2020中考数学大一轮复习课件31：轴对称与中心对称

第二部分图形与几何考点梳理归类探究课时作业第十一单元图形变换、投影与视图第31课时轴对称与中心对称考点梳理考点1轴对称与轴对称图形[核心考点]轴对称轴对称图形定义把一个图形沿某一条直线折叠，如果能够与另一个图形，那么就说这两个图形成轴对称，这条直线就是，两个图形的对应点叫做对称点.如果一个图形沿某一直线折叠，直线两旁的两部分能够互相，那么就称这样的图形为轴对称图形，这条直线叫做这个图形的．重合对称轴重合对称轴区别轴对称是指两个全等图形之间的相互位置关系.轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形．轴对称的性质1.对称点的连线被对称轴；2．对应线段，对应角；3．对应线段或其延长线的交点在上；4．成轴对称的两个图形是.垂直平分相等相等对称轴全等图形考点2中心对称与中心对称图形中心对称中心对称图形定义把一个图形绕着一点旋转后，如果与另一个图形重合，那么这两个图形成中心对称，这个点叫做它们的，旋转前后重合的点叫做.把一个图形绕着某点旋转后，能与自身重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做．180°对称中心对称点(对应点)180°对称中心区别中心对称是指两个全等图形之间的相互位置关系.中心对称图形是指具有特殊形状的一个图形．中心对称的性质1.中心对称的两个图形，对称点所连的线段都经过，而且被对称中心；2．成中心对称的两个图形是.对称中心平分全等图形归类探究类型之一对称图形的识别1(2019·无锡)下列图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是()C【解析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，A.是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；B.是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意；C.不是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意；D.不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意．故选C.【点悟】判断一个图形是否是轴对称图形，关键要观察是否存在一条直线，使图形沿着这条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合；判断一个图形是否是中心对称图形，关键要观察是否存在某一点，使图形绕这一点旋转180°后能与原图形重合．【变式训练】1．(2018·永州)被誉为全国第三大露天碑林的“浯溪碑林”，摩崖上铭刻着500多方古今名家碑文，其中悬针篆文具有较高的历史意义和研究价值．下面四个悬针篆文文字明显不是轴对称图形的是()C2．(2019·广东)下列四个银行标志中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是()C类型之二图形的折叠2(2018·凉山州)如图31­1，在▱ABCD中，E，F分别是AD，BC上的点，将▱ABCD沿EF所在直线翻折，使点B与点D重合，且点A落在点A′处．(1)求证：△A′ED≌△CFD；(2)连接BE，若∠EBF＝60°，EF＝3，求四边形BFDE的面积．图31­1(1)证明：由翻折可知，AB＝A′D，∠ABC＝∠A′DF，∠EFB＝∠EFD.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∠ABC＝∠ADC.∴∠ADC＝∠A′DF.∴∠ADC－∠ADF＝∠A′DF－∠ADF，即∠FDC＝∠A′DE.∵AB＝A′D，AB＝CD，∴A′D＝CD.∵AD∥BC，∴∠DEF＝∠EFB.∴∠DEF＝∠EFD.∴ED＝DF.在△A′ED和△CFD中，A′D＝CD，∠A′DE＝∠CDF，DE＝DF，∴△A′ED≌△CFD(SAS)．(2)解：∵AD∥BC，A′B∥DF，∴四边形EBFD为平行四边形．由(1)知，DE＝DF，∴四边形EBFD为菱形．∵∠EBF＝60°，∴△BEF为等边三角形．∵EF＝3，∴BE＝BF＝3.如答图，过点E作EH⊥BC于点H.∴S四边形BFDE＝sin60°·BE·BF＝32×3×3＝932.