板球系统文档

一、板球系统的特点板球系统是一个多变量，非线性控制对象，是球杆系统的二维扩展。作为一个具有两个自由度的机械系统，板球系统通常用于对动态系统的研究和在实验室进行经典控制理论和现代控制理论的控制过程研究。其控制对象是具有两个相互垂直的旋转轴的板，目的是让一个自由滚动的小球能够平衡在平板上特定的位置，或者沿一定的轨迹滚动。板球系统涉及自动控制、运动控制、数字图像处理、机器视觉等专业。对于经典控制理论、现代控制理论、计算机图像处理等课程，板球系统是良好的实验对象，可以通过做实验来检验经典控制理论和现代控制理论的很多问题，包括根轨迹控制、频率响应法，也包括基于状态空间方程的LQR控制、极点配置、模糊控制等等。它能够帮助我们加深对书本中概念的理解。二、板球系统的结构和工作原理Figure.1Figure.2板球系统主要由以下几部分组成，如图Figure1和Figure2所示。包括底座、小球、圆盘、顶部摄像头、支撑部分、两个电机等。小球可以在圆盘内自由的滚动，圆盘的中心通过转轴支撑，两端有成90°的两根杆可以上下转动，通过控制直流伺服电机的位置，带动杆上下运动，就可以控制圆盘的倾斜角。板球系统以摄像头采集的图像信息和角度编码器采集的电机位置信号为反馈信息，采用视觉反馈和编码器反馈相结合的传感方式得到系统的反馈，并以此为依据进行控制，通过转动平板，来控制小球的实际位置和运动轨迹。当圆盘偏离水平的平衡位置后，在重力作用下，小球开始在圆盘上滚动。我们的目的是设计一个控制器，通过控制电机的转动，使小球稳定在圆盘上的某一平衡位置。三、板球系统的数学模型3.1板球系统的坐标系板球系统的最终控制目标是小球在球盘上的位置，要实现对小球位置的闭环控制，必须实时获取小球在球盘坐标系中的实际反馈位置值。经过图像信息获取的过程，控制系统可以得到运动物体在图像坐标系中的坐标，但运动物体的图像坐标仅仅提供了物体在二维空间位置的信息，而没有物体的深度信息，控制系统无法根据这样的信息对小球加以控制。因此，需要根据摄像机采集图像并进行在二维图像坐标系中图像处理的结果，结合摄像机标定得到摄像机的内外参数，以得到运动物体在世界坐标系中的真实位置。由此可知，在板球系统中，要实现小球位置控制，必须明确系统所涉及的四个坐标系:即世界坐标系，球盘坐标系，摄像机坐标系和图像坐标系。3.2板球系统物理模型由于板球系统X,Y轴相互垂直，为简化，可以将其看作两个互相垂直方向的球杆，即球杆系统的二维扩展。如图3.1所示，为简化的板球系统物理模型，其中X-Y-Z为与基座相连的世界坐标系，X-Y-Z为固连在板球上的局部坐标系。球盘具有绕X轴旋转和绕Y轴旋转两个自由度，对应于板绕X轴转动的倾角q1和绕Y轴转动的倾角q2，图中角度以逆时针为正。intUJoO'zz球板1qhy'ybyintUJoO''z'z球板2qh'x''xbxFigure.3(a)Figure.3(b)Figure.3(a)为YZ平面，此时球盘绕X轴旋转，Figure.3(b)为XZ平面，此时球盘绕Y轴旋转。可以证明，在球盘倾角较小的情况下，q1和q2与X轴电机转角θm1和Y轴电机转角θm2之间存在如下关系:1111mdqL2222mdqL式中各量的含义如Figure.4所示，d1为X轴连杆与X轴电机转盘的连接点到X轴电机轴之间的距离；L1为X轴连杆与球盘的连接点到球盘中心支撑点之间的距离；d2为Y轴连杆与Y轴电机转盘的连接点到Y轴电机转轴之间的距离；L2为Y轴连杆与球盘的连接点到球盘中心支撑点之间的距离。d球板rLq球板中心支点电机轴O1OFigure.4这样就建立了板球在两个轴方向的旋转角度和电机转角之间的关系。3.3板球系统动力学分析利用拉格朗日方程建立板球系统的模型，拉格朗日方程的一般形式如式(1)所示niQqLqLdtdiii,,3,2,1,(1)其中，qi为系统的广义坐标，L是系统的拉格朗日量，是动能T与势能V的差，即L=T-V。Qi为系统沿广义坐标qi方向上的外力。若做如下假设：(1)任何情况下小球与平板都有接触；(2)不考虑板的面积和旋转角度限制；(3)球在板上没有滑动和绕其竖直中心轴的转动；(4)平板在x轴和y轴方向上关于其支撑点对称；(5)平板坐标系和大地坐标系原点重合;(6)忽略所有摩擦力。