫做面积。•大小什么意思？•数学地定义面积有五个属性：非负性；有限性；可列可加性；运动不变性；正则性（面积单位）。为什么面积单位要用单位长度的正方形来定义，而不是用平行四边或其他图形？1cm1cm1dm1dm你能找出平均每株秧苗的占地面积吗？种瓜得瓜，种豆得豆。无论如何，所有的辛劳最后都会有应有的回报！哪个体积大？大道理：公式的函数视角面积与什么有关？•平行四边形的面积与什么有关？•如何让学生感知？•恐怕很难！历史上把公式当成函数来看可能是比较迟的事情。s=ah=absinαabhα底、高的变化一定引起面积变化，而邻边和角就不一定。求下面图形的面积•学生为什么容易错？如何解决？求下面图形的面积•S=5×3.2=16s=a1×h1求下面图形的面积•S=4×4=16s=a2×h2求下面图形的面积•S=5×3.2=16s=a1×h1•S=4×4=16s=a2×h2两种方法都是底×高，我们确定面积公式是底×高，要注意什么问题？角的度量•可以通过定性比较两个角的大小到定量刻画两个角的大小，引出角的度量单位，定义1°角。角的度量•经历用1°角度量一个角的过程，顺时针或逆时针从角的一边开始，顶点重合用1°角摆，数出度数来经历量角器的形成过程，进而更好地理解用量角器量角的方法。数：有趣的名称•自然数；整数；分数；小数；有理数；无理数；实数；虚数；复数。•真分数；假分数；带分数。百分数。•纯小数；带小数；有限小数；无限小数；循环小数；不循环小数；•正数；负数。•小学里学了哪些数？分数的意义•把单位“1”平均分成若干份，表示这样1份或几份的数，叫做分数。•分数的定义揭示了分数在测量、分物等实践活动中的发生过程。•0/5来自于数学运算，如0÷5，4/5-4/5。•用运算定义：分数与除法的关系。456505大道理：数学来源的多样性•数学知识的发生过程：–生活→数学（最初的源泉，有局限性）–数学→数学–数学→生活•数学知识的组织过程：–数学→数学（逻辑的考量，具有普适性）这样教的正负数能比较大小吗？•小学生争论：结余2000元记做+2000，负债4000元记做-4000，+2000和-4000谁比较大？•甲：前者大，结余总是有钱多，负债不仅没有钱，还更惨。•乙：后者大，把结余2000元还掉，再还2000元。•如果结余2000元记做-2000，负债4000元记做+4000，-2000和+4000谁比较大？算一算：三个小组各得多少分？•第一组：答对7题，答错4题。•第二组：答对4题，答错6题。•第三组：答对4题，答错5题。•70-40=30•40-60=40-40-20=0-20=-20•40-50=40-40-10=0-10=-10-20是一个怎样的数？计算步骤：①拆数；②抵消；③去0.算一算：三个小组各得多少分？•第一组：答对7题，答错4题。•第二组：答对4题，答错6题。•第三组：答对4题，答错5题。•70-40=40-40+30=0+30=+30•40-60=40-40-20=0-20=-20•40-50=40-40-10=0-10=-10-20是一个怎样的数？计算步骤：①拆数；②抵消；③去0.历史上的负数（四）：理论上确立的负数对有序数对（a，b）——（a，b）的直观意义就是a-b，当a＞b时，（a，b）是正数；当a＜b时，（a，b）是负数；当a=b时，（a，b）为0。这就是正负数在数学理论中的定义。本课就是用这样的方法讲正负数1234+2.50-1-3-2-2.5能不能把负数也表示出来？回到源头。用减法和相反意义的数解释数轴的合理性。1234+2.50-1-3-2-2.5能不能把负数也表示出来？“-1”与“-2”哪个比较大？回到源头。用减法解释正负数的大小。1234+2.50-1-3-2-2.5数轴上数的大小排列有什么规律？越来越大越来越小《小学数学教师》特稿“数方夜谈”1.某仓库运进面粉7.5吨，运出3.8吨。