例2答图【点悟】折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．【变式训练】3．(2018·广东)如图31­2，在矩形ABCD中，ABAD，把矩形沿对角线AC所在直线折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE.求证：图31­2(1)△ADE≌△CED；(2)△DEF是等腰三角形．证明：(1)∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AB＝CD.由折叠的性质，可得BC＝CE，AB＝AE.∴AD＝CE，AE＝CD.在△ADE和△CED中，AD＝CE，AE＝CD，DE＝ED，∴△ADE≌△CED(SSS)．(2)由(1)知，△ADE≌△CED，∴∠DEA＝∠EDC，即∠DEF＝∠EDF.∴EF＝DF.∴△DEF是等腰三角形．类型之三利用轴对称求最值3(2018·贵港)如图31­3，在菱形ABCD中，AC＝62，BD＝6，E是BC的中点，P，M分别是AC，AB上的动点，连接PE，PM，则PE＋PM的最小值是()A．6B．33C．26D．4.5C图31­3【解析】如答图，作M关于AC的对称点，为AD上的点M′，显然，当E，P，M′在同一直线上，且EM′⊥AD时，EM′最短，此时PE＋PM最小．∵AD＝32＋322＝33，例3答图且S菱形ABCD＝AD·EM′＝12AC·BD，∴33EM′＝12×62×6.∴EM′＝26.∴PE＋PM的最小值为26.故选C.【点悟】解决两线段之和的最小值问题，通常是根据图形的特点，利用轴对称以及两点之间线段最短的性质求解．基本方法如下：如图31­4，在直线l的同侧有A，B两点，在l上求作一点P，使PA＋PB的值最小．我们只要作点A关于l的对称点A′，连接A′B，它与l的交点P即为所求．图31­4【变式训练】4．(2018·天津)如图31­5，在正方形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，P为对角线BD上的一个动点，则下列线段的长等于AP＋EP最小值的是()A．ABB．DEC．BDD．AFD图31­5【解析】如答图，取CD的中点E′，连接AE′，PE′.变式训练4答图由正方形的轴对称性质，可知EP＝E′P，AF＝AE′.∴AP＋EP＝AP＋E′P.∴AP＋EP的最小值是AE′，即AP＋EP的最小值是AF.故选D.类型之四作轴对称图形或中心对称图形4(2019·安徽芜湖二模)如图31­6，在10×10的网格中建立平面直角坐标系，△ABC是格点三角形(顶点在网格线的交点上)．图31­6(1)先作△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1，再把△A1B1C1向上平移4个单位得到△A2B2C2；(2)请直接写出CC1＋C1C2＝.22＋4解：(1)如答图，△A1B1C1，△A2B2C2即为所求．例4答图(2)由图可知，C1C2＝4，CC1＝22＋22＝22，∴CC1＋C1C2＝22＋4.5．(2017·衡阳)如图31­7，方格图中每个小正方形的边长为1，点A，B，C都是格点．(1)画出△ABC关于直线MN对称的△A1B1C1；(2)写出AA1的长度．图31­7解：(1)如答图，△A1B1C1即为所求．变式训练5答图(2)由图可得，AA1＝10.课时作业1．(2019·深圳)下列图形是轴对称图形的是()A【解析】A．是轴对称图形，故本选项正确；B．不是轴对称图形，故本选项错误；C．不是轴对称图形，故本选项错误；D．不是轴对称图形，故本选项错误．故选A.2．(2018·南宁)下列美丽的壮锦图案中，是中心对称图形的是()A3．(2019·衡阳)下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是()D【解析】判断是否是中心对称图形，关键要确定对称中心；判断是否是轴对称图形，关键要确定对称轴．根据中心对称图形的定义，D图形是中心对称图形，根据轴对称图形的定义，得图形A，B，C，D都是轴对称图形，∴既是轴对称图形是中心对称图形的是D.故选D.4．(2018·嘉兴)将一张正方形纸片按如图31­1步骤①②沿虚线对折两次，然后沿③中平行于底边的虚线剪去一个角，展开铺平后的图形是()图31­1A5．(2017·河北)图31­2①②中所有的小正方形都全等，将图①的正方形放在图②中①②③④的某一个位置，使它与原来的7个小正方形组成的图形是中心对称图形，这个位置是()A．