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第二章统计2.1随机抽样2.1.1简单随机抽样知识能力目标引航1.理解并掌握简单随机抽样的定义、特点和适用范围.2.掌握两种简单随机抽样的步骤,并能用简单随机抽样方法抽取样本.1.简单随机抽样定义一般地,设一个总体含有N个个体,从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N),如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等,就把这种抽样方法叫做简单随机抽样分类抽签法(抓阄法)和随机数法特点①简单随机抽样要求总体中的个体数N是有限的.②简单随机抽样抽取样本的容量n小于或等于总体中的个体数N.③简单随机抽样中的每个个体被抽到的可能性均为nN.④逐个抽取即每次仅抽取一个个体.⑤简单随机抽样是不放回的抽样,即抽取的个体不再放回总体适用范围当总体中的个体无差异且个体数目较少时,采用简单随机抽样抽取样本如何抽取样本,直接关系到对总体估计的准确程度,因此抽样时要保证每一个个体都可能被抽到,每一个个体被抽到的机会都是均等的,满足这样条件的抽样是随机抽样.【做一做1】在简单随机抽样中,某一个个体被抽中的可能性()A.与第几次抽样有关,第一次抽中的可能性要大些B.与第几次抽样无关,每次抽中的可能性都相等C.与第几次抽样有关,最后一次抽中的可能性要大些D.每个个体被抽中的可能性无法确定解析:在简单随机抽样中,每一个个体被抽中的可能性都相等,与第几次抽样无关.答案:B2.抽签法定义一般地,抽签法就是把总体中的N个个体编号,把号码写在号签上,将号签放在一个容器中,搅拌均匀后,每次从中抽取一个号签,连续抽取n次,就得到一个容量为n的样本.步骤①将总体中的个体编号为1~N.②将所有编号1~N写在形状、大小相同的号签上.③将号签放在一个不透明的容器中,搅拌均匀.④从容器中每次抽取一个号签,并记录其编号,连续抽取n次.⑤从总体中将与抽取到的签的编号相一致的个体取出.要点编号、写签、搅匀、抽取样本(1)利用抽签法抽取样本时,编号问题可视情况而定,若已有编号如考号、学号、标签号码等,可不必重新编号.(2)号签要大小、形状完全相同,而且抽签前一定要搅拌均匀,然后从中逐个不放回地抽取.【做一做2】抽签法中确保样本代表性的关键是()A.编号B.制签、搅拌均匀C.逐一抽取D.抽取不放回答案:B3.随机数法定义随机数法即利用随机数表、随机数骰子或计算机产生的随机数进行抽样.这里仅介绍随机数表法步骤①将总体中的个体编号.②在随机数表中任选一个数作为开始.③规定一个方向作为从选定的数读取数字的方向.④开始读取数字,若不在编号中,则跳过,若在编号中则取出,依次取下去,直到取满为止.(相同的号只计一次)⑤根据选定的号码抽取样本要点编号、选起始数、读数、获取样本随机数表由数字0,1,2,…,9组成,并且每个数字在表中各个位置出现的机会都是一样的(随机数表不是唯一的,只要符合各个位置出现各个数字的可能性相同的要求,就可以构成随机数表).【做一做3】用随机数表法进行抽样,有以下几个步骤:①将总体中的个体编号;②获取样本号码;③选定随机数表开始的数字,这些步骤的先后顺序应该是.(填序号)答案:①③②1.抽样的必要性剖析:(1)有些试验具有破坏性,只能研究其样本而不能研究总体.例如,检验一批钢筋的强度,不能把这批钢筋全部拉断.考察产品的寿命和食品的质量问题等也是这样.(2)在现实生活中,由于资金、时间有限,人力、物力不足,再加上不断变化的环境条件,做普查是不可能的,也是不必要的.如调查城市居民出行情况.(3)当总体是连续或无限时,直接研究是不可能的.例如对大气环境污染情况的分析.(4)由于受随机因素的影响,即便直接研究总体,得到的结果也是一个近似值,同研究样本得到的结果差不多.例如天气预报等.(5)某些特殊总体,要求具有相当资格的调查员才能进行,为此只能采用抽样调查,例如对某科学技术方面总体的调查.2.