《神奇的矩阵——第二季》-(修改版-2.1)

题目：《神奇的矩阵——第二季》(修改版2.1)学校：哈尔滨工程大学姓名：黎文科联系方式：QQ群：53937814联系方式：[e-mail]............................................................................................................................................2 前言......................................................................................................................................................3 绪论......................................................................................................................................................4 1从坐标系谈起......................................................................................................................................8 2内积与范数的深入理解....................................................................................................................15 3特征值为什么特征............................................................................................................................24 4爱上积分变换....................................................................................................................................28 5水煮奇异值分解................................................................................................................................46 6我对数学的理解................................................................................................................................60 3前言神奇的矩阵在整理孟岩老师的《理解矩阵》和任广千、胡翠芳老师的《线性代数的几何意义》的基础上加入了自己的一些感悟和理解，分别对矩阵的乘法，等价，相似、对角化等做出了进一步的讨论。当时的读者对象是我的一些准备考研的同学。因此，内容也仅仅针对考研，面也比较窄。其实，矩阵的神奇之处还有很多。因此，神奇的矩阵第二季面向的对象就是研究生和工程技术人员，对于矩阵的概念挖掘也更深入。矩阵的理论在工程中的应用也是相当广泛。穷其一生，也讲不完矩阵的故事。这有点令人沮丧，但更让人着迷！因为，它就像一首耐听的歌曲，每次聆听都会给你不同的感觉，这也是矩阵深深吸引我的地方。本文的大部分内容取材于DavidC.Lay的《线性代数及其应用》、网络博客、维基百科、张贤达老师的《矩阵分析与应用》。由于线性代数大家都学过，没有秘密可言。数学的好经验应该大家共享，我们自己也是这么学来的。作者愿意公开本文的电子文档。文中重要的内容处采用楷体加粗，以示区分。版权声明如下：（1）读者可以任意拷贝、修改本书的内容，但不可以篡改作者及所属单位。（2）未经作者许可，不得出版或大量印发本文。（3）如果你有好的修改建议，或者也写了一些心得体会，欢迎联系我，与大家共享。由于本人水平有限，错误在所难免，欢迎读者对本文提出批评建议。相信每一次的思考，不管对错，都能对你的理解做出贡献。希望这篇拙作能起到抛砖引玉的作用。谨以此文献给我的母校哈尔滨工程大学，作为一份建校六十周年的纪念！——作者2013年9月于哈尔滨4绪论线性代数有什么用？这是每一个圈养在象牙塔里，在灌输式教学模式下的“被学习”的学生刚刚开始思考时的第一个问题。我稍微仔细的整理了一下学习线代的理由，竟然也罗列了不少，不知道能不能说服你：1、如果你想顺利地拿到学位，线性代数的学分对你有帮助；2、如果你想继续深造，考研，必须学好线代。因为它是必考的数学科目，也是研究生科目《矩阵论》、《泛函分析》的基础。例如，泛函分析的起点就是无穷多个未知量的无穷多线性方程组理论。3、如果你想提高自己的科研能力，不被现代科技发展潮流所抛弃，也必须学好，因为瑞典的L.戈丁说过，没有掌握线代的人简直就是文盲。他在自己的数学名著《数学概观》中说：要是没有线性代数，任何数学和初等教程都讲不下去。按照现行的国际标准，线性代数是通过公理化来表述的。它是第二代数学模型，其根源来自于欧几里得几何、解析几何以及线性方程组理论。…，如果不熟悉线性代数的概念，像线性性质、向量、线性空间、矩阵等等，要去学习自然科学，现在看来就和文盲差不多，甚至可能学习社会科学也是如此。4、如果毕业后想找个好工作，也必须学好线代：想搞数学，当个数学家（我去，这个还需要列出来，谁不知道线代是数学）。