平面向量的线性运算

平面向量的线性运算——向量的加法运算台北香港上海从运动的合成看向量运算在大陆和台湾没有直航之前，台湾同胞要到上海探亲，得乘飞机要先从台北到香港，再从香港到上海，那么这两次位移之和是什么？ABC位移ABBCAC+=abo·ABC力的合成可以看作向量加法的平行四边形法则的物理模型baba求作向量已知向量,,CA·BbaACbBCaABA则向量作在平面内任取一点作法：,..21向量加法法则ababbaba位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型baOCbOBaOAO则向量作在平面内任取一点作法：,..21向量加法法则总结与拓展向量加法的三角形法则:1.将向量平移使得它们首尾相连2.和向量即是第一个向量的首指向第二个向量的尾向量加法的平行四边形法则:1.将向量平移到同一起点2.和向量即以它们作为邻边平行四边形的共起点的对角线三角形法则推广为多边形法则：多个向量相加，如：ABBCCDDEEFAF，这时也必须“首尾相连”.探究一：当向量共线时，如何相加？ACab=+ABC(1)同向(2)反向ababABCACab=+aaa00规定：探究点一已知向量作和向量如图，已知向量a，b，c，求作和向量a＋b＋c.[解]法一：可先作a＋c，再作(a＋c)＋b，即a＋b＋c.如图，首先在平面内任取一点O，作向量OA→＝a，接着作向量AB→＝c，则得向量OB→＝a＋c，然后作向量BC→＝b，则向量OC→＝a＋b＋c为所求．法二：三个向量不共线，用平行四边形法则来作．如图，(1)在平面内任取一点O，作OA→＝a，OB→＝b；(2)作平行四边形AOBC，则OC→＝a＋b；(3)再作向量OD→＝c；(4)作平行四边形CODE，则OE→＝OC→＋c＝a＋b＋c.即OE→即为所求．探究二：向量的加法是否具备交换律和结合律？数的加法满足交换律与结合律，即对任意a，b∈R，有a+b=b+a，(a+b)+c=a+(b+c)向量的加法具备吗？你能否画图解释？abba()abcabc(+)+向量加法满足交换律和结合律：以上两个运算律可以推广到任意多个向量.探究点二向量的加法运算化简：(1)BC→＋AB→；(2)DB→＋CD→＋BC→；(3)AB→＋DF→＋CD→＋BC→＋FA→.[解](1)BC→＋AB→＝AB→＋BC→＝AC→.(2)DB→＋CD→＋BC→＝BC→＋CD→＋DB→＝(BC→＋CD→)＋DB→＝BD→＋DB→＝0.(3)AB→＋DF→＋CD→＋BC→＋FA→＝AB→＋BC→＋CD→＋DF→＋FA→＝AC→＋CD→＋DF→＋FA→＝AD→＋DF→＋FA→＝AF→＋FA→＝0.向量运算中化简的两种方法(1)代数法：借助向量加法的交换律和结合律，将向量转化为“首尾相接”，向量的和即为第一个向量的起点指向最后一个向量终点的向量．(2)几何法：通过作图，根据“三角形法则”或“平行四边形法则”化简.探究点三向量加法的应用某人在静水中游泳，速度为43千米/小时，他在水流速度为4千米/小时的河中游泳．若他垂直游向河对岸，则他实际沿什么方向前进？实际前进的速度大小为多少？[解]如图，设此人游泳的速度为OB→，水流的速度为OA→，以OA→，OB→为邻边作▱OACB，则此人的实际速度为OA→＋OB→＝OC→.由勾股定理知|OC→|＝8，且在Rt△ACO中，∠COA＝60°，故此人沿与河岸成60°的夹角顺着水流的方向前进，速度大小为8千米/小时．3.如图所示，在某次抗震救灾中，一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800km到达B地接到受伤人员，然后又从B地按南偏东55°的方向飞行800km送往C地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和．解：设AB→，BC→分别表示飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800km，从B地按南偏东55°的方向飞行800km，则飞机飞行的路程指的是|AB→|＋|BC→|；两次飞行的位移的和指的是AB→＋BC→＝AC→.依题意有|AB→|＋|BC→|＝800＋800＝1600(km)，又α＝35°，β＝55°，∠ABC＝35°＋55°＝90°，所以|AC→|＝|AB→|2＋|BC→|2＝8002＋8002＝8002(km)，其中∠BAC＝45°，所以方向为北偏东35°＋45°＝80°，从而飞机飞行的路程是1600km，两次飞行的位移和的大小为8002km，方向为北偏东80°.平面向量的线性运算——向量的减法运算相等1．