建模过程中用到的各参数如下m——小球质量rb——小球半径x——小球在平板坐标系中x方向的位移y——小球在平板坐标系中y方向的位移θx——平板在x方向的转角θy——平板在y方向的转角r——小球在平板坐标系中与原点的距离rp——小球在大地坐标系中与原点的距离ωx——小球在平板坐标中x方向的旋转角度ωy——小球在平板坐标中y方向的旋转角度Jb——小球的转动惯量Jp——平板的转动惯量小球的动能包括其自身的转动动能和在平板上的平移动能22222121yxbbJyxmT(2)由于小球在运动过程中没有滑动，则ybxbryrx,(3)将式(3)带入式(2)，有22221yxrJmTbbb(4)平板的动能包括其自身的转动动能和小球绕平板支撑点的转动动能222222121yxpbyxppmrJJT(5)由于xyparctgxyarctgrryxrcos,2222则222222222222221212121yxyxbpyxyxyxyxbppyxmJJrryxmrJJT(6)平板势能为零，小球势能为yxbyxmgVsinsin(7)结合式(4)、式(6)和式(7)得到拉格朗日量为yxyxpbyxpbbbpbyxmgmrJJyxrJmVTTLsinsin21212122222222(8)对拉格朗日方程取如下2个变量：yqxq21,(9)相对应的外力分别为0,021QQ(10)将式(8)、式(9)和式(10)代入式(1)中，得0sin22xyxxbbmgyxmxrJm(11)0sin22yyxybbmgxymyrJm(12)由于平板转动的角度范围不大，sinθx≈θx，sinθy≈θy可将式(11)和式(12)简化为02xbbmgxrJm(13)02ybbmgyrJm(14)若设定如下状态：xx1，xx2，xx3，xx4，yx5，yx6，yx7，yx8其中x1——小球在x方向上以初始位置为基准的位移x2——小球在x方向上的速度x3——平板在x方向上以水平面为基准的角位移x4——小球在x方向上的角速度x5——小球在y方向上以初始位置为基准的位移x6——小球在y方向上的速度x7——小球在y方向上以水平面为基准的角位移x8——小球在y方向上的角速度两个输入量为平板在x方向的转角和在y方向的转角分别用ux和uy表示。则根据式(11)和式(12)可得到如下的状态空间方程：ybbxbbuxxxxmgxxxxxmrJmxxxuxxxxmgxxxxxmrJmxxx8877841285266544338452412221sin1sin1根据式(13)和式(14)可得到线性化后的状态空间方程如下：CXYBuAXX其中TxxxxxxxxX87654321XYyxuuu0000000010000000000000000100000000000000000100000000000000001022bbbbrJmmgrJmmgA1000000001000000B88IC若参数取如下值25102.402.08.9263.0mkgJmrgkgmbb则状态空间方程参数变为0000000010000000070000000010000000000000000010000000070000000010A四、演示算法：LQR控制方法在CommandWindow中输入A=[01000000;00-700000;00010000;00000000;00000100;000000-70;00000001;00000000];B=[00;00;00;10;00;00;00;01];Q=[100000000;01000000;001000000;00010000;000010000;00000100;000000100;00000001];R=[10;01];K=lqr(A,B,Q,R)得反馈矩阵K=-3.1623-4.126217.73716.039400000000-3.1623-4.126217.73716.0394建立如Figure.5的Simulink控制框图，其中板球系统的模型部分为根据非线性状态空间方程用S函数编写的模块，控制模块为上述LQR方法建立的控制器。分别设定小球期望的位置在x方向上为10cm，y方向上为20cm，得到如Figure.6的输出曲线（小球在x方向上的位置）,如Figure.7的输出曲线（小球在y方向上的位置）。Figure.5板球系统的Simulink框图Figure.6小球在x方向上的位置Figure.7小球在y方向上的位置