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1概率论与数理统计习题及答案习题习题习题习题一一一一1． 略.见教材习题参考答案.2.设A，B，C为三个事件，试用A，B，C的运算关系式表示下列事件： （1）A发生，B，C都不发生；（2）A与B发生，C不发生； （3）A，B，C都发生；（4）A，B，C至少有一个发生； （5）A，B，C都不发生；（6）A，B，C不都发生； （7）A，B，C至多有2个发生；（8）A，B，C至少有2个发生. 【解】（1）A（2）AB（3）ABCBCC（4）A∪B∪C=C∪B∪A∪BC∪AC∪AB∪ABC=ABACBCABCABC(5)=(6)ABCABC∪∪ABC(7)BC∪AC∪AB∪C∪A∪B∪==∪∪ABCABBCACABCABCABC(8)AB∪BC∪CA=AB∪AC∪BC∪ABCCBA3. 略.见教材习题参考答案 4.设A，B为随机事件，且P（A）=0.7,P(A−B)=0.3，求P（）. AB【解】P（）=1−P（AB）=1−[P(A)−P(A−B)]AB=1−[0.7−0.3]=0.65.设A，B是两事件，且P（A）=0.6,P(B)=0.7,求： （1）在什么条件下P（AB）取到最大值？ （2）在什么条件下P（AB）取到最小值？ 【解】（1）当AB=A时，P（AB）取到最大值为0.6.（2）当A∪B=Ω时，P（AB）取到最小值为0.3.6.设A，B，C为三事件，且P（A）=P（B）=1/4，P（C）=1/3且P（AB）=P（BC）=0， P（AC）=1/12，求A，B，C至少有一事件发生的概率. 【解】P（A∪B∪C）=P(A)+P(B)+P(C)−P(AB)−P(BC)−P(AC)+P(ABC)2=++−=141413112347. 从52张扑克牌中任意取出13张，问有5张黑桃，3张红心，3张方块，2张梅花的概率是多少？【解】p=5332131313131352CCCC/C8. 对一个五人学习小组考虑生日问题：（1）求五个人的生日都在星期日的概率；（2）求五个人的生日都不在星期日的概率；（3）求五个人的生日不都在星期日的概率.【解】（1）设A1={五个人的生日都在星期日}，基本事件总数为75，有利事件仅1个，故P（A1）==（）5（亦可用独立性求解，下同）51717（2）设A2={五个人生日都不在星期日}，有利事件数为65，故P（A2）==()5556767(3)设A3={五个人的生日不都在星期日}P（A3）=1−P(A1)=1−()5179. 略.见教材习题参考答案.10.一批产品共N件，其中M件正品.从中随机地取出n件（nN）.试求其中恰有m件（m≤M）正品（记为A）的概率.如果： （1）n件是同时取出的；（2）n件是无放回逐件取出的； （3）n件是有放回逐件取出的. 【解】（1）P（A）=CC/CmnmnMNMN−−(2)由于是无放回逐件取出，可用排列法计算.样本点总数有种，n次抽取中有mPnN次为正品的组合数为种.对于固定的一种正品与次品的抽取次序，从M件正Cmn品中取m件的排列数有种，从N−M件次品中取n−m件的排列数为种，PmMPnmNM−−故P（A）=CPPPmmnmnMNMnN−−由于无放回逐渐抽取也可以看成一次取出，故上述概率也可写成P（A）=CCCmnmMNMnN−−可以看出，用第二种方法简便得多.（3）由于是有放回的抽取，每次都有N种取法，故所有可能的取法总数为Nn种，n次抽取中有m次为正品的组合数为种，对于固定的一种正、次品的抽取次序，Cmn3m次取得正品，都有M种取法，共有Mm种取法，n−m次取得次品，每次都有N−M种取法，共有（N−M）n−m种取法，故()C()/mmnmnnPAMNMN−=−此题也可用贝努里概型，共做了n重贝努里试验，每次取得正品的概率为，则取得MNm件正品的概率为()C1mnmmnMMPANN−⎛⎞⎛⎞=−⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠11. 略.见教材习题参考答案.12. 50只铆钉随机地取来用在10个部件上，其中有3个铆钉强度太弱.每个部件用3只铆钉.若将3只强度太弱的铆钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱.求发生一个部件强度太弱的概率是多少？【解】设A={发生一个部件强度太弱}133103501()CC/C1960PA==13. 一个袋内装有大小相同的7个球，其中4个是白球，3个是黑球，从中一次抽取3个，计算至少有两个是白球的概率.【解】设Ai={恰有i个白球}（i=2,3），显然A2与A3互斥.213434233377CCC184(),()C35C35PAPA====故232322()()()35PAAPAPA=+=∪14. 有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.7，在两批种子中各随机取一粒，求：（1）两粒都发芽的概率；（2）至少有一粒发芽的概率；（3）恰有一粒发芽的概率.【解】设Ai={第i批种子中的一粒发芽}，（i=1,2）(1)1212()()()0.70.80.56PAAPAPA==×=(2)12()0.70.80.70.80.94PAA=+−×=∪(3)2112()0.80.30.20.70.38PAAAA=×+×=∪15. 掷一枚均匀硬币直到出现3次正面才停止.（1）问正好在第6次停止的概率；（2）问正好在第6次停止的情况下，第5次也是出现正面的概率.【解】（1）(2)223151115()()22232pC==1342111C()()22245/325p==16. 甲、乙两个篮球运动员，投篮命中率分别为0.7及0.6，每人各投了3次，求二人进球数相等的概率.4【解】设Ai={甲进i球}，i=0,1,2,3,Bi={乙进i球},i=0,1,2,3,则33312123330()(0.3)(0.4)C0.7(0.3)C0.6(0.4)iiiPAB==+××+∪22223333C(0.7)0.3C(0.6)0.4+(0.7)(0.6)×=0.3207617． 