恭喜你，你的职业未来将是昀光明的。如果到美国打工的话你可以找到昀好的职业。想搞电子工程，好，电路分析、线性信号系统分析、数字滤波器分析设计等需要线代，因为线代就是研究线性网络的主要工具；进行IC集成电路设计时，对付数百万个集体管的仿真软件就需要依赖线性方程组的方法；想搞光电及射频工程，好，电磁场、光波导分析都是向量场的分析，比如光调制器分析研制需要张量矩阵，手机信号处理等等也离不开矩阵运算。想搞软件工程，好，3D游戏的数学基础就是以图形的矩阵运算为基础；当然，如果你只想玩3D游戏可以不必掌握线代；想搞图像处理，大量的图像数据处理更离不开矩阵这个强大的工具，《阿凡达》中大量的后期电脑制作没有线代的数学工具简直难以想象。5想搞经济研究。好，知道列昂惕夫（WassilyLeontief）吗？哈佛大学教授，1949年用计算机计算出了由美国统计局的25万条经济数据所组成的42个未知数的42个方程的方程组，他打开了研究经济数学模型的新时代的大门。这些模型通常都是线性的，也就是说，它们是用线性方程组来描述的，被称为列昂惕夫“投入-产出”模型。列昂惕夫因此获得了1973年的诺贝尔经济学奖。相当领导，好，要会运筹学，运筹学的一个重要议题是线性规划。许多重要的管理决策是在线性规划模型的基础上做出的。线性规划的知识就是线代的知识啊。比如，航空运输业就使用线性规划来调度航班，监视飞行及机场的维护运作等；又如，你作为一个大商场的老板，线性规划可以帮助你合理的安排各种商品的进货，以达到昀大利润。对于其他工程领域，没有用不上线代的地方。如搞建筑工程，那么奥运场馆鸟巢的受力分析需要线代的工具；石油勘探，勘探设备获得的大量数据所满足的几千个方程组需要你的线代知识来解决；飞行器设计，就要研究飞机表面的气流的过程包含反复求解大型的线性方程组，在这个求解的过程中，有两个矩阵运算的技巧：对稀疏矩阵进行分块处理和进行LU分解；作餐饮业，对于构造一份有营养的减肥食谱也需要解线性方程组；知道有限元方法吗？这个工程分析中十分有效的有限元方法，其基础就是求解线性方程组。知道马尔科夫链吗？这个“链子”神通广大，在许多学科如生物学、商业、化学、工程学及物理学等领域中被用来做数学模型，实际上马尔科夫链是由一个随机变量矩阵所决定的一个概率向量序列，看看，矩阵、向量又出现了。另外，矩阵的特征值和特征向量可以用在研究物理、化学领域的微分方程、连续的或离散的动力系统中，比如结构动力学、刚体动力学、振动力学等，而且不论是机械振动还是振荡电路，只要有振动的地方就有求矩阵的特征值和特征向量的问题。甚至数学生态学家用以在预测原始森林遭到何种程度的砍伐会造成猫头鹰的种群灭亡；大名鼎鼎的昀小二乘算法广泛应用在各个工程领域里被用来把实验中得到的大量测量数据来拟合到一个理想的直线或曲线上，昀小二乘拟合算法实质就是超定线性方程组的求解；计算机人脸识别中也应用到矩阵的特征值和特征向量。6二次型常常出现在线性代数在工程（标准设计及优化）和信号处理（输出的噪声功率）的应用中，他们也常常出现在物理学（例如势能和动能）、微分几何（例如曲面的法曲率）、经济学（例如效用函数）和统计学（例如置信椭圆体）中，某些这类应用实例的数学背景很容易转化为对对称矩阵的研究。嘿嘿（脸红），说实在的，我也没有足够经验讲清楚线代在各个工程领域中的应用，只能大概人云亦云地讲述以上线代的一些基本应用。因为你如果要真正的讲清楚线代的一个应用，就必须充分了解所要应用的领域内的知识，昀好有实际的工程应用的经验在里面；况且线性代数在各个工程领域中的应用真是太多了，要知道当今成为一个工程通才只是一个传说。总结一下，线性代数的应用领域几乎可以涵盖所有的工程技术领域。如果想知道更详细的应用材料，建议看一下《线性代数及应用》，这是美国DavidC.Lay教授写的迄今昀现代的流行教材。或者国内的可以看一看张贤达的《矩阵分析与应用》。当然，如果你是在校学生，我很遗憾的告诉你，这篇文章并不能帮助你通过考试。这篇文章和之前的《神奇的矩阵》里面所讲的，都不是考试所考的。曾经和同学交流写这些东西有没有意义，我的观点是这些是教育的缺失，应该补回来。同学的观点是这些是被教育遗弃的东西：考试不考，怎么会有用？我竟无言以对。或许，当下的教育环境和评价中，一份历年考题远远比知识本身更重要。想想你身边的同学，是不是平时不上课，只要考试前一周突击复习一下就能取得满意的成绩？因此，大学其实只要一年就够了：老师给划一下范围，做几套历年考题，考试就能通过了。甚至有些同学只要几个月就足够了，我身边就有这样的例子。说这些并没有别的意思，只是不想误导你的学习方向。希望你清楚，对于考试，做一套历年考题比读本篇文章重要得多。由于矩阵的知识太多，我怕文章写太长了你就没兴趣看了。因此对本文做一个总体的概括。本文主要包括以下内容：第一章介绍两部分内容：1、重新认识一下基和坐标，你会见到各种各样不同形式的基底，以及线性代数的思想如何延伸到函数理论之中。72、神奇的矩阵中介绍的矩阵是对向量运动的描述。第二季将简单回顾一下，并介绍矩阵对坐标系运动的描述。这在数字图像处理和计算机图形学中应用广泛。想想你每天在Word或者PPT中拉伸旋转图像，其背后都是矩阵运算。第二章介绍两部分内容：1、首先介绍距离这个概念，学术的名词也称作范数(norm)。距离这个概念是微积分的基石，有了矩阵之间距离，微积分中的所有东西都可以推广到矩阵论里面，这在你以后的科研工作以及学习中至关重要。2、内积是一个很重要的运算。它的运算本质就是乘积求和。我们会见到各种各样的内积形式，昀后会介绍一些内积的应用。第三章介绍两部分内容：1、这一章我们介绍特征值的概念。或许你对它再熟悉不过了，不过可能仅仅局限在矩阵对角化这里。我们会看到其他课程中这种各样的“特征”，以及他们共通的思想。2、各种各样的方程及其求解无疑是非常重要的内容，因为本文主要写矩阵，线性方程就自然是我们讨论的对象。在这里，你会看到线