27《概率论与数理统计》习题及答案 第七章

·90·《概率论与数理统计》习题及答案第七章1．对某一距离进行5次测量，结果如下：2781,2836,2807,2765,2858（米）.已知测量结果服从2(,)N，求参数和2的矩估计.解的矩估计为ˆX，2的矩估计为22*211ˆ()niiXXSn1(27812836280727652858)2809.05X，*215854.01170.845S所以2ˆ2809,1170.82．设12,,,nXXX是来自对数级数分布1(),(01,1,2,)(1)kpPXkpklupk的一个样本，求p的矩估计.解111111ln(1)ln(1)ln(1)1kkkkppppppp（1）因为p很难解出来，所以再求总体的二阶原点矩121111ln(1)ln(1)ln(1)kkkxpkkkppkpkpxppp21ln(1)1ln(1)(1)xppxppxpp（2）（1）（2）得121p所以212p所以得p的矩估计·91·21221111niiniiXXXnpXn3．设总体X服从参数为N和p的二项分布，12,,,nXXX为取自X的样本，试求参数N和p的矩估计解122,(1)()NpNppNp解之得1/Np，21(1)pNp，即1Np，22111p，所以N和p的矩估计为ˆXNp，*21SpX.4．设总体X具有密度11(1)1,,(;)0,.CxxCfx其他其中参数01,C为已知常数，且0C，从中抽得一个样本，12,,,nXXX，求的矩估计解11111111111CCEXCxdxCx111()11CCCC，解出得11,C·92·于是的矩估计为1CX.5．设总体的密度为(1),01,(;)0,.xxfx其他试用样本12,,,nXXX求参数的矩估计和极大似然估计.解先求矩估计：111210011(1),22EXxdxx解出得1112,1所以的矩估计为121XX.再求极大似然估计：1121(,,;)(1)(1)()nnniniLXXxxxx，1lnln(1)lnniiLnx，1lnln01niidLnxd，解得的极大似然估计：1(1)lnniinx.6．已知总体X在12[,]上服从均匀分布，1nXX是取自X的样本，求12,的矩估计和极大似然估计.解先求矩估计：1212EX，22222211211222()()1243EX·93·解方程组121221122223得211213(),221213().注意到12，得12,的矩估计为*13XS，*23XS.再求极大似然估计1121212111(,,;,)()nnniLXX，1122,,,nxxx，由极大似然估计的定义知，12,的极大似然估计为11(1)min(,,)nXXX；21()max(,,)nnXXX.7．设总体的密度函数如下，试利用样本12,,,nxxx，求参数的极大似然估计.（1）1(),0,(;)0,.xxexfx其它;已知（2）||1(;),,2xfxex.解（1）111111(,,;)()()niiinxxnnniniLXXxexxe111ln(;)lnln(1)lnnnniiiiLXXnnxx1ln0niidLnxd解似然方程1niinx，得的极大似然估计·94·1.niinx（2）1||||1111(;)22niiinxxnniLXXee由极大似然估计的定义得的极大似然估计为样本中位数，即1()2()(1)22,1(),.2nnnXnXXn为奇数,为偶数8．设总体X服从指数分布(),,(;)0,.xexfx其他试利用样本12,,,nXXX求参数的极大似然估计.解1()11(,,;),,1,2,,.niiinxnxniiLXXeexin1lnniiLnXln0dLnd由极大似然估计的定义，的极大似然估计为(1)x9．设12,,,nXXX来自几何分布1()(1),1,2,,01kPXkppkp，试求未知参数p的极大似然估计.解1111(,,;)(1)(1)niiinxnxnniLxxppppp，1lnln()ln(1),niiLnpXnp1ln0,1niiXndLndppp解似然方程·95·11niinXnpp，得p的极大似然估计1pX。10．设12,,,nXXX是来自两个参数指数分布的一个样本.1211221,,(;,)0,.xexfx其它其中12,0，求参数1和2的（1）极大似然估计；（2）矩估计。解（1）121121121(,,;,),,1,2,,.ixnniiLXXexin21121lnln()niiLnXn12ln0Ln由极大似然估计的定义，得1的极大似然估计为1(1)x；121222ln1()0niiLnXn解似然方程得2的极大似然估计2(1)Xx（2）112EX22222212[()]()EXDXEX解方程组112222212,(),得22221,21121.