勾股定理在折叠问题中的应用

勾股定理在折叠问题中的应用正直中学杜梅直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方abc22abc2那么勾股定理在直角三角形、长方形等图形中折叠问题又如何运用呢？BCA在Rt△ABC中，∠C=90°.（1）若a=3,b=4，则c=；（2）若c=13,a:b=5:12，则a=,b=；发挥你的想象力直角三角形、长方形可以怎样折叠，要求折叠一次，给出两个已知条件，提出问题，并解答问题。BADCCEFEFDACBFEDCBACBADE例1：如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm,现将直角边沿直线AD折叠，使点C落在斜边AB上的点E，求CD的长.CBADE66直角三角形中的折叠8xx(8-x)4？解：在Rt△ABC中AC=6cm，BC=8cm根据勾股定理得AB=10cm设CD＝DE＝xcm，则BD＝（8-x）cm由折叠可知AE＝AC＝6cm，CD＝DE,∠C=∠AED=90°解得x＝3∴CD=DE=3cm∴BE＝10-6＝4cm,∠BED=90°在Rt△BDE中由勾股定理可得（8-x）2＝x2+42CBADE66例1XX4(8-X)8解题步骤1、标已知，标问题，明确目标在哪个直角三角形中，设适当的未知数x。2、利用折叠，找全等。3、将已知边和未知边（用含x的代数式表示）转化到同一直角三角形中表示出来。4、利用勾股定理，列出方程，解方程，得解。ACB如图，小红同学折叠一个直角三角形的纸片，使A与C重合，折痕为DE，若已知AB=8，BC=6,你能求出BE的长吗？DE68x8-x8-xX2+62=(8-x)2X=1.75例2：如图，折叠长方形的一边AD，点D落在BC边的点F处，AE为折痕。已知AB=CD=8cm，BC=AD=10cm，求EC的长。ABCDFE810106x48-x心得：先标等量，再构造方程。折叠问题中构造方程的方法.把条件集中到一个Rt△中，根据勾股定理得方程。解：根据折叠可知，△AFE≌△ADE，∴AF=AD=10cm，EF=ED，AB=8cm，EF＋EC=DC=8cm，∴在Rt△ABF中FC=BC-BF=4cm设EC=xcm,则EF=DC－EC=(8－x)cm在Rt△EFC中，根据勾股定理得EC²+FC²=EF²即x²＋4²=（8－x）²，x=3cm，∴EC的长为3cm。长方形中的折叠10如图，在矩形ABCD中，BC=8，CD=4，将矩形沿BD折叠，点A落在A′处，求重叠部分△BFD的面积。ABCDFA′48x8-x8-x解：42+x2=(8-x)2X=3S△BFD=5×4÷2=108-X=5351、标已知；2、找相等；3、设未知，利用勾股定理，列方程；4、解方程，得解。如图,把长方形纸片ABCD折叠,使顶点A与顶点C重合在一起,EF为折痕。AB=9,BC=3,试求以折痕EF为边长的正方形面积。ABCDGFEH93x9-x9-xx2+32=(9-x)2x=49-x=5解：5541310