数学与应用数学本科逆矩阵毕业论文文档.

本科毕业论文论文题目：逆矩阵及其应用学生姓名：学号：专业：数学与应用数学指导教师：学院：年月日毕业论文（设计）内容介绍论文（设计）题目逆矩阵及其应用选题时间完成时间论文（设计）字数关键词矩阵，逆矩阵，广义逆矩阵，论文（设计）题目的来源、理论和实践意义：论文题目的来源：自选题目论文（设计）的主要内容及创新点：主要内容：主要创新点：附：论文（设计）本人签名：年月日目录中文摘要……………………………………………………………1英文摘要……………………………………………………………1一、引言……………………………………………………………2二、矩阵逆的定义……………………………………………………2三、可逆矩阵的性质……………………………………………2四、矩阵可逆的判定方法……………………………………………2五、矩阵逆的求法……………………………………………………3六、矩阵逆的应用……………………………………………………12七、逆矩阵求某些函数的不定积分…………………………………13八、矩阵逆的推广……………………………………………………14参考文献………………………………………………………………161逆矩阵及其应用摘要：本文首先给出矩阵可逆的定义、性质，其次探讨矩阵可逆的判定方法、逆矩阵的求法以及逆矩阵求不定积分,矩阵可逆的应用，特别是在编码、解码方面的应用.最后，本文对可逆矩阵进行了相应的推广.关键词：矩阵矩阵的逆广义逆矩阵中图分类号：O151.21TheinversematrixanditsapplicationAbstract:Thispaperpresentsthedefinitionandpropertiesofinversematrix,thendiscussesthemethodabouthowtoidentifyinversematrixandhowtoevaluateit.Next,thispaperdiscusseshowtoevaluateindefiniteintegralbyinversematrixandtheapplicationofinversematrix,especiallyitsapplicationintheencoding,decoding.Finally,thisthesisgeneralizesinversematrix.Keywords:MatrixInversematrixGeneralizedinversematrix2一：引言矩阵是现代数学的一个强有力的工具，应用非常广泛，逆矩阵又是矩阵理论的一个非常重要的概念，文章主要是对矩阵的可逆性由来及定义、性质、判定方法、应用进行探讨.目的在于改进教学，促进学生的学习，提高教育教学质量，让学生了解逆矩阵的应用.二：矩阵逆的定义引入矩阵的逆这个概念:对于nn矩阵A，如果有一个nn矩阵B，使得AB=BA=E，E为单位矩阵则说矩阵A是可逆的，并把矩阵B称为A的逆矩阵，A的逆矩阵记为A1.三：可逆矩阵的性质1、若矩阵A、B均可逆,则矩阵AB可逆，其逆阵为B1A1，当然这一性质可以推广到多个矩阵相乘的逆.2、若A可逆，则1A也可逆，且1A1=A；3、若A可逆，数0，则A可逆，且111AA；4、若A可逆，则TA也可逆，且11TTAA.5、A()()'11A.6、矩阵的逆是唯一的，证明：运用反证法，如果A是可逆矩阵，假设B,C都是A的逆，则有AB=BA=E=AC=CAB=BE=B（AC）=（BA）C=EC=C（与BC矛盾），所以是唯一的.四：矩阵可逆的判定方法矩阵可逆有如下若干充要条件：（A为n阶方阵）1、存在B为n阶方阵，使得AB=I；2、对于PAQ=000I，其中r（A）=n；3、0A；4、A的行向量组线性无关；5、A的列向量组线性无关；6、A可表示成一系列初等矩阵的乘积；37、A可经过一系列初等行变换化成单位矩阵I；8、A可经过一系列初等列变换化成单位矩阵I；9、对于齐次线性方程组AX=0只有零解；10、A是非奇异矩阵.五：矩阵的逆的求法（一）.定义法定义设A是n阶方阵，如果存在n阶方阵B使得AB=E,那么A称为可逆j矩阵，B称为A的逆矩阵，记为1A.例1.求矩阵121011322A的逆矩阵.解：因为A≠0,所以1A存在.设33323123222113121113xxxxxxxxA,由定义知1AA=E,所以1210113223332312322211312113xxxxxxxx=100010001.由矩阵乘法得332313322212312111231322122111332313322212312111222322322322xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx=100010001.由矩阵相等可解得111312111xxx;654322212xxx;433332313xxx.故4613513411A（二）.