插值法的推导过程

插值法生产实践中常常出现这样的问题：给出一批离散样点，要求作出一条通过这些点的光滑曲线，以便满足设计要求或进行加工。反映在数学上，即已知函数在一些点上的值，寻求它的分析表达式。因为由函数的表格形式不能直接得出表中未列点处的函数值，也不便于研究函数的性质。此外，有些函数虽有表达式，但因式子复杂，不容易算其值和进行理论分析，也需要构造一个简单函数来近似它。解决这种问题的方法有两类：一类是给出函数xf的一些样点值，选定一个便于计算的函数形式，如多项式、分式线性函数及三角多项式等，要求它通过已知样点，由此确定函数x作为xf的近似。这就是插值法。另一类方法在选定近似函数的形式后，不要求近似函数过已知样点，只要求在某种意义下他在这些点上的总偏差最小。这类方法称为曲线（数据）拟合法。1、拉格朗日（Lagrange）插值1.Lagrange插值多项式先讨论只有两个节点0x,11nx的插值多项式。由前所述，插值多项式应设为xaax101，且满足插值条件0001001xfyxaax1111011xfyxaax解此方程组得1010010xxxyxya，10101xxyya0所以，两个节点的一次插值多项式为xxxyyxxxyxyx10101010011（5-6）这是用过两点00,yx，11,yx的直线xy1近似曲线xfy，故这种插值又称为线性插值。如果将式（5-6）改写成以下形式010110101xxxxyxxxxyx(5-7)式（5-7）中，x1被表成两个线性函数的线性组合。记1010xxxxxl，0101xxxxxl显然，它们满足100xl，010xl001xl，111xl即10，ixli在对应的插值点ix处的取值为1，在其他点处取值为0，不难想象，以对应点处的函数值为系数对它们作线性组合所得的函数，不仅仍是线性的，且必定满足插值条件。由此得到启发，当节点增多到1n个时，可以先构造n次多项式nixli,,1,0，它们满足ijijxlji,1,0（5-8）然后以对应点处的函数值为系数作线性组合，即得所要求的插值多项式。下面推导nixli,,1,0的表达式。由式（5-8），多项式xli有n个根ijnjxj,,,1,0，且1iixl，故它必定是以下形式nijjjijniiiiiiniiinixxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxl0110110,,1,0（5-9）这些函数称为Lagrange插值基函数。利用它们立即得出插值问题的解nijjjijniiniiinxxxxyxlyx000（5-10a）事实上，因为每个插值基函数nixli,,1,0都是n次多项式，故xn是至多n次多项式。由式（5-8）又得nkyxlyxknikiikn,,1,00即xn满足插值条件式（5-2）。式（5-10a）称为n次Lagrange插值多项式。为了以后便于区别，常用xLn代替xn，以突出表示这是由Lagrange插值所得到的插值多项式，即niiinxlyxL0（5-10b）由前面讨论的结果，1n个节点的n次Lagrange插值多项式存在唯一，式（5-5）为插值余项。式（5-10b）形式对称，容易编制程序。2、牛顿（Newton）插值如果将直线用点斜式方程表示，即把线性插值公式改写成以下形式)()(0010101xxxxyyyx（5-13）由此导出插值多项式的又一种表示形式——牛顿插值公式。2.1差商定义5.1设有函数,,,),(210xxxxf为一系列互不相等的点，称)()()(jixxxfxfjiji为)(xf关于点jixx,的一阶差商（也称均差），记为],[jixxf，即jijijixxxfxfxxf)()(],[类似于高阶导数的定义，称一阶差商的差商kikjjixxxxfxxf],[],[为)(xf关于点kjixxx,,的二阶差商，记为],,[kjixxxf。一般地，称kkkxxxxxfxxxf021110],,,[],,,[为)(xf关于点kxxx,,,10的k阶差商，记为kkkkxxxxxfxxxfxxxf02111010],,,[],,,[],,,[（5-14）2.2Newton插值公式按定义5.1线性插值公式（5-13）可表示成],[)()()(10001xxfxxxfx（5-17）式（5-17）称为一次Newton插值多项式。一般地，由各阶差商的定义，依次可得],[)()()(000xxfxxxfxf],,[)(],[],[101100xxxfxxxxfxxf],,,[)(],,[],,[210221010xxxxfxxxxxfxxxf],,,[)(],,,[],,,[01010nnnnxxxfxxxxxfxxxf将以上各式分别乘以1，)(0xx,))((10xxxx,,)())((110nxxxxxx,然后相加并消去两边相等的部分，即得],,,[)())((],,,[)())((],,[))((],[)()()(101010110210101000nnnnxxxxfxxxxxxxxxfxxxxxxxxxfxxxxxxfxxxfxf（5-18）记],,,[)())((],,[))((],[)()()(10110210101000nnnxxxfxxxxxxxxxfxxxxxxfxxxfxN（5-19）],,,,[)(],,,,[)())(()(1011010nnnnnxxxxfxxxxxfxxxxxxxR（5-20）则)()()(xRxNxfnn显然，)(xNn是至多n次的多项式。