相反向量(1)定义：与a长度___________，方向___________的向量，记作___________，并且规定，零向量的相反向量是___________．(2)结论①－(－a)＝___________，a＋(－a)＝(－a)＋a＝___________．②若a与b互为相反向量，则a＝___________，b＝___________，a＋b＝__________．相反－a－ba0－a0零向量2．向量的减法(1)定义：a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的___________．(2)几何意义：已知a，b，在平面内任取一点O，作OA→＝a，OB→＝b，则BA→＝a－b，即a－b可以表示为___________________指向___________________的向量．相反向量从向量b的终点向量a的终点向量减法法则要点:1.平移到同一起点；2.指向被减向量.abb)(babaabABOababbaabABOab.,,,baBAbOBaOAO则作点作法：在平面内任取一探究一：当向量共线时，如何相减？(1)同向(2)反向bababababa探究二：平行四边形法则的两条对角线ADCBabbaABADBDbaAC探究三：向量加减法与平行四边形形状？互相垂直？与满足什么条件时，有当非零不共线向量bababababa)()(,21菱形ba矩形ba探究点一向量的减法运算化简下列各式：(1)(AB→＋MB→)＋(－OB→－MO→)；(2)AB→－AD→－DC→.[解](1)法一：原式＝AB→＋MB→＋BO→＋OM→＝(AB→＋BO→)＋(OM→＋MB→)＝AO→＋OB→＝AB→.法二：原式＝AB→＋MB→＋BO→＋OM→＝AB→＋(MB→＋BO→)＋OM→＝AB→＋MO→＋OM→＝AB→＋0＝AB→.(2)法一：原式＝DB→－DC→＝CB→.法二：原式＝AB→－(AD→＋DC→)＝AB→－AC→＝CB→.1.化简：(1)OA→－OD→＋AD→；(2)AB→＋DA→＋BD→－BC→－CA→.解：(1)法一：OA→－OD→＋AD→＝DA→＋AD→＝0.法二：OA→－OD→＋AD→＝OA→＋AD→－OD→＝OD→－OD→＝0.(2)AB→＋DA→＋BD→－BC→－CA→＝AB→＋DA→＋BD→＋CB→＋AC→＝(AB→＋BD→)＋(AC→＋CB→)＋DA→＝AD→＋AB→＋DA→＝AD→＋DA→＋AB→＝0＋AB→＝AB→.探究点二已知向量作差向量如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c.[解]法一：如图①，在平面内任取一点O，作OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，连接BC，则CB→＝b－c.过点A作AD綊BC，连接OD，则AD→＝b－c，所以OD→＝OA→＋AD→＝a＋b－c.法二：如图②，在平面内任取一点O，作OA→＝a，AB→＝b，连接OB，则OB→＝a＋b，再作OC→＝c，连接CB，则CB→＝a＋b－c.法三：如图③，在平面内任取一点O，作OA→＝a，AB→＝b，连接OB，则OB→＝a＋b，再作CB→＝c，连接OC，则OC→＝a＋b－c.2.如图，已知向量a，b，c，求作向量a－b－c.解：在平面内任取一点O，作向量OA→＝a，OB→＝b，则向量a－b＝BA→，再作向量BC→＝c，则向量CA→＝a－b－c.探究点三用已知向量表示其他向量如图所示，四边形ACDE是平行四边形，点B是该平行四边形外一点，且AB→＝a，AC→＝b，AE→＝c，试用向量a，b，c表示向量CD→，BC→，BD→.[解]因为四边形ACDE是平行四边形，所以CD→＝AE→＝c，BC→＝AC→－AB→＝b－a，故BD→＝BC→＋CD→＝b－a＋c.本例中的条件“点B是该平行四边形外一点”若换为“点B是该平行四边形内一点”，其他条件不变，其结论又如何呢？解：如图，因为四边形ACDE是平行四边形，所以CD→＝AE→＝c，BC→＝AC→－AB→＝b－a，BD→＝BC→＋CD→＝b－a＋c.3.如图，O为平行四边形ABCD内一点，OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，则OD→＝________．解析：因为BA→＝CD→，BA→＝OA→－OB→，CD→＝OD→－OC→，所以OD→－OC→＝OA→－OB→，OD→＝OA→－OB→＋OC→，所以OD→＝a－b＋c.答案：a－b＋c求两向量的差向量，关键是把两向量平移到首首相接的位置，然后利用向量减法的三角形法则来运算．平移作两向量的差的步骤此步骤可以简记为“作平移，共起点，两尾连，指被减”.