2020中考数学大一轮复习课件24：矩形、菱形、正方形

第二部分图形与几何考点梳理归类探究课时作业第七单元四边形第24课时矩形、菱形、正方形考点梳理考点1矩形[核心考点]定义有一个角是的平行四边形叫做矩形．性质(1)矩形具有平行四边形的所有性质；(2)矩形的四个角都是角；(3)矩形的对角线互相平分且；(4)矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形．直角直相等判定(1)有一个角是的平行四边形是矩形；(2)有三个角是的四边形是矩形；(3)对角线的平行四边形是矩形．拓展(1)矩形的两条对角线把矩形分成四个面积相等的等腰三角形；(2)矩形的面积＝长×宽.直角直角相等考点2菱形[核心考点]定义有一组相等的平行四边形叫做菱形．性质(1)菱形具有平行四边形的所有性质；(2)菱形的四条边；(3)菱形的两条对角线互相，并且每条对角线平分；(4)菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形．邻边相等垂直平分一组对角判定(1)有一组相等的平行四边形是菱形；(2)四条边的四边形是菱形；(3)对角线互相的平行四边形是菱形．拓展(1)菱形的两条对角线将菱形分成四个全等的直角三角形；(2)菱形的面积等于两条对角线乘积的.【温馨提示】菱形的面积计算公式为S菱形＝对角线的乘积2，可以推广到任意对角线互相垂直的四边形，即对角线互相垂直的四边形的面积等于两条对角线乘积的一半．邻边相等垂直一半同时，利用面积找等量关系是求线段或探究线段之间数量关系的常用方法．【易错提醒】对角线相等且互相垂直的四边形不一定是菱形，如图24­1所示的四边形ABCD不是菱形．图24­1考点3正方形[核心考点]定义有一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．性质(1)正方形具有平行四边形的所有性质；(2)正方形的四条边；(3)正方形的四个角都是；(4)正方形的对角线相等且互相，每条对角线平分一组对角；(5)正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形．相等直角垂直平分判定(1)有一组邻边相等的形是正方形；(2)有一个角是直角的形是正方形．拓展正方形的两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形.[核心考点解读]平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系：矩菱归类探究类型之一菱形的性质与判定1(2018·南宁)如图24­2，在▱ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为点E，F，且BE＝DF.(1)求证：▱ABCD是菱形；(2)若AB＝5，AC＝6，求▱ABCD的面积．图24­2(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D.∵AE⊥BC，AF⊥DC，∴∠AEB＝∠AFD＝90°.又∵BE＝DF，∴△AEB≌△AFD(ASA)，∴AB＝AD，∴▱ABCD是菱形．例1答图(2)解：如答图，连接BD交AC于点O.由(1)知，四边形ABCD是菱形，AC＝6，∴AC⊥BD，AO＝OC＝12AC＝3.在Rt△AOB中，BO＝AB2－AO2＝52－32＝4，∴BD＝2BO＝8，∴S菱形ABCD＝12AC·BD＝12×6×8＝24.【点悟】1.证明一个四边形是菱形的基本思路：(1)若四边形(或可证)为平行四边形，则再证一组邻边相等或对角线互相垂直；(2)若相等的边较多(或容易证出)，可证四条边相等．2．利用菱形的性质解题的基本思路：(1)菱形的对角线将菱形分成四个全等的直角三角形，可将菱形问题转化为直角三角形的问题去解决；(2)有一个内角为60°(或120°)的菱形，连接对角线可构成等边三角形，可将菱形问题转化到等边三角形中去解决．【变式训练】1．(2019·岳阳)如图24­3，在菱形ABCD中，E，F分别为AD，CD边上的点，DE＝DF，求证：∠1＝∠2.图24­3证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD.在△ADF和△CDE中，AD＝CD，∠D＝∠D，DF＝DE，∴△ADF≌△CDE(SAS)．∴∠1＝∠2.类型之二矩形的性质与判定2(2019·怀化)已知：如图24­4，在▱ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，E，F分别为垂足．