2020中考数学大一轮复习课件25：相似形

第二部分图形与几何考点梳理归类探究课时作业第八单元相似形第25课时相似形考点梳理考点1相似图形的有关概念相似图形具有形状的图形称为相似图形．相似多边形两个边数相同的多边形，如果它们的对应角，对应边，那么这两个多边形叫做相似多边形．相似比相似多边形的比叫做相似比．相似三角形对应角，对应边成的三角形叫做相似三角形．当相似比等于1时，这两个三角形.相同相等成比例对应边相等比例全等【易错提醒】仅对应边成比例的两个多边形不一定相似，如任意两个菱形；仅对应角相等的两个多边形也不一定相似，如任意两个矩形．考点2比例线段定义在四条线段a，b，c，d中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，即ab＝cd(或a∶b＝c∶d)，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．比例线段基本性质若ab＝cd，则ad＝.特别地，当b＝c时，b2＝ad，那么b称为a，d的比例中项.bc黄金分割在线段AB上，点C把线段AB分成两条线段AC和BC(ACBC)，如果，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金分割比，即ACAB＝≈.AC2＝AB·BC5－120.618【易错提醒】(1)线段a，b，c，d成比例是有顺序的，表示ab＝cd(或a∶b＝c∶d)；(2)要统一四条线段的长度单位才能求它们的比；(3)一条线段的黄金分割点有2个．考点3平行线分线段成比例定理定理两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段．推论平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段.成比例成比例考点4相似三角形的判定与性质[核心考点]判定预备定理：于三角形一边的直线和其他两边(或延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．判定1：三边的两个三角形相似．判定2：两边且夹角的两个三角形相似．判定3：两角分别的两个三角形相似．判定4：斜边和一条直角边的两个直角三角形相似．性质(1)相似三角形的对应角，对应边；(2)相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比和周长的比都等于；(3)相似三角形面积的比等于相似比的.平行对应成比例对应成比例相等相等对应成比例相等成比例相似比平方归类探究类型之一平行线分线段成比例1(2019·淮安)如图25­1，l1∥l2∥l3，直线a，b与l1，l2，l3分别相交于点A，B，C和点D，E，F.若AB＝3，DE＝2，BC＝6，则EF＝.图25­14【解析】∵l1∥l2∥l3，∴ABBC＝DEEF.又∵AB＝3，DE＝2，BC＝6，∴36＝2EF，∴EF＝4.【点悟】利用平行线分线段成比例定理解题时，关键是找好对应线段，通常用“左上左下＝右上右下”“左上左全＝右上右全”等关系式分段寻找．【变式训练】1．(2018·梧州)如图25­2，AG∶GD＝4∶1，BD∶DC＝2∶3，则AE∶EC的值是()A．3∶2B．4∶3C．6∶5D．8∶5D图25­2【解析】如答图，过点D作DF∥CA交BE于点F.变式训练1答图∵DF∥CE，∴DFCE＝BDBC.又∵BD∶DC＝2∶3，∴DFCE＝25，则CE＝52DF.∵DF∥AE，∴DFAE＝DGAG.∵AG∶GD＝4∶1，∴DFAE＝14，则AE＝4DF，∴AEEC＝4DF52DF＝85.故选D.类型之二相似三角形的判定2(2017·毕节)如图25­3，在▱ABCD中，过点A作AE⊥DC，垂足为点E，连接BE，F为BE上一点，且∠AFE＝∠D.图25­3(1)求证：△ABF∽△BEC；(2)若AD＝5，AB＝8，sinD＝45，求AF的长．(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠ABF＝∠BEC.∵∠D＋∠C＝180°，∠AFB＋∠AFE＝180°，而∠AFE＝∠D，∴∠C＝∠AFB，∴△ABF∽△BEC.(2)解：∵AE⊥DC，AB∥DC，∴∠AED＝∠BAE＝90°.在Rt△ADE中，AE＝AD·sinD＝5×45＝4，∴在Rt△ABE中，根据勾股定理，得BE＝AE2＋AB2＝42＋82＝45.