数列极限存在条件

一单调有界原理称为单调上升的，若}{nxnxxxx321}{nx称为单调下降的，若nxxxx321单调增加和单调减少数列统称为单调数列提问:收敛的数列是否一定有界？有界的数列是否一定收敛？数列极限存在的条件第三节M•定理的几何解释x1x5x4x3x2xnA以单调增加数列为例数列的点只可能向右一个方向移动或者无限向右移动或者无限趋近于某一定点A而对有界数列只可能后者情况发生2.9().定理单调有界定理在实数系中单调数列必有极限.}{.2,,2,1,1312111收敛证明数列其中实数设例nnxnnx222,,22,221naaa(n重根号),···例2证明数列na单调有界,并求极限.例3设S为有界数集，证明：若supSaS则存在严格递增数列{}nxS使得limnnxa例4证明存在2.10{}:0,,,).(nnmxNCaucnmhyNxx定理（）数列收敛的充要条件是对任给的存在正整数使得当时有柯西收敛准则柯西收敛准则也可叙述为数列nx收敛0，NN，Nn时，Np，有npnxx。1211221225:0.(1,2,),,,101010,(),1010100,1,2,,9,1,2,nnnkbbbnbbbnbbbbk例证明任一无限十进小数的位不足近似所组成的数列满足柯西条件从而必收敛其中为中的一个数例6利用柯西收敛准则证明数列nkknkx12sin收敛。