2020中考数学大一轮复习课件30：解直角三角形

第二部分图形与几何考点梳理归类探究课时作业第十单元解直角三角形第30课时解直角三角形考点梳理考点1锐角三角函数的概念[核心考点]如图30­1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.图30­1sinA＝∠A的对边斜边＝；cosA＝∠A的邻边斜边＝；tanA＝∠A的对边∠A的邻边＝.acbcab考点2特殊角的三角函数值[核心考点]角α三角函数30°45°60°sinα122232cosα322212tanα3313考点3解直角三角形的应用[核心考点]基本类型仰角、俯角在视线与水平线所成的锐角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，视线在水平线下方的角叫做俯角，如图30­2.图30­2基本类型坡度、坡角坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度(坡比)，用字母i表示；坡面与水平线的夹角α叫做坡角．i＝tanα＝hl，如图30­3.图30­3基本类型方向角一般指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向，旋转到目标的方向所成的角(一般指锐角)，通常表达成北(南)偏东(西)α度．如图30­4，A点位于O点的北偏东30°方向，B点位于O点的南偏东60°方向，C点位于O点的北偏西45°方向(或西北方向)．图30­4归类探究类型之一锐角三角函数的概念1(2019·宜昌)如图30­5，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin∠BAC的值为()A.43B．34C．35D．45D图30­5【解析】如答图，过点C作CD⊥AB于点D，例1答图则∠ADC＝90°，∴AC＝AD2＋CD2＝32＋42＝5.∴sin∠BAC＝CDAC＝45.故选D.【点悟】把握好锐角三角函数的定义是解这类问题的关键．当题中没有直角三角形时，通常根据已知条件构造一个直角三角形，然后利用三角函数的定义求解．【变式训练】1．(2018·云南)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝3，则∠A的正切值为()A．3B．13C．1010D．31010A【解析】∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝3，∴∠A的正切值为BCAC＝31＝3.故选A.图30­62．(2018·贵阳)如图30­6，A，B，C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC的值为()A.12B．1C．33D．3B【解析】如答图，连接BC.由网格可得AB＝BC＝5，AC＝10，则AB2＋BC2＝AC2，∴△ABC为等腰直角三角形，∴∠BAC＝45°，则tan∠BAC＝1.故选B.变式训练2答图类型之二特殊角的三角函数值2已知α，β均为锐角，且满足sinα－12＋tanβ－12＝0，则α＋β＝.75°【解析】∵sinα－12＋tanβ－12＝0，∴sinα＝12，tanβ＝1，∴α＝30°，β＝45°，∴α＋β＝30°＋45°＝75°.【点悟】解这类问题，关键是熟悉30°，45°，60°角的三角函数值．同时本题还要注意非负数性质的运用．【变式训练】3．(2019·天津)2sin60°的值等于()A．1B．2C．3D．2C4．(2019·广安)(－1)4－|1－3|＋6tan30°－(3－27)0.解：原式＝1－(3－1)＋6×33－1＝1－3＋1＋23－1＝1＋3.类型之三解直角三角形3(2019·深圳)如图30­7，某施工队要测量隧道BC的长度，已知AD＝600m，AD⊥BC，施工队站在点D处看向B，测得仰角为45°，再由D走到E处测量，DE∥AC，DE＝500m，测得仰角为53°，求隧道BC长.