2020中考数学大一轮复习课件22：多边形及其内角和

第二部分图形与几何考点梳理归类探究课时作业第七单元四边形第22课时多边形及其内角和考点梳理多边形的定义在同一平面内，若干条不在同一直线上的线段相接组成的图形叫做多边形．内角和n边形的内角和为.外角和任意多边形的外角和为.多边形的性质对角线n边形从一个顶点出发可以画条对角线，一共可以画条对角线.考点多边形及其内角和首尾顺次(n－2)·180°360°(n－3)nn－32定义各边，各内角也的多边形叫做正多边形．正多边形性质正n边形的每一个内角的度数都是，每一个外角的度数都是.相等相等n－2·180°n360°n归类探究类型之一多边形的内角和与外角和1(1)(2018·乌鲁木齐)一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是()A．4B．5C．6D．7C(2)(2018·铜仁)如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是()A．8B．9C．10D．11(3)(2019·陕西)正n边形的每个内角为120°，这个正n边形的对角线条数为条．(4)(2018·聊城)如果一个正方形被截掉一个角后，得到一个多边形，那么这个多边形的内角和是.A9540°或360°或180°【解析】(1)∵多边形的内角和公式为(n－2)·180°，∴(n－2)·180°＝720°，解得n＝6，∴这个多边形的边数是6.故选C.(2)多边形的外角和是360°，根据题意，得180°·(n－2)＝3×360°，解得n＝8.故选A.(3)∵正n边形的每个内角为120°，∴正n边形的每个外角为60°，∴正n边形的边数n等于36060＝6，∴正n边形的对角线的条数为6×6－32＝9(条)．(4)剪掉一个多边形的一个角，则所得新的多边形的角可能增加一个，也可能不变，也可能减少一个，根据多边形的内角和定理即可求解．n边形的内角和是(n－2)·180°，边数增加1，则新的多边形的内角和是(4＋1－2)×180°＝540°，所得新的多边形的边数不变，则新的多边形的内角和是(4－2)×180°＝360°，所得新的多边形的边数减少1，则新的多边形的内角和是(4－1－2)×180°＝180°.因而，所得新的多边形的内角和是540°或360°或180°.【点悟】多边形的内角和公式主要有以下三种应用：(1)已知边数求内角和；(2)已知内角和求边数；(3)已知边数，求正多边形的每一个内角和外角的度数．【变式训练】1．(2017·百色)多边形的外角和等于()A．180°B．360°C．720°D．(n－2)·180°2．(2018·福建)一个n边形的内角和为360°，则n等于()A．3B．4C．5D．6BB【解析】根据n边形的内角和公式，得(n－2)·180＝360，解得n＝4.故选B.3．(2019·福建)已知正多边形的一个外角为36°，则该正多边形的边数为()A．12B．10C．8D．6B【解析】根据正多边形的外角和为360°，且正多边形的每个外角都相等，则边数n＝360°36°＝10.故选B.4．(2018·广安)一个n边形的每一个内角等于108°，那么n＝.5【解析】每个外角的度数是180°－108°＝72°，则n＝360°72°＝5.类型之二多边形的转化2如图22­1，M，N分别是正五边形ABCDE的边BC，CD上的点，且BM＝CN，AM交BN于点P.图22­1(1)求证：△ABM≌△BCN；(2)求∠APN的度数．(1)证明：∵五边形ABCDE是正五边形，∴AB＝BC，∠ABM＝∠BCN.在△ABM与△BCN中，AB＝BC，∠ABM＝∠BCN，BM＝CN，∴△ABM≌△BCN(SAS)．(2)解：由(1)知，△ABM≌△BCN，∴∠MBP＝∠BAP.∵∠MBP＋∠BMP＋∠BPM＝180°，∠BAP＋∠BMA＋∠MBA＝180°，∴∠BPM＝∠MBA.∵∠BPM＝∠APN，∴∠APN＝∠MBA＝5－2×180°5＝108°.【点悟】把多边形转化为三角形是解决多边形问题的重要思想方法．【变式训练】5．(2018·济宁)如图22­2，在五边形ABCDE中，∠A＋∠B＋∠E＝300°，DP，CP分别平分∠EDC，∠BCD，则∠P＝()图22­2CA．50°B．55°C．60°D．65°【解析】∵在五边形ABCDE中，∠A＋∠B＋∠E＝300°，∴∠EDC＋∠BCD＝240°.又∵DP，CP分别平分∠EDC，∠BCD，∴∠PDC＋∠PCD＝120°，∴在△CDP中，∠P＝180°－(∠PDC＋∠PCD)＝180°－120°＝60°.故选C.6．如图22­3，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD，若四边形ABCD的面积是24cm2，求AC的长度．图22­3解：如答图，延长CD至点E，使DE＝BC，连接AE.变式训练6答图∵∠BAD＝∠BCD＝90°，∴∠2＋∠B＝180°.∵∠1＋∠2＝180°，∴∠1＝∠B.在△ABC与△ADE中，AB＝AD，∠B＝∠1，BC＝DE，∴△ABC≌△ADE(SAS)，∴AC＝AE，∠DAE＝∠BAC.∵∠BAD＝90°，∴∠EAC＝90°，∴△ACE是等腰直角三角形．∵四边形ABCD的面积为24cm2，即S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝S△ADE＋S△ACD＝S△ACE＝24cm2，∴12AC2＝24，解得AC＝43cm.