高等数学-(上)

书名：高等数学（上）ISBN：978-7-111-30309-1作者：陶金瑞出版社：机械工业出版社本书配有电子课件高等数学（上）高职高专ppt课件第二章导数与微分学习目标：1、理解导数与微分概念的意义；2、能熟练计算初等函数的导数与微分。高等数学（上）高职高专ppt课件导数的概念求导法则和基本求导公式函数的微分隐函数和由参数方程所确定函数的导数高阶导数主要内容高等数学（上）高职高专ppt课件M0MO0sss图2-1一、两个实例1．变速直线运动的瞬时速度21()2sftgt自由落体运动:第一节导数的概念00()()sfttft2012gttgt第二步：求ts012svgtgtt第三步：求0limtst000001()limlim2ttsvtgtgtgtt第一步：求s高等数学（上）高职高专ppt课件0MMT图2-2在曲线上任取不同于M0点的一点M，作割线M0M.当点M沿着曲线移动并趋于M0点时，割线就以点M0为轴转动，割线M0M的极限位置M0T就叫做曲线在点M0处的切线，点M0叫做切点。曲线切线的定义高等数学（上）高职高专ppt课件第一步：求yx0limxyx00()()yfxxfxxxfxxfxykMM)()(000xxfxxfxykkxxMMx)()(limlimlim000000y第二步：求第三步：求切线斜率的求法高等数学（上）高职高专ppt课件二、导数的定义)(xf设函数在点及其近旁有定义，当自变量0x有增量x时，函数有相应的增量)()(00xfxxfy当0x时，若xy的极限存在，则极限值就称为函数)(xf在点0x的导数，并称函数)(xf在点0x导数），记为0xxy，即00limxxxyyxxxfxxfx)()(lim000也可记为0()fx或0)(xxxfdxd.可导（或有=0xxdydx或高等数学（上）高职高专ppt课件22(2)(2)(2)2yfxfx24()xx解（1）求函数改变量（2）求xxxxxy442（3）当x时，求xy的极限：00limlim(4)4xxyxx所以，(2)4f0例1求在点处的导数2)(xxfy2x高等数学（上）高职高专ppt课件注意:xy()yfx00[,]xxx是函数00[,]xxx（1）在区间或上的平均变化率；而0xxy则是函数()fx在点0x的变化率，它反映了函数随自变量变化的快慢程度.（2）如果极限0limxyx不存在，则称()fx在点0x不可导；如果不可导的原因是当0x时yx所引起的，则称函数()fx在点0x的导数为无穷大.高等数学（上）高职高专ppt课件三、函数的可导性与连续性的关系例如：函数()fxx在点0x处连续但不可导，又如32yx在点0x处连续但不可导.定理注意：一个函数在某点连续，但在该点函数不一定可导.)(xf如果函数在点处可导,则它一定在点处连续.0x0x高等数学（上）高职高专ppt课件四、函数在区间内可导的概念()yfx(,)ab()yfx如果函数在区间内的每一点都可导，则称函数在区间(,)ab内可导.这时，对于区间(,)ab内的每一个确定的x值，都有唯一的导数值()fx与之对应，即0()()()limxfxxfxfxx所以()fx也是的函数，称作()fx在(,)ab导函数，记作y()fxdxdydxxdf)(或x内的,.,说明)(xf在点的导数值就是导函数在点的函数值，即：0x0x)(0xf)(xf0)()(0xxxfxf已知2yx，求y与2xy.例22222yxxxxxxxy2xx=xxxxyxx22limlim00222;224xyxxy解：所以：导函数也简称导数.求一个函数的导数运算称为微分法.说明五、求导数举例例3求常值函数的导数.解：,所以也就是说，常数的导数等于零，即yC0,0yyCCx00limlim00.xxyyx例3求常值函数的导数.解：所以也就是说，常数的导数等于零，即()0C可以推广到nR的情形，即有以下公式Rxx11()nnxnx()nyxnZ例4求幂函数的导数.(过程略)()1x112211()()22xxxx22111xxxx幂函数求导举例例5求正弦函数的导数.解(1)计算函数增量，(2)算比值sinyx2sin)2cos(2sin)sin(xxxxxxyxy例5求正弦函数的导数.解(1)计算函数增量(2)算比值22sin2cos2sin)2cos(2xxxxxxxx0limxyyxxxxxxxxcos22sinlim2coslim00(sin)cosxx（3）取极限由此可得同理(cos)sinxxlog(0,1)ayxaalog()logaayxxxloglog1aaxxxxx例6求对数函数的导数.