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线性代数第一章行列式第二章矩阵及其运算第三章矩阵的初等变换及线性方程组第四章向量组的线性相关性第五章相似矩阵及二次型一、二元线性方程组与二阶行列式用消元法解二元(一次)线性方程组:第一章行列式22221211212111bxaxabxaxa(1)(2)(1)a22:a11a22x1+a12a22x2=b1a22,(2)a12:a12a21x1+a12a22x2=b2a12,两式相减消去x2,得(a11a22–a12a21)x1=b1a22–b2a12;§1.1二阶与三阶行列式;212221121122211baabxaaaa）（，得类似地，消去1x,211211221122211abbaxaaaa）（时，当021122211aaaa方程组的解为，211222112122211aaaabaabx）（3.211222112112112aaaaabbax由方程组的四个系数确定.由四个数排成二行二列（横为行、竖为列）的数表)4(22211211aaaa定义)5(42221121121122211aaaaaaaa行列式，并记作）所确定的二阶称为数表（表达式即.2112221122211211aaaaaaaaD11a12a22a12a主对角线副对角线对角线法则2211aa.2112aa二阶行列式的计算若记,22211211aaaaD.,22221211212111bxaxabxaxa对于二元线性方程组系数行列式.,22221211212111bxaxabxaxa,22211211aaaaD.,22221211212111bxaxabxaxa,2221211ababD.,22221211212111bxaxabxaxa,22211211aaaaD.,22221211212111bxaxabxaxa,2221211ababD.,22221211212111bxaxabxaxa.2211112babaD则二元线性方程组的解为,2221121122212111aaaaababDDx.2221121122111122aaaababaDDx例1.12,12232121xxxx求解二元线性方程组解1223D)4(3,07112121D,14121232D,21DDx11,2714DDx22.3721二、三阶行列式定义333231232221131211)5(339aaaaaaaaa列的数表行个数排成设有记,312213332112322311322113312312332211)6(aaaaaaaaaaaaaaaaaa333231232221131211aaaaaaaaa（6）式称为数表（5）所确定的三阶行列式.323122211211aaaaaa.312213332112322311aaaaaaaaa(1)沙路法三阶行列式的计算322113312312332211aaaaaaaaaD333231232221131211aaaaaaaaaD.列标行标333231232221131211aaaaaaaaaD333231232221131211aaaaaaaaa332211aaa.322311aaa(2)对角线法则注意红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号．说明1对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．322113aaa312312aaa312213aaa332112aaa如果三元线性方程组;,,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa的系数行列式333231232221131211aaaaaaaaaD,0利用三阶行列式求解三元线性方程组2.三阶行列式包括3!项,每一项都是位于不同行,不同列的三个元素的乘积,其中三项为正,三项为负.;,,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa,3332323222131211aabaabaabD若记333231232221131211aaaaaaaaaD或121bbb;,,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa,3332323222131211aabaabaabD记,3332323222131211aabaabaabD即;,,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa333231232221131211aaaaaaaaaD;,,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa,3333123221131112abaabaabaD得;,,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa333231232221131211aaaaaaaaaD;,,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa,3333123221131112abaabaabaD得;,,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa.3323122221112113baabaabaaD,3333123221131112abaabaabaD.3323122221112113baabaabaaD则三元线性方程