由(1)得△ABF∽△BEC，BC＝AD＝5，∴AFBC＝ABBE，即AF5＝845，解得AF＝25.【点悟】判定三角形相似的几条思路：(1)条件中若有平行线，可采用相似三角形的预备定理．(2)条件中若有一对等角，可再找一对等角(用判定3)或再找夹边成比例(用判定2)．(3)条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等．(4)条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证明斜边、直角边对应成比例．(5)条件中若有等腰关系，可找顶角相等，或可找一对底角相等，也可找底和腰对应成比例．【变式训练】2．(2018·杭州)如图25­4，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，DE⊥AB于点E.图25­4(1)求证：△BDE∽△CAD；(2)若AB＝13，BC＝10，求线段DE的长．(1)证明：∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，∠B＝∠C.∵DE⊥AB，∴∠DEB＝∠ADC，∴△BDE∽△CAD.(2)解：由(1)知，AD⊥BC，BD＝12BC＝5.在Rt△ADB中，AD＝AB2－BD2＝132－52＝12.∵12·AD·BD＝12·AB·DE，∴DE＝6013.类型之三相似三角形的性质3(1)(2018·资阳)已知：如图25­5，△ABC的面积为12，D，E分别是边AB，AC的中点，则四边形BCED的面积为.图25­59(2)(2018·上海)如图25­6，已知正方形DEFG的顶点D，E在△ABC的边BC上，顶点G，F分别在边AB，AC上．如果BC＝4，△ABC的面积是6，那么这个正方形的边长是.图25­6127【解析】(1)设四边形BCED的面积为x，则S△ADE＝12－x.∵D，E分别是边AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，且DE＝12BC，∴△ADE∽△ABC.则S△ADES△ABC＝DEBC2，即12－x12＝14，解得x＝9，即四边形BCED的面积为9.(2)如答图，过点A作AH⊥BC于点H，交GF于点M.例3答图∵△ABC的面积是6，∴12BC·AH＝6，∴AH＝2×64＝3.设正方形DEFG的边长为x，则GF＝x，MH＝x，AM＝3－x.∵GF∥BC，∴△AGF∽△ABC，∴GFBC＝AMAH，即x4＝3－x3，解得x＝127，即正方形DEFG的边长为127.【点悟】相似三角形的应用，主要体现在以下几个方面：(1)利用相似三角形的对应角相等计算角的度数．(2)利用相似三角形的对应线段成比例确定已知线段和未知线段的关系，建立方程求出未知线段的长度或解决与比例式(等积式)有关的证明问题；或建立函数关系，求出面积与线段长度之间的关系，或线段与线段之间的数量关系(在中考压轴题中常出现)．(3)利用相似三角形的面积比等于相似比的平方、对应线段(高、中线、角平分线以及周长)的比等于相似比，求三角形的面积或对应线段的长度．【变式训练】3．(2019·重庆市B卷)下列命题是真命题的是()A．如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的周长比为2∶3B．如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的周长比为4∶9C．如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的面积比为2∶3D．如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的面积比为4∶9B【解析】如果两个三角形相似，那么这两个三角形的周长比等于相似比，面积比是相似比的平方，即如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的周长比为4∶9，面积比是相似比的平方，即16∶81.故选B.课时作业1．(2019·贺州)如图25­1，在△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，DE∥BC.若AD＝2，AB＝3，DE＝4，则BC等于()A．5B．6C．7D．