应用随机数表法抽取样本时,对总体中的个体进行编号的方法剖析:利用随机数表法抽取样本的关键是对所有个体的编号的位数要一致;若不一致,需先调整到一致再进行抽样.例如当总体中有100个个体时,为了操作简便可以选择从00开始编号,那么所有个体的编号都用两位数字表示即可,即00~99号.如果选择从1开始编号,那么所有个体的号码都必须用三位数字表示,比如001~100.很明显每次读两个数字要比每次读三个数字节省时间.3.抽签法与随机数法的异同点剖析:相同点:(1)都是简单随机抽样,并且要求被抽取样本的总体所含的个体是有限的;(2)都是从总体中逐个地、不放回地抽取.不同点:(1)抽签法比随机数法简单;(2)随机数法更适用于总体中的个体数较多的时候,而抽签法适用于总体中的个体数相对较少的情况,所以当总体中的个体数较多时,应当选用随机数法,这样可以节约大量的人力和制作号签的成本.题型一如何选择简单随机抽样【例题1】下列问题中,最适合用简单随机抽样方法的是()A.某电影院有32排座位,每排有40个座位,座位号是1~40.有一次报告会坐满了听众,报告会结束以后为听取意见,要留下32名听众进行座谈B.从10台冰箱中抽出3台进行质量检查C.某学校有在编人员160人.其中行政人员16人,教师112人,后勤人员32人.教育部门为了了解他们对学校机构改革的意见,要从中抽取一个容量为20的样本D.某乡农田有山地8000亩,丘陵12000亩,平地24000亩,洼地4000亩,现抽取农田480亩估计全乡农田平均产量解析:根据简单随机抽样的特点进行判断.A项中的总体容量较大,用简单随机抽样法比较麻烦;B项中的总体容量较小,用简单随机抽样法比较方便;C项中,由于学校各类人员对这一问题的看法可能差异很大,不宜采用简单随机抽样法;D项中,总体容量较大,且各类田地的产量差别很大,也不宜采用简单随机抽样法.答案:B如果一个总体满足下列两个条件,那么可用简单随机抽样抽取样本:①总体中的个体之间无差异;②总体中的个体数不多.题型二抽签法的应用【例题2】某大学为了支援西部教育事业,现从报名的18名志愿者中选取6人组成志愿小组,请用抽签法确定志愿小组成员,并写出抽样步骤.分析:编号→制签→搅匀→抽签→成样解:抽样步骤是:第一步,将18名志愿者编号,号码是01,02,…,18;第二步,将号码分别写在同样的小纸片上,揉成团,制成号签;第三步,将得到的号签放入一个不透明的袋子中,并充分搅匀;第四步,从袋子中依次抽取6个号签,并记录上面的编号;第五步,与所得号码对应的志愿者就是志愿小组的成员.利用抽签法抽取样本时应注意以下问题:①编号时,如果已有编号(如学号,标号等),可不必重新编号.②号签要求大小、形状完全相同.③号签要搅拌均匀.④要逐一不放回地抽取.题型三随机数表法的应用【例题3】某车间工人加工了一批零件共40件,为了了解这批零件的质量情况,要从中抽取10件进行检验,如何采用随机数表法抽取样本?写出抽样步骤.解:抽样步骤是:第一步,先将40件零件编号,可以编为00,01,02,…,38,39.第二步,在随机数表中任选一个数作为开始,例如从教材附表的随机数表中的第8行第9列的数5开始.为便于说明,我们将随机数表中的第6行至第10行摘录如下:1622779439495443548217379323788735209643842634916484421753315724550688770474476721763350258392120676630163785916955567199810507175128673580744395238793321123429786456078252420744381551001342996602795457608632440947279654491746096290528477270802734328第三步,从选定的数5开始向右读下去,得到一个两位数字号码59,由于5939,将它去掉;继续向右读,得到16,将它取出;继续下去,又得到19,10,12,07,39,38,33,21,随后的两位数字号码是12,由于它在前面已经取出,将它去掉,再继续下去,得到34.