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[序列及其极限]7-A序列定义日常英语中，词“sequence”和“series”是同义词，它们用来表示按某种顺序排列的一连串东西或事件。在数学上，这两个词有特殊专业含义，如通常用法一样，术语“sequence”表示按顺序排列的一串东西，而词“series”用于某种不同的意思。在这节讨论序列概念，而级数将在第十一节定义。如果对于每个正整数n都存在一个实数或复数an与之对应，则有序集a1,a2,…an,…称为无穷序列。这里重要的是，集合中的每一个元素都用正整数来标记，因此我们可以说，第一项a1，第二项a2，一般地，第n项an。每一项an都有下一项an+1，因此没有“最后”一项。序列最常用的例子是，给定某种规则或公式来描述第n项。因此，例如，公式an=1/n定义了一个序列，它的前五项是：1，1/2，1/3，1/4,1/5.有时可以使用两个或更多的公式，例如，a2n-1=1，a2n=2n2，在这种情况下，前几项是：1,2,1,8,1,18,1,32,1.另一种通常定义序列的方法是：通过一串指令说明在给定初始项后如何得到后面的项。因此我们有，对n≥2，a1=a2=1，an+1=an+an-1。这个特殊规则就是常见的递推公式，它定义了一个著名的称为Fibonacci数的序列，前几项是1，1，2，3，5，8，13，21，34.对任一序列，本质的问题是存在某个定义在正整数上的函数f使得对每一个n=1,2,3,…f(n)是序列的第n项。事实上，这可能是陈述序列专业定义最方便的方法。定义：定义域是所有正整数1,2,3，…的函数称为无穷序列。函数值f(n)称为序列的第n项。函数的值域（即函数值集合）通常是按顺序书写各项来表示，因此：f(1)，f(2)，f(3)，…f(n)，….为简略起见，记号{f(n)}通常用于表示第n项是f(n)的序列，序列各项对n的相关性常常通过利用下标来表示，我们可以写为an,sn,xn,un,或者类似的东西来替代f(n)。除非特别声明，本章所有序列都假设具有实的或复的项。7B序列极限这里，我们最关心的问题是决定当n无限增加时，项f(n)是否会趋于一个有限的极限。要处理这个问题，我们必须将极限概念推广到序列。做法如下：定义：说序列{f(n)}有极限L，如果对每一的正数ε都存在另一个正数N（可能依赖于ε）使得对所有的n≥N有|f(n)-L|ε.在这种情况下，我们说序列{f(n)}收敛到L，记为lim(),,()nfnLnfnL或者当时.不收敛的序列称为发散。在这个定义中，函数值f(n)和极限L可以是实数或者复数。如果f(n)和L是复数，我们可将它们分解成实部和虚部，记为f=u+iv,L=a+ib,则有f(n)-L=u(n)-a+i[v(n)-b].不等式()()()()unafnLvnbfnL和表明当,()()().nfnLunavnb时关系式推得和反过来，不等式()()+()fnLunavnb表明当,()(),().nunavnbfnL当时和推得换句话说，复值序列f收敛当且仅当实部u和虚部v分别收敛，这是有lim()lim()+ilim()nnnfnunvn.显然，对所有正实数x有定义的函数都可以通过限制x仅取正整数来构造序列，这表明，刚刚给出的定义与6.4节中作为更一般函数的定义之间十分类似。这种类似也可以推广到无穷极限，我们把定义记号lim()lim()nnfnfn和留给读者，就像在6.5节当f是实值时那样做，如果f是复的，,(),nfn当时若就记().fn术语“收敛序列”通常仅指极限为有限的序列，具有无限极限的序列称为发散。当然存在没有无限极限的发散序列，有下列公式定义的序列，就是例子，21()(1),()sin,()(1)1,().2ninnnfnfnfnfnen作为讨论和、积等等的极限的基本规则对于收敛序列的极限也是成立的。读者自己公式化这些定理应该不会有困难，它们的证明有点类似于3.5节中给出的那些证明。