参考数据：sin53°≈45，cos53°≈35，tan53°≈43图30­7解：如答图，过点E作EM⊥AC点M，例3答图则AM＝DE＝500m，AD＝EM＝600m.∵△ABD是等腰直角三角形，AB＝AD＝600m，∴BM＝100m.在△CEM中，tan53°＝CMEM，即CM600≈43.解得CM≈800m.∴BC＝CM－BM≈800－100＝700(m)．答：隧道BC的长度约为700m.【点悟】解直角三角形的应用类问题时，要读懂题意，分析题目中的仰角、俯角、方向角、坡角、坡度等信息，根据角度作出辅助线构造直角三角形，再解直角三角形．【变式训练】5．(2019·安徽亳州模拟)某数学兴趣小组的同学在一次活动中，为了测量某建筑物AB的高，他们来到另一建筑物CD上的点C处进行观察，如图30­8，他们测得建筑物AB顶部A的仰角为30°，底部B的俯角为45°.已知建筑物AB，CD的距离DB为12m，求建筑物AB的高．图30­8解：如答图，过点C作AB的垂线，垂足为点E.变式训练5答图∵CD⊥BD，AB⊥BD，∠ECB＝45°，∴四边形CDBE是正方形．∵BD＝12m，∴BD＝CE＝BE＝12m，∴AE＝CE·tan30°＝12×33＝43(m)，∴AB＝(43＋12)m.答：建筑物AB的高为(43＋12)m.6．(2018·眉山)知识改变世界，科技改变生活．导航装备的不断更新极大方便了人们的出行．如图30­9，某校组织学生乘车到黑龙滩(用C表示)开展社会实践活动，车到达A地后，发现C地恰好在A地的正北方向，且距离A地13km，导航显示车辆应沿北偏东60°方向行驶至B地，再沿北偏西37°方向行驶一段距离才能到达C地，求B，C两地的距离.参考数据：sin53°≈45，cos53°≈35，tan53°≈43图30­9变式训练6答图解：如答图，过点B作BD⊥AC于点D，则∠BAD＝60°，∠DBC＝53°.设AD＝xkm.在Rt△ABD中，BD＝AD·tan∠BAD＝3x(km)．在Rt△BCD中，CD＝BD·tan∠DBC≈3x·43＝433x(km)．由AC＝AD＋CD，可得x＋433x＝13，解得x＝43－3，则BC＝BDcos∠DBC≈3x35＝533x＝533×(43－3)＝(20－53)km.答：B，C两地的距离约为(20－53)km.7．(2018·泰州)日照间距系数反映了房屋日照情况，如图30­10①，当前后房屋都朝向正南时，日照间距系数＝L∶H－H1，其中L为楼间水平距离，H为南侧楼房高度，H1为北侧楼房底层窗台至地面高度．如图30­10②，山坡EF朝北，EF长为15m，坡度为i＝1∶0.75，山坡顶部平地EM上有一高为22.5m的楼房AB，底部A到E点的距离为4m.(1)求山坡EF的水平宽度FH；(2)欲在AB楼正北侧山脚的平地FN上建一楼房CD，已知该楼底层窗台P处至地面C处的高度为0.9m，要使该楼的日照间距系数不低于1.25，底部C距F处至少多远？①②图30­10解：(1)在Rt△EFH中，∵i＝EHFH＝1∶0.75，∴EH＝43FH.∵EH2＋FH2＝EF2，即43FH2＋FH2＝152，解得FH＝9m.答：山坡EF的水平宽度FH为9m.(2)如答图，过点A作AG⊥CF，交CF的延长线于点G，过点P作PK⊥AG于点K，变式训练7答图则KG＝PC＝0.9m，AG＝EH＝43FH＝12(m)，∴BK＝BA＋AG－KG＝22.5＋12－0.9＝33.6(m)．∵PKBK≥1.25，∴PK≥1.25BK＝1.25×33.6＝42(m)，∴CG≥42m.∵FH＝9m，HG＝EA＝4m，∴CF≥29m.答：底部C距F处至少29m.课时作业1．(2018·天津)cos30°的值等于()A.22B．32C．1D．3B2．(2018·柳州)如图30­1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AC＝3，则sinB＝()A.35B．45C．37D．34A图30­1【解析】∵∠C＝90°，BC＝4，AC＝3，∴AB＝5，∴sinB＝ACAB＝35.故选A.3．(2019·金华)如图30­2，矩形ABCD的对角线交于点O，已知AB＝m，∠BAC＝∠α，则下列结论错误的是()图30­2A．