选（）为正，运进面粉7.5吨记作（），运出3.8吨记作（）。2.商店三月份盈利50万元，四月份亏损6万元。选（）为正，三月份盈利50万元记作（），四月份亏损6万元记作（）。3.小明向东运动50米，小华向西运动40米。选（）为正，小明向东运动50米记作（），小华向西运动40米记作（），小刚原地不动记作（）。选一种量为正，用正负数表示题中的量运进+7.5-3.8盈利+50-6向东+50-400向西-50+400正负数表示的符号选择与加减法意义相统一。•我们可以：把结余2000元记做+2000，负债4000元记做-4000。•我们也可以：把结余2000元记做-2000，负债4000元记做+4000。你感到别扭吗？如果把一个人先向东走3m记作+3m，那么这个人又向东走-4m是什么意思？这时他距离出发点有多远？在直线上表示出来。012345678-1-2-3-4-5-6父亲56岁，其子29岁。何时父亲年龄是儿子的2倍？列方程：56+x=2（29+x）德·摩根（AugustusdeMorgan）1806-1871英国代数学家2年前父亲的年龄是儿子的2倍。设x年后父亲年龄是儿子的2倍。56+x=58+2x56=58+x0=x+2x=0-2即x=-2答：-2年后父亲的年龄是儿子的2倍。父亲56岁，其子29岁。何时父亲年龄是儿子的2倍？列方程：56-x=2（29-x）刚才的解释是正确的！设x年前父亲年龄是儿子的2倍。56-x=58-2x56+x=58x=58-56x=56-56+2x=0+2x=+2即x=2父亲56岁，其子29岁。何时父亲年龄是儿子的2倍？列方程：56+x=2（29+x）德·摩根（AugustusdeMorgan）1806-1871英国代数学家要不要再另列方程解？设x年后父亲年龄是儿子的2倍。56+x=58+2x56=58+x0=x+2x=0-2即x=-2答：2年前父亲的年龄是儿子的2倍。提出用减号“－”表示负数和减法运算，用加号“+”表示正数和加法运算，他的提议很快得到人们的公认，并一直沿用至今。吉拉尔（A．Girard）1595-1632法国数学家他的提议为什么会很快得到人们公认呢？性质符号和运算符号统一。正数与负数是意义相反的数在现实生活中经常被用来表示意义相反的量。不是从生活到数学，而是从数学到生活。第一次逆转！大道理：有理数集的本质•全体有理数——整数和分数，仍然满足结合律、交换律和分配律，而且关于x的方程a+x=b,ax=b总有唯一解。换句话说，在有理数范围内，所有的有理运算——加减乘除——可以无限制进行，而决不会超出这个范围，这样一个数集叫做一个域。这是对有理数集的本质刻画！要紧紧抓住！你如何解释除数不能为0？•把12个苹果平均分成0份，每份有几个？•把12个苹果，每0个苹果分1份，可以分成多少份？•这样解释行吗？•不行！•不能用生活实例来解释，要从纯粹数学运算的角度来解释。已知ax=b（a、b为任意自然数）是关于x的方程，要使x有唯一确定的解，需满足什么条件？•分类讨论：–当a=0，b=0时，x有无数解；–当a=0，b≠0时，x无解；–当a≠0，b=0时，x有唯一解为0；–当a≠0，b≠0时，x有唯一解为b/a.•规定：除法的除数、比的后项、分数的分母不能为0。为什么？你如何理解分数等的“基本性质”？•12x=9→4x=3→x=3/4•x=9÷12→x=3÷4→x=3/4•x=9∶12→x=3∶4→x=3/4•x=9/12→x=3/4•等式性质、商不变性、比的性质、分数基本性质相互联系，可以归结为等式性质。•0.2=0.20→2/10=20/100ax=b，x=？（a、b为整数）x是真分数，x＜1。x是假分数，x≥1。x是整数x可化成带分数x是最简分数是否b≥a否是b是否a的倍数否是a、b是否互素否是x不是最简分数，通常要化成最简分数或整数x可表示成有限小数x可表示成无限循环小数分母是否只含有素因数2、5否是x=（a≠0）a