而由nixxxxfxxRniinin,,1,00],,,,[)()(101得),,1,0)(()(nixNxfini。这表明)(xNn满足插值条件式（5-2），因而它是)(xf的n次插值多项式。这种形式的插值多项式称为Newton插值多项式。3、埃尔米特（Hermite）插值如果对差值函数，不仅要求它在节点处与函数同值，而且要求它与函数有相同的一阶、二阶甚至更高阶的导数值，这就是Hermite插值问题。3.1Hermite设已知函数)(xfy在1n个互异节点nxxx,,,10上的函数值),,1,0)((nixfyii和导数值),,1,0)((nixfyii，要求一个至多12n次的多项式)(xH，使得),,1,0()(,)(niyxHyxHiiii（3-1）满足条件（3-1）的多项式)(xH称为Hermite插值多项式。我们仍采用构造插值基函数的方法来求Hermite插值多项式。可以设想，如果有两组函数),,1,0)((),(nixHxhii，它们满足：（1）),,1,0)((),(nixHxhii都是至多12n次多项式；（2）njxhijijxhjiji,,1,00)(,,1,0)(（3-2）njijijxHxHjiji,,1,0,1,0)(,0)(则多项式niiiiixHyxhyxH0)()()(必定满足插值条件式（3-1），且次数不超过12n。按条件式（3-2），)(xhi在)(ijxj处函数值与导数值均为0，故它们应含因子)()(2ijxxj，因此可以设为)()]([)(2xlxxbaxhiii（3-3）其中)()()()(11ininixxxxxl为Lagrange插值基函数。由条件式（3-2），)(xhi还应满足,1)(iixh0)(iixh代入式（3-3），得1)()(2axalxhiiii0)(2)()()]([2)()(2iiiiiiiiiiiixlabxlxlxxbaxblxh其解为)(2iixlab。所以)()()(21)(xlxlxxxhiiiii),,1,0(ni（3-4）同理，由于)(xHi在)(ijxj处的函数值与导数值均为0，而0)(iixH，故可设)()()(xlxxcxHiii代入条件式（3-2）得1)()(2iiiixclxH于是1c，因此)()()(2xlxxxHiii),,1,0(ni（3-5）所以Hermite插值多项式为niiiiiiiiiniiiiiyxlxxyxlxlxxxHyxhyxH0220)()()()()(21)()()(（3-6）特别地，当1n时，有2101010021)(xxxxxxxxxh2010101121)(xxxxxxxxxh210100)(xxxxxxxH201011)(xxxxxxxH所以，两个节点的三次Hermite插值多项式为1201010210101201010102101010)()(2121)(yxxxxxxyxxxxxxyxxxxxxxxyxxxxxxxxxH（3-7）4、样条插值许多工程技术中提出的计算问题对插值函数的光滑性有较高要求，如飞机的机翼外形，内燃机的进、排气门的凸轮曲线，都要求曲线具有较高的光滑程度，不仅要连续，而且要有连续的曲率，即二阶导数连续。这就导致了样条插值的产生。4.1三次样条插值利用样条函数进行插值，即取插值函数为样条函数，称为样条插值。例如，分段线性插值是一次样条插值。下面只介绍三次样条插值，即已知函数)(xfy在区间],[ba上的1n个节点bxxxan10上的值),,1,0)((nixfyii，求插值函数)(xS，使得（1）).,1,0()(niyxSii；（2）在每个小区间)1,,1,0](,[1njxxjj上)(xS是三次多项式，记为)(xSj；（3）)(xS在],[ba上二阶连续可微，则函数)(xS称为)(xf的三次样条插值函数。可以证明，在一定的边条件下，三次样条插值问题的解是存在唯一的。下面讨论三次样条插值函数的求法。由于)(xS在每个小区间上都是三次多项式，故共有n4个参数。为简化计算，取节点上的导数值或二阶导数值为参数，来导出三次样条插值函数的表达式。4.2以节点处的二阶导数值为参数的三次样条插值函数设),,1,0()(niMxSii。因为在小区间],[1jjxx上)()(xSxSj是三次多项式，故)(xSj为线性函数，由Lagrange插值公式得jjjjjjjhxxMhxxMxS11)(（4-1）其中jjjxxh1。将上式积分两次，并代入插值条件11)(,)(jjjijjyxSyxS，得)1,,1,0(666)(6)()(122113131njhxxhMyhxxhMyhxxMhxxMxSjjjjijjjjjjjjjjjj（4-2）求导得)1,,1,0()(6)(2)(26161)(2)(2)(11212122112121