组的解为:,11DDx,22DDx.33DDx333231232221131211aaaaaaaaaD,3332323222131211aabaabaabD2-43-122-4-21D计算三阶行列式例２解按对角线法则，有D4)2()4()3(12)2(21)3(2)4()2()2(241124843264.14.094321112xx求解方程例3解方程左端1229184322xxxxD,652xx解得由052xx3.2xx或例4解线性方程组.0,132,22321321321xxxxxxxxx解由于方程组的系数行列式111312121D1111321211111221315,0同理可得1103111221D,51013121212D,100111122213D,5故方程组的解为:,111DDx,222DDx.133DDx二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方程组引入的.对角线法则二阶与三阶行列式的计算.2112221122211211aaaaaaaa,312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa333231232221131211aaaaaaaaa三、小结思考题使求一个二次多项式,xf.283,32,01fff思考题解答解设所求的二次多项式为,2cbxaxxf由题意得,01cbaf,3242cbaf,28393cbaf得一个关于未知数的线性方程组,cba,,又,020D.20,60,40321DDD得,21DDa,32DDb13DDc故所求多项式为.1322xxxf§1.2全排列及其逆序数引例:用1,2,3三个数字,可以组成多少个没有重复数字的三位数？这是一个大家熟知的问题,答案是:3!=6.将此问题推广:把n个不同的元素按先后次序排成一列,共有多少种不同的排法.定义:把n个不同的元素排成一列,叫做这n个元素的全排列(或排列).n个不同的元素的所有排列的种数,通常用Pn表示,称为排列数.Pn=n(n–1)(n–2)···21=n!一、全排列二、排列的逆序数定义:在一个排列i1i2···is···it···in中,若数isit,则称这两个数组成一个逆序.例如:排列32514中,我们规定各元素之间有一个标准次序.以n个不同的自然数为例,规定由小到大为标准次序.32514逆序逆序逆序定义:一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数.前面的数比后面的数大32514逆序数为31010故此排列的逆序数为:3+1+0+1+0=0+1+0+3+1=5.例如:排列32514中,计算排列逆序数的方法逆序数为奇数的排列称为奇排列;逆序数为偶数的排列称为偶排列.方法1:分别计算出排在1,2,···,n前面比它大的数码的个数并求和,即先分别算出1,2,···,n这n个元素的逆序数,则所有元素的逆序数的总和即为所求排列的逆序数.方法2:依次计算出排列中每个元素前面比它大的数码的个数并求和,即算出排列中每个元素的逆序数,则所有元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数.方法3:依次计算出排列中每个元素后面比它小的数码的个数并求和,即算出排列中每个元素的逆序数,则所有元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数.例1:求排列32514的逆序数.解:在排列32514中,3排在首位,则3的逆序为0;2的前面比2大的数只有一个3,故2的逆序为1;3251401031没有比5大的数,故其逆序为0;个,故其逆序为3;4的前面比4大的数有1个,故逆序为1.5的前面1的前面比1大的数有3即于是排列32514的逆序数为t=0+1+0+3+1=5.解:此排列为偶排列.例2:计算下列排列的逆序数,并讨论其奇偶性.(1)217986354.217986354010013445于是排列217986354的逆序数为:t=0+1+0+0+1+3+4+4+5=18.(2)n(n–1)(n–2)···21解:n(n–1)(n–2)···21012(n–1)(n–2),21nnt=0+1+2+···+(n–2)+(n–1)于是排列n(n–1)(n–2)···21的逆序数为:此排列当n=4k,4k+1时为偶排列;当n=4k+2,4k+3时为奇排列.(3)(2k)1(2k–1)2(2k–2)3(2k–3)···(k–1)(k+1)k.(2k)1(2k–1)2(2k–2)3(2k–3)···(k–1)(k+1)k解:0121233(k–1)(k–1)kt=0+1+1+2+2+···+(k–1)+(k–1)+k于是排列(2k)1(2k–1)2(2k–2)···(k–1)(k+1)k的逆序数为:.2122kkkk此排列当k为偶数时为偶排列,当k为奇数时为奇排列.1.n个不同的元素的所有排列种数为n!个;2.排列具有奇偶性;3.计算排列逆序数常用的方法.三、小结§1.3n阶行列式的定义333231232221131211aaaaaaaaaD322113312312332211aaaaaaaaa332112322311312213aaaaaaaaa一、概念的引入三阶行列式说明(1)三阶行列式共有6项,即3!项.说明(2)每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积.说明(3)每项的正负号都取决于位于不同行不同列的三个元素的列标排列的逆序数(行标为标准排列).例如a13a21a32,将行下标标准排列,列