∠BDC＝∠αB．BC＝mtanαC．AO＝m2sinαD．BD＝mcosαC【解析】由锐角三角函数的定义，得sinα＝BC2OA，∴AO＝BC2sinα.故选C.4．(2018·宜昌)如图30­3，要测量小河两岸相对的两点P，A的距离，可以在小河边取PA的垂线PB上的一点C，测得PC＝100m，∠PCA＝35°，则小河宽PA等于()C图30­3A．100sin35°mB．100sin55°mC．100tan35°mD．100tan55°m【解析】∵PA⊥PB，PC＝100m，∠PCA＝35°，∴小河宽PA＝PC·tan∠PCA＝100tan35°(m)．故选C.5．(2019·甘肃)在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝33，则cosB＝.【解析】∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝33.设a＝3x，b＝3x，则c＝23x，∴cosB＝ac＝12.126．(2018·济宁)如图30­4，在一笔直的海岸线l上有相距2km的A，B两个观测站，B站在A站的正东方向上，从A站测得船C在北偏东60°的方向上，从B站测得船C在北偏东30°的方向上，则船C到海岸线l的距离是km.图30­43第6题答图【解析】如答图，过点C作CD⊥AB于点D.根据题意知，∠CAD＝30°，∠CBD＝60°，∴∠ACB＝∠CBD－∠CAD＝30°，∴∠CAB＝∠ACB，∴BC＝AB＝2km.在Rt△CBD中，CD＝BC·sin60°＝2×32＝3(km)．7．(2018·自贡)如图30­5，在△ABC中，BC＝12，tanA＝34，∠B＝30°.求AC和AB的长．图30­5第7题答图解：如答图，过点C作CH⊥AB于点H.在Rt△BCH中，∵BC＝12，∠B＝30°，∴CH＝12BC＝6，BH＝BC2－CH2＝63.在Rt△ACH中，tanA＝34＝CHAH，∴AH＝8，∴AC＝AH2＋CH2＝10，∴AB＝AH＋BH＝8＋63.8．(2018·通辽)我市304国道通辽至霍林郭勒段在修建过程中经过一座山峰，如图30­6，其中山脚A，C两地海拔高度约为1000m，山顶B处的海拔高度约为1400m，由B处望山脚A处的俯角为30°，由B处望山脚C处的俯角为45°，若在A，C两地间打通一隧道，求隧道最短为多少米．(结果取整数，参考数据：3≈1.732)图30­6解：如答图，过点B作BD⊥AC于点D，第8题答图由题意，可得BD＝1400－1000＝400(m)，∠BAC＝30°，∠BCA＝45°.在Rt△ABD中，∵tan30°＝BDAD，即400AD＝33，∴AD＝4003m.在Rt△BCD中．∵tan45°＝BDCD，即400CD＝1，解得CD＝400m.∴AC＝AD＋CD＝4003＋400≈1092.8≈1093(m)．答：隧道最短约为1093m.9．(2019·黄冈)如图30­7，两座建筑物的水平距离BC为40m，从A点测得D点的俯角α为45°，测得C点的俯角β为60°.求这两座建筑物AB，CD的高度．(结果保留小数点后一位，2≈1.414，3≈1.732)图30­7例2答图解：如答图，延长CD交过A点的水平线于点M，则∠AMC＝90°，AM＝BC＝40m.在Rt△ADM中，tanα＝DMAM，∴DM＝AM·tanα＝40×tan45°＝40(m)．在Rt△ACM中，tanβ＝CMAM，∴CM＝AM·tanβ＝40×tan60°＝403(m)．∵AB＝CM，∴AB＝403≈40×1.732≈69.3(m)，CD＝CM－DM＝403－40≈69.3－40＝29.3(m)．答：建筑物AB的高度约为69.3m，建筑物CD的高度约为29.3m.10．(2018·安顺)如图30­8是某市一座人行天桥的示意图，天桥离地面的髙BC是10m，坡面AC的倾斜角∠CAB＝45°，在距A点10m处有一建筑物HQ.为了方便行人推车过天桥，市政府部门决定降低坡度，使新坡面DC的倾斜角∠BDC＝30°.若新坡面下D处与建筑物之间需留下至少3m宽的人行道，问该建筑物是否需要拆除(计算最后