图24­4求证：(1)△ABE≌△CDF；(2)四边形AECF是矩形．证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∠B＝∠D.∵AE⊥BC，CF⊥AD，∴∠AEB＝∠CFD＝90°.∴△ABE≌△CDF(AAS)．(2)∵△ABE≌△CDF，∴BE＝DF.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC.∴AF∥CE，AF＝CE.∴四边形AECF是平行四边形．∵AE⊥BC，∴∠AEC＝90°.∴四边形AECF是矩形．【点悟】1.证明一个四边形是矩形的基本思路：(1)若四边形(或可证)为平行四边形，则再证一个角是直角或对角线相等；(2)若直角较多，可证三个角是直角．2．利用矩形的性质解题的基本思路：(1)矩形的四个角都是直角，可将矩形问题转化为直角三角形的问题去解决；(2)对角线将矩形分成四个面积相等的等腰三角形，可将矩形问题转化为等腰三角形的问题去解决．【变式训练】2．(2018·香坊)如图24­5①，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，经过点O的直线与边AB相交于点E，与边CD相交于点F.①②图24­5(1)求证：OE＝OF；(2)如图24­5②，连接DE，BF，当DE⊥AB时，在不添加其他辅助线的情况下，直接写出腰长等于12BD的所有的等腰三角形．(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，AB∥CD，∴∠OAE＝∠OCF.在△AOE和△COF中，∠OAE＝∠OCF，OA＝OC，∠AOE＝∠COF，∴△AOE≌△COF(ASA)，∴OE＝OF.(2)解：由(1)知，OE＝OF.∵OB＝OD，∴四边形DEBF是平行四边形．∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°，∴平行四边形DEBF是矩形，∴BD＝EF，∴OD＝OB＝OE＝OF＝12BD，∴腰长等于12BD的所有的等腰三角形为△DOF，△FOB，△EOB，△DOE.类型之三正方形的性质与判定3(2019·防城港模拟)如图24­6，在▱ABCD中，点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，DA上，AE＝CG，AH＝CF，且EG平分∠HEF.图24­6(1)求证：△AEH≌△CGF.(2)若∠EFG＝90°.求证：四边形EFGH是正方形．证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C.在△AEH和△CGF中，AE＝CG，∠A＝∠C，AH＝CF，∴△AEH≌△CGF(SAS)．(2)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AB＝CD，∠B＝∠D.∵AE＝CG，AH＝CF，∴EB＝DG，HD＝BF.∴△BEF≌△DGH(SAS)，∴EF＝HG.又∵△AEH≌△CGF，∴EH＝GF.∴四边形HEFG为平行四边形．∴EH∥FG，∴∠HEG＝∠FGE.∵EG平分∠HEF，∴∠HEG＝∠FEG，∴∠FGE＝∠FEG，∴EF＝GF.又∵∠EFG＝90°，∴平行四边形EFGH是正方形．【点悟】证明一个四边形是正方形可按以下三步进行：(1)先证明它是平行四边形；(2)再证明有一组邻边相等(或有一个角是直角)；(3)最后证明它有一个角是直角(或有一组邻边相等)．【变式训练】3．(2019·长沙)如图24­7，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AD，CD上，且DE＝CF，AF与BE相交于点G.图24­7(1)求证：BE＝AF；(2)若AB＝4，DE＝1，求AG的长．(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAE＝∠ADF＝90°，AB＝AD＝CD.∵DE＝CF，∴AE＝DF.在△BAE和△ADF中，BA＝AD，∠BAE＝∠ADF，AE＝DF，∴△BAE≌△ADF(SAS)．∴BE＝AF.(2)解：由(1)得△BAE≌△ADF，∴∠EBA＝∠FAD.∵∠EBA＋∠AEG＝90°，∴∠FAD＋∠AEG＝90°，∴∠AGE＝90°.∵AB＝4，DE＝1，∴AE＝3，∴BE＝AB2＋AE2＝5.在Rt△ABE中，12AB·AE＝12BE·AG，∴AG＝4×35＝125.