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9-A大量的科学问题需要人们根据事物的变化率来确定该事物。例如，我们可以由已知速度或者加速度来计算移动质点的位置.又如，某种放射性物质可能正在以已知的速度进行衰变，需要我们确定在给定的时间后遗留物质的总量。在类似的例子中，我们力求由方程的形式表述的信息来确定未知函数，而这种方程至少包含了未知函数的一个导数。这些方程称为微分方程，对其研究形成了数学中最具有挑战性的一个分支微分方程根据未知量是单变量函数还是多变量函数分成两个主题：常微分方程和偏微分方程。常微分方程的一个简单例子是f'(x)=f(x)，特别地，指数函数f(x)=ex满足这个等式。我们马上就会发现(9.1)的每一个解都一定是f(x)=Cex这种形式，这里C可以是任何常数。另一方面，如下方程是偏微分方程的一个例子。这个特殊的方程叫做拉普拉斯方程，出现于电磁学理论、流体力学理论以及其他理论中。微分方程的研究是数学的一部分，也许比其他分支更多的直接受到力学，天文学和数学物理的推动微分方程起源于17世纪，当时牛顿，莱布尼茨，伯努利家族解决了一些来自几何和力学的简单的微分方程开始于1690年的早期发现，逐渐导致了解某些特殊类型的微分方程的大量特殊技巧的发展。尽管这些特殊的技巧只是适用于相对较少的几种情况，但他们能够解决许多出现于力学和几何中的微分方程，因此，他们的研究具有重要的实际应用。这些特殊的技巧和利用这些技巧可以解决的一些问题将在本章最后讨论。经验表明除了几个典型方程外，很难得到微分方程解的一般性数学理论。线性微分方程的最简单类型及其应用也会在介绍性的本章中讨论。线性方程的深入研究将在第二卷中进行。12-A在讨论概率论时，会常常从日常用语中看到这样的语句：两个事件是同等可能的，一个事件是不可能的，一个事件肯定发生。这种表达方式非常直观，在数学讨论中，乐于使用这样有色彩的语言，而且使用起来很有帮助。但是，在我们这么做之前，有必要根据我们理论的基本概念来解释这种语句的含义根据概率论实际应用的方式，把每一个概率空间(S,B,P)想象成对应于一个实际的或者概念上的试验是很方便的。全集S是试验中所有可能结果的集体，就像前面章节讨论的掷硬币的例子。S的每一个元素称为结果或者样本，在布尔代数B中出现的S的子集称为事件，为什么使用这个术语在我们举例后就会很明显假设有一个对应于某一个试验的概率空间(S,B,P)。A是一个事件，假设试验已经完成，结果是x(换句话说，x是S中的一个点)。结果x可能属于集合A，也可能不属于A。如果属于，则称事件A发生。否则，称事件A不发生，那么余事件发生。如果A等于空集，事件A称为不可能事件，因为在这种情况下试验的任何结果都不是A中的元素。如果A=S，则称事件A是必然事件，因为每一个结果必然是A中的元素。每一个事件A都通过概率函数P被赋予一个概率P(A)。数P(A)又称为试验的结果，是A的一个元素的概率。也称P(A)是试验完成时事件A出现的概率。因为P是有限可加测度，所以不可能事件被赋予零概率。然而，也存在具有零概率的事件，但它并不是不可能事件。换句话说，S的某个非空子集也可能被赋予零概率。仅根据概率的定义就得把必然事件S的概率指定为1，但是可能有别的子集其概率也是1.如果事件P(A)=P(B)，则A与B被称为同等可能。如果P(A)P(B),则称事件A比事件B有更大的可能性，如果P(A)≥P(B),则称事件A至少和事件B的可能性一样大。