至此,10个样本号码已经取满,于是,所要抽取的样本号码是16,19,10,12,07,39,38,33,21,34.与这10个号码对应的零件即是抽取的样本个体.在随机数表法抽样的过程中要注意:①编号要求位数相同,读数时应结合编号特点进行读取,如:编号为两位,则两位、两位地读取;编号为三位,则三位、三位地读取.②第一个数字的抽取是随机的.③读数的方向是任意的,且事先定好.题型四易错辨析【例题4】某工厂的质检人员对生产的100件产品,采用随机数表法抽取10件进行检查,对100件产品采用下面的编号方法:①1,2,3,…,100;②001,002,003,…,100;③00,01,02,…,99.其中最恰当的序号是.错解:因为是对100件产品编号,则编号为1,2,3,…,100,所以①最恰当.错因分析:用随机数表法抽样时,如果所编号码的位数不相同,那么无法在随机数表中读数,因此,所编号码的位数要相同.正解:只有编号时数字位数相同,才能达到随机等可能抽样.所以①不恰当.②③的编号位数相同,都可以采用随机数表法,但②中号码是三位数,读数费时,所以③最恰当.1.下列抽样方法是简单随机抽样的是()A.从50个零件中一次性抽取5个做质量检验B.从50个零件中有放回地抽取5个做质量检验C.从整数集中逐个抽取10个分析是奇数还是偶数D.运动员从8个跑道中随机抽取一个跑道解析:A项中是一次性抽取5个,不是逐个抽取,则A项不是简单随机抽样;B项中是有放回抽取,则B项也不是简单随机抽样;C项中整数集是无限集,总体容量不是有限的,则C项也不是简单随机抽样;很明显D项是简单随机抽样.答案:D2.为了检验某种产品的质量,决定从1001件产品中抽取10件进行检查,用随机数表法抽取样本的过程中,所编的号码的位数最少是位.解析:由于所编号码的位数和读数的位数要一致,因此所编号码的位数最少是四位.从0000到1000,或者是从0001到1001等.答案:四3.从60件产品中抽取5件进行检查,请用抽签法抽取产品,并写出抽样过程.解:抽签步骤:第一步,将60件产品编号,号码是1,2,…,60;第二步,将号码分别写在同样的纸条上,揉成团,制成号签;第三步,将号签放入不透明的袋子中,并充分搅匀;第四步,从袋子中依次抽取5个号签,并记录上面的编号;第五步,与所得号码对应的产品就是要抽取的对象.4.有一批机器,编号为1,2,3,…,112.请用随机数表法抽取10台入样,并写出抽样过程.解:各机器的编号位数不一致,用随机数表直接读数不方便,需将编号进行调整.第一步,将原来的编号调整为001,002,003,…,112;第二步,在随机数表中任选一数作为开始,任选一方向作为读数方向.比如,选第9行第7个数“3”,向右读;第三步,从“3”开始向右读,每次读取三位,凡不在001~112中的数跳过去不读,前面已经读过的也跳过去不读,依次可得到074,100,094,052,080,003,105,107,083,092;第四步,对应原来编号74,100,94,52,80,3,105,107,83,92的机器就是要抽取的对象.5.现在有一种游戏,其用具为四副扑克,包括大小鬼(又称为王)在内共216张牌,参与人数为6人,并围成一圈.游戏开始时,从这6人中随机指定一人从已经洗好的扑克牌中随机抽取一张牌(这叫开牌),然后按逆时针方向,根据这张牌上的数字来确定抓牌的先后,这6人依次从216张牌中抓取36张牌,问这种抓牌的方法是否是简单随机抽样?分析:根据简单随机抽样的特点来判断.解:简单随机抽样的实质是逐个地从总体中随机抽取样本,而这里只是随机确定了起始的牌,其他各张牌虽然是逐张抓牌,但是各张在谁手里已被确定,只有抽取的第一张扑克牌是随机抽取的,其他215张牌已经确定,即这215张扑克牌被抽取的可能性与第一张扑克牌被抽取的可能性不相同,所以不是简单随机抽样.一个学生在一次竞赛中要回答的8道题是这样产生的:从15道物理题中随机抽3