课时作业1．(2019·攀枝花)下列说法错误的是()A．平行四边形的对边相等B．对角线相等的四边形是矩形C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形D．正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形B【解析】对角线相等的四边形不一定是矩形，如等腰梯形．故选B.2．(2019·娄底)顺次连接菱形四边中点得到的四边形是()A．平行四边形B．菱形C．矩形D．正方形C【解析】如答图．在菱形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，第2题答图∴EH∥FG∥BD，EH＝FG＝12BD.EF∥HG∥AC，EF＝HG＝12AC，故四边形EFGH是平行四边形．又∵AC⊥BD，∴EH⊥EF，∠HEF＝90°，∴四边形EFGH是矩形．故选C.3．(2018·淮安)如图24­1，菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6和8，则这个菱形的周长是()图24­1A．20B．24C．40D．48A【解析】由菱形对角线性质知，AO＝12AC＝3，BO＝12BD＝4，且AO⊥BO，则AB＝AO2＋BO2＝5，故这个菱形的周长为4AB＝20.故选A.图24­24．(2018·遵义)如图24­2，P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于点E，F，连接PB，PD.若AE＝2，PF＝8，则图中阴影部分的面积为()A．10B．12C．16D．18C【解析】如答图，过点P作MN⊥AD于点M，交BC于点N，第4题答图则有四边形AEPM、四边形DFPM、四边形CFPN、四边形BEPN都是矩形，∴S△ADC＝S△ABC，S△AMP＝S△AEP，S△PBE＝S△PBN，S△PFD＝S△PDM，S△PFC＝S△PCN，∴S△DFP＝S△PBE＝12×2×8＝8，∴S阴影部分＝8＋8＝16.故选C.5．(2018·黔南州)已知一个菱形的边长为2，较长的对角线长为23，则这个菱形的面积是.6．(2018·广州)如图24­3，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为(3,0)，(－2,0)，点D在y轴上，则点C的坐标是．图24­323(－5,4)【解析】∵菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为(3,0)，(－2,0)，点D在y轴上，∴AB＝5，∴AD＝5，∴由勾股定理知，OD＝AD2－OA2＝52－32＝4，∴点C的坐标是(－5,4)．7．(2019·百色)四边形具有不稳定性．如图24­4，矩形ABCD按箭头方向变形成▱A′B′C′D′，当变形后图形面积是原图形面积的一半时，则∠A′＝.图24­430°8．(2019·天津)如图24­5，正方形纸片ABCD的边长为12，E是边CD上一点，连接AE，折叠该纸片，使点A落在AE上的G点，并使折痕经过点B，得到折痕BF，点F在AD上．若DE＝5，则GE的长为.图24­54913【解析】由正方形ABCD可得∠D＝90°，由于AD＝12，DE＝5.由勾股定理，可得AE＝13.由折叠可知，BF垂直平分AG，∴∠ABF＝∠DAE.又∵AB＝DA，∠BAF＝∠D＝90°，可以证明△ABF≌△DAE，得出AF＝DE＝5.设BF，AE交于点M，根据sin∠FAM＝sin∠EAD，可得FM＝2513.在Rt△AFM中，再由勾股定理，得AM＝6013，由于折叠可知，MG＝AM＝6013，从而可求得GE＝13－6013－6013＝4913.9．(2018·遂宁)如图24­6，在▱ABCD中，E，F分别是AD，BC上的点，且DE＝BF，AC⊥EF.求证：四边形AECF是菱形．图24­6证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC.∵DE＝BF，∴AE＝CF.∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形．∵AC⊥EF，∴平行四边形AECF是菱形．10．(2019·宁波)如图24­7，矩形EFGH的顶点E，G分别在菱形ABCD的边AD，BC上，顶点F，H在菱形ABCD的对角线BD上．(1)求证：BG＝DE；(2)若E为AD中点，FH＝2，求菱形ABCD的周长．图24­7(1)证明：在矩形EFGH中，EH＝GF，EH∥FG，∠GFH＝∠