所以12,的矩估计为·96·*1,XS*2*2ˆ.SS11．罐中有N个硬币，其中有个是普通硬币（掷出正面与反面的概率各为0.5）其余N个硬币两面都是正面，从罐中随机取出一个硬币，把它连掷两次，记下结果，但不去查看它属于哪种硬币，如此重复n次，若掷出0次、1次、2次正面的次数分别为012,,nnn，利用（1）矩法；（2）极大似然法去估计参数。解设X为连掷两次正面出现的次数，A‘取出的硬币为普通硬币’，则21(0)()(0|)()(0|)(),24PXPAPXAPAPXANN1221(1)()(1|)()(1|)()2PXPAPXAPAPXACN2N,(2)()(2|)()(2|)PXPAPXAPAPXA2143()24NNNNN，即X的分布为01243424XNPNNN（1）143222NNNNN解出得1(2),N的矩估计为121(2)[2(2)]NXNnnn1201(22)(2)NNnnnnnnn（2）012143(;)424nnnnNLXXNNN，012ln(lnln(4))(lnln(2))(ln(43)ln(4))LnNnNnNN012ln3043ndLnndN，解似然方程0123,43nnnN·97·得的极大似然估计014()3Nnnn.12．设总体的分布列为截尾几何分布1()(1),1,2,,,kPXkkr(1)rPXr，从中抽得样本12,,,nXXX，其中有m个取值为1r，求的极大似然估计。解1()111(,,;)(1)(1),nmiiinmXnmXmrnmmrniLXX1ln(())ln()ln(1),nmiiLXnmmrnm1ln11()()0,1nmiidLXnmmrnmd解似然方程11nmiiXnmmrnm得的极大似然估计1111nmniiiinmniiiiXnmmrXnXmrXm.13．设总体X服从正态分布212(,),,,,nNXXX是其样本，（1）求C使得12211()niiiCXX是2的无偏估计量；（2）求k使得1||niikXX为的无偏估计量.解（1）112211111()[()()]nniiiiiiiiECEXXCDXXEXX1211()2(1)niiiCDXDXCn可见当12(1)Cn时，12211()niiiCXX是2的无偏估计量.·98·（2）111||niiijijiEkEXXkEXXXnn111nijijinkEXXnn设11iijinZXXnn，因22211(1)~(,)innnXNnnn22111~(,)ijinnXNnnn，所以21~(0,)nZNn~(0,1)1ZNnn.因为21ZEnn，所以2(1)||nEZn于是1||2(1)/niEkEZknn故当2(1)knn时1||niikXX是的无偏估计。14．设12,,,nXXX是来自参数为的泊松分布总体的样本，试证对任意的常数k，统计量2(1)kXkS是的无偏估计量。证22((1))(1)EkXkSkEXkESkk（此处利用了X是EX的无偏估计，2S是DX的无偏估计），所以对任意的2(1)kXkS是的无偏估计。15．设总体X有期望12,,,,nXXX为一样本，问下列统计量是否为的无偏估计量？（1）121()2XX;（2）122XX;（3）1211(2332)10nnXXXX;（4）(1)X；（5）()nX；（6）(1)()1()2nXX.解（1），（2），（3）都是样本的线性组合，而且组合系数之和为1，故它们都是的无偏估计。但（4），（5），（6）一般不是的无偏估计，如~(1,)XBp，则(1),(0)1,PXpPXpEXp，而(1)X不是0就是1，且·99·(1)121(1)(1,1,,)nnPXPXXXp，故(1)nEXpp即(1)X不是p的无偏估计。16．设是参数的无偏估计量，且有0D，试证明2不是2的无偏估计量。证2222()EDED，即2不是2的无偏估计量.注：该题说明：当是未知参数的无偏估计时，的函数()g不一定是的函数()g的无偏估计。17．设总体2~(,)XN，123,,XXX是来自X的样本，试证估计量11231315102XXX；21231153412XXX，3123111362XXX.都是的无偏估计，并指出它们中哪一个最有效.证1231131131()51025102EEXEXEX2115()3412E3111()362E故123,,都是的无偏估计.221231191390.39251004100DDXDXDX,2222112550()0.34791614