伴随矩阵法定理n阶矩阵A=aij为可逆的充分必要条件是A非奇异.且411211122221121nnnnnnAAAAAAAAAAA，其中Aij是|A|中元素aij的代数余子式.矩阵112111222212nnnnnnAAAAAAAAA称为矩阵A的伴随矩阵，记作A*，于是有A-1=1|A|A*.注释①对于阶数较低（一般不超过3阶）或元素的代数余子式易于计算的矩阵可用此法求其逆矩阵.注意A*=（Aji）n×n元素的位置及符号.特别对于2阶方阵11122122aaAaa，其伴随矩阵22122111*aaAaa,即伴随矩阵具有“主对角元素互换，次对角元素变号”的规律.②对于分块矩阵ABCD不能按上述规律求伴随矩阵.例2：已知101A=210325，求A-1.解:∵A=2≠0∴A可逆.由已知得111213212223313233A=-5,A=10,A=7A=2,A=-2,A=-2A=-1,A=2,A=1A-1=1|A|A*=5115212211022511272171122（三）.行(列)初等变化法5设n阶矩阵A，作n×2n矩阵，然后对此矩阵施以行初等变换，若把子块A变为nI，则子块nI将变为1A，即初等行变换[E,A-1].注①对于阶数较高（n≥3）的矩阵，采用初等行变换法求逆矩阵一般比用伴随矩阵法简便.在用上述方法求逆矩阵时，只允许施行初等行变换.②也可以利用1EAEA初等列变换求得A的逆矩阵.③当矩阵A可逆时，可利用11EABEA,CABCA初等行变换初等列变换求得A-1B和CA-1.这一方法的优点是不需求出A的逆矩阵和进行矩阵乘法仅通过初等变换，即求出了A-1B或CA-1.例3：:用初等行变换求矩阵231A013125的逆矩阵.解：231100125001125001AE013010013010013010125001231100006112125001125001013010013010019102111001663113410066313010122111001663（四）.用分块矩阵求逆矩阵设A、B分别为P、Q阶可逆矩阵，则：61111111111111111AA000B0COAAACBAOAOBDBOBBDABBOAOBBOAO例4：已知0052002112001100A，求A-1.解：将A分块如下：120052002112001100OAAAO其中125212,2111AA可求得1*1*1122121212111,2511||||3AAAAAA1121112003311003312002500OAAAO（五）.解方程组求逆矩阵根据可逆的上(下)三角矩阵的逆仍是上(下)三角矩阵,且上(下)三角矩阵逆矩阵主对角元分别为上(下)三角矩阵对应的主对角元的倒数,可设出逆矩阵的待求元素;又由A-1A=E两端对应元素相等,依次可得只含有一个待求元素的方程,因而待求元素极易求得,此法常用元素待求上(下)三角矩阵的逆矩阵.7例5：求1000120021301214A的逆矩阵.解：设21131324142431000100210314XAXXXXX,先求A-1中主对角线下的次对角线上的元素213243X,X,X,再求3142X,X，最后求41X.设E为4阶单位矩阵,比较21313241424310001100000212001213003121414XEXXXXX的两端对应元素,得到元素213243X,X,X,再求3142X,X，最后求41X.设E为4阶单位矩阵,比较21313241424310001100000212001213003121414XEXXXXX的两端对应元素,得到414243433132434142434241424343110X0X3X0;,X;412211X1X100;,X;32250X2X1X0;,X;44111X1X2X0;,X48解得解得解得解得。8于是,所求的逆矩阵为:110001100221110263151184124A（六）.用克莱姆法则求解若线性方程组11112211211222221122nnnnnnnnnnaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb的系数行列式||0ijnDa，则此方程组有唯一的一组解1212,,,nnDDDxxxDDD.这里iD是将D中的第i列1,,iniaa换成1,,nbb得到的行列式.例6：求可逆矩阵121310102A的逆矩阵.解：矩阵A的行向量为123,,，由标准基123,,表示为：1123212313232解以123,,为未知量的方程组得：1123212331232419992113331259991241999211333125999A9（七）.恒等变形法求逆矩阵：有些计算命题表面上与求逆矩阵无关,但实质上只有求出矩阵的逆矩阵才能算出来,而求逆矩阵须对所给的矩阵等式恒等变形,且常变形为两矩阵的乘积等于单位矩阵的等式.例7：已知6AE，试求11A并证明111AA,其中13223122A.解:由6AE得到666611AAA