解xxaaxxxxxxxy1log11logaxexxxxxyyaxxxxln1log11log1limlim00由此得到axxaln1logxx1ln特别地xyexxxeeyxeexeexyxxxxx1例7求指数函数的导数.解利用极限，得xxxxxexeexyy100limlim由此得到xxee11lim0tett推广：对于一般的指数函数,有导数公式：1,0lnaaaaaxx六、左导数和右导数00000limlimxxfxxfxyfxxx00000limlimxxfxxfxyfxxxAxfxfAxf000左导数：右导数：结论：21()1xxfxxx已知，因为()(1)fxf，所以(1)f不存在.(1)f判断是否存在？解：0011(1)limlimxxfxfyfxx22011lim2xxx0011(1)limlimxxfxfyfxxxxx22011lim11lim0x例七、导数的物理意义与几何意义曲线在某点处的切线斜率变速直线运动的瞬时速度几何意义物理意义()yfx00(,())Mxfx0()kfx曲线在点则曲线在点00(,())Mxfx处的切线方程为：000()()()yfxfxxx法线方程为0001()()()yfxxxfx的切线斜率(sin)cosstt例8一物体做直线运动，其运动规律为sinst，求该物体在任意时刻t的速度()vt及3t时的瞬时速度.()cosvtt解：所以，该物体在任意时刻的速度在3t时的瞬时速度为31()cos332tvs例9求曲线3yx在M的切线方程和法线方程：（1）(1,1)M；（2）(0,0)M.32()3yxx(,)xy解是曲线上任意点处的切线斜率（1）在点(1,1)M处，因为1x，所以切线斜率为31321xy根据直线方程的点斜式，得13(1)yx整理得切线方程为32yx法线方程为11(1)3yx整理得1433yxk=（2）在点(0,0)M处，切线斜率为0k，所以切线方程为0y，即x轴；法线方程为0x即y轴.第二节求导法则和基本求导公式(),()uuxvvxxvuvu设vuvuvu2vvuvuvu1.2.3.一、函数四则运算的求导法则都是的可导函数，则1．1212()nnuuuuuunZ；2．vCCv（C为常数）；3．wuvwvuvwuuvw；4．2vvCvC（C为常数）.推论例1求下列函数的导数：532sin4cos8yxxx21lnyxx4523xxy123xy（1）（2）（3）（4）解(1)(2)5(3)(2sin)(4cos)(8)yxxx53()2(sin)4(cos)0xxxxxxsin4cos2154(1)解(3)；(4)2444452523523523xxxxxxxy24424345245652203523xxxxxx23223316)1()1(2xxxxy(3)(4)xxyln)12())(ln12(xxxxxx1)12(ln12xx12ln2(2)例2设，求.2211)1()(xxxf)1(),1(ff4)1(,4)1(ff例2设，求。解所以2211)1()(xxxf2211)1(xx3332222222221112xxxxxxxxxx解：所以（2）2cos1seccoscosxyxxx2sintanseccosxxxx例3求下列函数的导数（1）xytan；（2）xysecxxxxxxxxy2coscossincossincossintanxxxx2222seccossincos2tansecxxxx2csccot因此xxxsectansecxxxcotcsccsc因此解（1）例4设xxxy2sincossin，求4xy.解因为xxxxxycscsec212sincossin，所以xxxxxxycotcsctansec21cscsec21，04cot4csc4tan4sec214xy在求导时先对函数变形再求导，有时可简化运算过程.(1,1)2231xxyx解因为,13113222xxxxxy所以3232223230131xxxxxxy,11xy例5：求曲线在点处的切线方程和法线方程。(1,1)),1(1)1(xy02yx(1,1)),1(1)1(xy0yx于是曲线在点的切线方程是即曲线在点的法线方程是即二、复合函数求导法则引例:cos2yx求函数的导数(cos)sincos2sin2xxxxxy2cos注意：x而是的复合函数。不是基本初等函数，分析?复合函数求导法则:)(xux)(ufy如果函数在点处可导，函数)(xu点处也可导，则复合函数在点可[()]yfxx[()]()()yfxfux也可写成xuxyyudydydudxdudx或在对应导，且注:复合函数求导法又称为链锁法则，它可以推广到多个