8B图25­1【解析】∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴ADAB＝DEBC，即23＝4BC，解得BC＝6.故选B.图25­22．(2019·淄博)如图25­2，在△ABC中，AC＝2，BC＝4，D为BC边上的一点，且∠CAD＝∠B.若△ADC的面积为a，则△ABD的面积为()A．2aB．52aC．3aD．72aC【解析】在△BAC和△ADC中，∵∠C是公共角，∠CAD＝∠B，∴△BAC∽△ADC.∵AC＝2，BC＝4，∴BCAC＝2，∴S△ABCS△ADC＝BCAC2＝4.又∵△ADC的面积为a，∴△ABC的面积为4a，∴△ABD的面积为3a.故选C.3．(2018·昆明)黄金分割数5－12是一个很奇妙的数，大量应用于艺术、建筑和统计决策等方面，请你估算5－1的值()A．在1.1和1.2之间B．在1.2和1.3之间C．在1.3和1.4之间D．在1.4和1.5之间B4．(2018·乐山)如图25­3，DE∥FG∥BC，若DB＝4FB，则EG与GC的关系是()图25­3BA．EG＝4GCB．EG＝3GCC．EG＝52GCD．EG＝2GC【解析】∵DE∥FG∥BC，∴DBBF＝ECGC.又∵DB＝4FB，∴DBFB＝ECGC＝41，∴EC＝4GC，∴EG＝3GC.故选B.5．(2018·重庆)制作一块3m×2m的长方形广告牌的成本是120元，在每平方米制作成本相同的情况下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，那么扩大后长方形广告牌的成本是()A．360元B．720元C．1080元D．2160元C【解析】∵3×2＝6(m2)，∴长方形广告牌的成本是120÷6＝20(元/m2)，若将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，则面积扩大为原来的9倍，∴扩大后长方形广告牌的面积为9×6＝54(m2)，∴扩大后长方形广告牌的成本是54×20＝1080(元)．故选C.6．(2019·雅安)如图25­4，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形(阴影部分)与△A1B1C1相似的是()B【解析】△A1B1C1的各边分别为1，2，5.A中三边分别为2，5，3，三边不能与△A1B1C1各边对应成比例，故两三角形不相似；B中三边分别为2，2，10，三边与△A1B1C1的各边对应成比例，故两三角形相似；C中三边分别为1，5，22，三边不能与△A1B1C1各边对应成比例，故两三角形不相似；D中三边分别为2，5，13，三边不能与△A1B1C1各边对应成比例，故两三角形不相似．故选B.7．(2019·安徽)如图25­5，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝12.点D在边BC上，点E在线段AD上，EF⊥AC于点F，EG⊥EF交AB于点G.若EF＝EG，则CD的长为()A．3.6B．4C．4.8D．5B图25­5【解析】如答图，过点D作DH∥CA交AB于点H.∵EF⊥AC，∠ACB＝90°，∴CD∥EF.∵EG⊥EF，∴EG∥AC，∴EG∥DH，∴EFDC＝AEAD＝EGDH.又∵EF＝EG，∴CD＝DH.第7题答图设CD＝DH＝x，则BD＝12－x.由DH∥CA，得DHCA＝BDBC，即x6＝12－x12，解得x＝4，故CD＝4.故选B.8．(2018·宁夏)已知ab＝23，则a－2ba＋2b的值是.－12【解析】由ab＝23，得b＝32a.a－2ba＋2b＝a－2·3a2a＋2·3a2＝－12.9．(2018·邵阳)如图25­6，E是平行四边形ABCD的边BC延长线上一点，连接AE，交CD于点F，连接BF.写出图中任意一对相似三角形：．图25­6△ADF∽△ECF或△EBA∽△ECF或△ADF∽△EBA(任意写一对即可)10．(2018·阜新)如图25­7，在矩形ABCD中，E为AD的中点，BD和CE相交于点F.如果DF＝2，那么线段BF的长度为.图25­74【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴△DEF∽△BCF，∴DFBF＝DEBC.∵E为AD的中点，∴DE＝12AD，∴DE＝12BC，∴DFBF＝12，∴BF＝2DF＝4.11．(2018·安顺)如图25­8，点P1，P2，P3，P4均在坐标轴上，且P1P2⊥P2P3，P2P3⊥P3P4.