课时作业1．(2019·陇南)如图22­1，足球图片正中的黑色正五边形的内角和是()图22­1CA．180°B．360°C．540°D．720°【解析】∵多边形的内角和公式是(n－2)·180°，∴当n＝5时，(5－2)×180°＝540°.故选C.2．若正多边形的一个内角是150°，则该正多边形的边数是()A．6B．12C．16D．18B【解析】设多边形为n边形．由题意，得(n－2)·180°＝150°·n，解得n＝12.故选B.3．(2017·乌鲁木齐)如果n边形的每一个内角都等于与它相邻的外角的2倍，则n的值是()A．4B．5C．6D．7C【解析】设每个外角为x，则与其相邻的每个内角为2x.由题意，得2x＋x＝180°，解得x＝60°，360°÷60°＝6.故选C.4．一个多边形的外角和是内角和的25，则这个多边形的边数为()A．5B．6C．7D．8C【解析】∵这个多边形的外角和是内角和的25，且多边形的外角和为360°，∴这个多边形的内角和为900°.设边数为n，则(n－2)·180°＝900°，解得n＝7，∴这个多边形的边数是7.故选C.5．(2018·邵阳)如图22­2，在四边形ABCD中，AD⊥AB，∠C＝110°，它的一个外角∠ADE＝60°，则∠B的大小是.图22­240°【解析】∵∠ADE＝60°，∴∠ADC＝120°.∵AD⊥AB，∴∠DAB＝90°，∴∠B＝360°－∠C－∠ADC－∠A＝40°.6．(2018·郴州)一个正多边形的每个外角为60°，那么这个正多边形的内角和是.720°【解析】∵这个正多边形的边数为360°60°＝6，∴这个正多边形的内角和为(6－2)×180°＝720°.7．(2018·南京)如图22­3，五边形ABCDE是正五边形．若l1∥l2，则∠1－∠2＝.图22­372°【解析】如答图，过点B作BF∥l1.第7题答图∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠ABC＝108°.∵BF∥l1，l1∥l2，∴BF∥l2，∴∠3＝∠5＝180°－∠1，∠4＝∠2，∴180°－∠1＋∠2＝∠5＋∠4＝∠ABC＝108°，∴∠1－∠2＝72°.8．(2018·山西)冰裂图案是我国古代建筑中常见的一种窗格图案，象征着坚冰出现裂纹并开始消融，形状无一定规则，代表一种自然和谐美．图22­4是从冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝.图22­4360°【解析】多边形的外角和为360°.9．(2018·上海)通过画出多边形的对角线，可以把多边形内角和问题转化为三角形内角和问题．如果从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有2条，那么该多边形的内角和是.540°【解析】若从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有2条，则将该多边形分割为3个三角形．∴该多边形的内角和是3×180°＝540°.10．(2019·枣庄)用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结(如图22­5①所示)，然后轻轻拉紧，压平就可以得到如图22­5②所示的正五边形ABCDE.图中，∠BAC＝.36°①②图22­5【解析】正五边形的内角和为(5－2)×180°＝540°，∴∠ABC＝540°÷5＝108°.∵BA＝BC，∴∠BAC＝∠BCA＝180°－108°2＝36°.11．如图22­6，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C，点E在边AB上，∠AED＝60°，则一定有()D图22­6A．∠ADE＝20°B．∠ADE＝30°C．∠ADE＝12∠ADCD．∠ADE＝13∠ADC【解析】在△AED中，∵∠AED＝60°，∴∠A＝180°－∠AED－∠ADE＝120°－∠ADE.又∵∠DEB＝180°－∠AED＝180°－60°＝120°，∴∠B＝∠C＝(360°－∠DEB－∠EDC)÷2＝120°－12∠EDC.∵∠A＝∠B＝∠C，∴120°－∠ADE＝120°－12∠EDC，∴2∠ADE＝∠EDC.∵∠ADC＝∠ADE＋∠EDC＝∠ADE＋2∠ADE＝3∠ADE，∴∠ADE＝13∠ADC.故选D.12．如图22­7，E，D分别是正三角形ABC、正四边形ABCM、正五边形ABCMN中以C为顶点的相邻两边上的点，且BE＝CD，BD交AE于点P.图22­7(1)求图22­7①中∠APD的度数；(2)在图22­7②中，∠APD的度数为，在图22­7③中，∠APD的度数为；(3)根据前面的探索，你能否将本题推广到一般的正n边形的情况？若能，请写出推广的问题和结论；若不能，请说明理由．90°108°解：(1)∵△ABC是正三角形，∴AB＝BC，∠ABE＝∠C＝60°.∵BE＝CD，∴△ABE≌△BCD，∴∠BAE＝∠CBD，∴∠APD＝∠ABP＋∠BAE＝∠ABP＋∠CBD＝∠ABE＝60°.(3)能．点E，D分别是正n边形ABCM…中以C为顶点的相邻两边上的点，且BE＝CD，BD与AE交于点P，则∠APD的度数为n－2·180°n.