从5双不同的鞋子中任取4只，求这4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率.【解】4111152222410CCCCC131C21p=−=18. 某地某天下雪的概率为0.3，下雨的概率为0.5，既下雪又下雨的概率为0.1,求：（1）在下雨条件下下雪的概率；（2）这天下雨或下雪的概率.【解】设A={下雨}，B={下雪}.（1）()0.1()0.2()0.5PABpBAPA===（2）()()()()0.30.50.10.7pABPAPBPAB=+−=+−=∪19. 已知一个家庭有3个小孩，且其中一个为女孩，求至少有一个男孩的概率（小孩为男为女是等可能的）.【解】设A={其中一个为女孩}，B={至少有一个男孩}，样本点总数为23=8，故()6/86()()7/87PABPBAPA===或在缩减样本空间中求，此时样本点总数为7.6()7PBA=20. 已知5%的男人和0.25%的女人是色盲，现随机地挑选一人，此人恰为色盲，问此人是男人的概率（假设男人和女人各占人数的一半）.【解】设A={此人是男人}，B={此人是色盲}，则由贝叶斯公式()()()()()()()()()PAPBAPABPABPBPAPBAPAPBA==+0.50.05200.50.050.50.002521×==×+×21. 两人约定上午9∶00~10∶00在公园会面，求一人要等另一人半小时以上的概率.5题21图题22图【解】设两人到达时刻为x,y,则0≤x,y≤60.事件“一人要等另一人半小时以上”等价于|x−y|30.如图阴影部分所示.22301604P==22. 从（0，1）中随机地取两个数，求：（1）两个数之和小于的概率；65（2）两个数之积小于的概率.14【解】设两数为x,y，则0x,y1.（1）x+y.6511441725510.68125p=−==(2)xy=.141111244111ddln242xpxy⎛⎞=−=+⎜⎟⎝⎠∫∫23. 设P（）=0.3,P(B)=0.4,P(A)=0.5，求P（B｜A∪）ABB【解】()()()()()()()()PABPAPABPBABPABPAPBPAB−==+−∪∪60.70.510.70.60.54−==+−24. 在一个盒中装有15个乒乓球，其中有9个新球，在第一次比赛中任意取出3个球，比赛后放回原盒中；第二次比赛同样任意取出3个球，求第二次取出的3个球均为新球的概率.【解】设Ai={第一次取出的3个球中有i个新球}，i=0,1,2,3.B={第二次取出的3球均为新球}由全概率公式，有30()()()iiiPBPBAPA==∑33123213336996896796333333331515151515151515CCCCCCCCCCCCCCCCCC=•+•+•+•0.089=25.按以往概率论考试结果分析，努力学习的学生有90%的可能考试及格，不努力学习的学生有90%的可能考试不及格.据调查，学生中有80%的人是努力学习的，试问：（1）考试及格的学生有多大可能是不努力学习的人？（2）考试不及格的学生有多大可能是努力学习的人？【解】设A={被调查学生是努力学习的}，则={被调查学生是不努力学习的}.由题意知PA（A）=0.8，P（）=0.2，又设B={被调查学生考试及格}.由题意知P（B|A）=0.9，PA（|）=0.9，故由贝叶斯公式知BA（1）()()()()()()()()()PAPBAPABPABPBPAPBAPAPBA==+0.20.110.027020.80.90.20.137×===×+×即考试及格的学生中不努力学习的学生仅占2.702%(2)()()()()()()()()()PAPBAPABPABPBPAPBAPAPBA==+0.80.140.30770.80.10.20.913×===×+×即考试不及格的学生中努力学习的学生占30.77%.26.将两信息分别编码为A和B传递出来，接收站收到时，A被误收作B的概率为0.02，而B被误收作A的概率为0.01.信息A与B传递的频繁程度为2∶1.若接收站收到的信息是A，试问原发信息是A的概率是多少？【解】设A={原发信息是A}，则={原发信息是B}7C={收到信息是A}，则={收到信息是B}由贝叶斯公式，得()()()()()()()PAPCAPACPAPCAPAPCA=+2/30.980.994922/30.981/30.01×==×+×27. 在已有两个球的箱子中再放一白球，然后任意取出一球，若发现这球为白球，试求箱子中原有一白球的概率（箱中原有什么球是等可能的颜色只有黑、白两种） 【解】设Ai={箱中原有i个白球}（i=0,1,2），由题设条件知P（Ai）=,i=0,1,2.又设B={抽13出一球为白球}.由贝叶斯公式知111120()()()()()()()iiiPBAPAPABPABPBPBAPA===∑2/31/311/31/32/31/311/33×==×+×+×28. 某工厂生产的产品中96%是合格品，检查产品时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.02，一个次品被误认为是合格品的概率为0.05，求在被检查后认为是合格品产品确是合格品的概率.【解】设A={产品确为合格品}，B={产品被认为是合格品}由贝叶斯公式得()()()()()()()()()PAPBAPABPABPBPAPBAPAPBA==+0.960.980.9980.960.980.040.05×==×+×29. 某保险公司把被保险人分为三类：“谨慎的”，“一般的”，“冒失的”.统计资料表明，上述三种人在一年内发生事故的概率依次为0.05,0.15和0.30；如果“谨慎的”被保险人占20%，“一般的”占50%，“冒失的”占30%，现知某被保险人在一年内出了事故，则他是“谨慎的”的概率是多少？【解】设A={该客户是“谨慎的”}，B={该客户是“一般的”}，C={该客户是“冒失的”}，D={该客户在一年内出了事故}则由贝叶斯公式得()()(|)(|)()()(|)()(|)()(|)PADPAPDAPADPDPAPDAPBPDBPCPDC==+