①B．②C．③D．④C图31­26．(2019·邵阳)如图31­3，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝36°，AD是斜边BC上的中线，将△ACD沿AD对折，使点C落在点F处，线段DF与AB相交于点E，则∠BED等于()图31­3A．120°B．108°C．72°D．36°B【解析】∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝36°，∴∠C＝90°－∠B＝54°.∵AD是斜边BC上的中线，∴AD＝BD＝CD，∴∠BAD＝∠B＝36°，∠DAC＝∠C＝54°，∴∠ADC＝180°－∠DAC－∠C＝72°.∵将△ACD沿AD对折，使点C落在点F处，∴∠ADF＝∠ADC＝72°，∴∠BED＝∠BAD＋∠ADF＝36°＋72°＝108°.故选B.7．(2018·新疆)如图31­4，P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上的一个动点，M，N分别是AB，BC边上的中点，则MP＋PN的最小值是()A.12B．1C．2D．2B图31­4【解析】如答图，作点M关于AC的对称点M′，连接M′N，交AC于点P，此时MP＋NP有最小值，最小值为M′N的长．第7题答图∵菱形ABCD关于AC对称，M是AB边上的中点，∴M′是AD的中点．又∵N是BC边上的中点，∴AM′∥BN，AM′＝BN.∴四边形ABNM′是平行四边形．∴M′N＝AB＝1.即MP＋NP的最小值为1.故选B.8．有下列图形：①圆；②等腰三角形；③正方形；④正五边形．其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是.(填写序号)①③9．(2018·常德)如图31­5，将矩形ABCD沿EF折叠，使点B落在AD边上的点G处，点C落在点H处．已知∠DGH＝30°，连接BG，则∠AGB＝.图31­575°【解析】由折叠的性质可知，GE＝BE，∠EGH＝∠ABC＝90°，∴∠EBG＝∠EGB.∴∠EGH－∠EGB＝∠EBC－∠EBG，即∠BGH＝∠GBC.又∵AD∥BC，∴∠AGB＝∠GBC.∴∠AGB＝∠BGH.∵∠DGH＝30°，∴∠AGH＝150°.∴∠AGB＝12∠AGH＝75°.10．(2017·黑龙江)如图31­6，是边长为4的正方形ABCD，P是对角线BD上一动点，点E在边CD上，EC＝1，则PC＋PE的最小值是.图31­65【解析】如答图，连接AC，AE.∵四边形ABCD是正方形，∴点A，C关于直线BD对称．∴AE的长即为PC＋PE的最小值．∵CD＝4，CE＝1，∴DE＝3.在Rt△ADE中，由勾股定理，得AE＝AD2＋DE2＝42＋32＝5.∴PC＋PE的最小值为5.第10题答图11．(2018·荆州)如图31­7，对折矩形纸片ABCD，使AB与DC重合，得到折痕MN，将纸片展平；再一次折叠，使点D落到MN上的点F处，折痕AP交MN于E；延长PF，交AB于点G.求证：图31­7(1)△AFG≌△AFP；(2)△APG为等边三角形．证明：(1)由折叠，可得M，N分别为AD，BC的中点．∴DC∥MN∥AB.∴F为PG的中点，即PF＝GF.由折叠，可得∠PFA＝∠D＝90°，∠1＝∠2.∴∠AFP＝∠AFG＝90°.在△AFP和△AFG中，PF＝GF，∠AFP＝∠AFG，AF＝AF，∴△AFP≌△AFG(SAS)．(2)∵△AFP≌△AFG，∴AP＝AG.∵AF⊥PG，∴∠2＝∠3.∵∠1＝∠2，∠DAB＝90°，∴∠1＝∠2＝∠3＝30°.∴∠2＋∠3＝60°，即∠PAG＝60°.∴△APG为等边三角形．12．(2019·北部湾)如图31­8，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(2，－1)，B(1，－2)，C(3，－3)．图31­8(1)将△ABC向上平移4个单位得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；(2)请画出与△ABC关于y轴对称的△A2B2C2；(3)请写出A1，A2的坐标．解：(1)如答图，△A1B1C1即为所求．第12题答图(2)如答图，△A2B2C2即为所求．(3)A1(2,3)，A2(－2，－1)．13．(2018·荆门)如图31­9，在