2020中考数学大一轮复习课件08：分式方程

第一部分数与代数考点梳理归类探究课时作业第三单元方程(组)与不等式(组)第8课时分式方程考点梳理考点1分式方程及解法[核心考点]定义分母里含有的方程叫做分式方程．解法解分式方程的基本思路是将分式方程转化为方程．基本步骤：(1)去分母，在方程的两边同时乘，化成整式方程．(2)解这个整式方程．(3)验根．把整式方程的根代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则它是原分式方程的解；如果最简公分母等于0，那么它是增根，原分式方程无解.未知数整式最简公分母【易错提醒】解分式方程常见的错误：(1)忘记验根；(2)去分母时漏乘整式的项；(3)去分母和括号时，没有注意符号的变化．考点2分式方程的应用[核心考点]基本步骤审、设、列、解、验、答．常见类型分式方程的应用题主要包括工程问题、行程问题等，每个问题中涉及三个量的关系，如工作时间＝工作总量工作效率，时间＝路程速度等，如果工作总量或路程已知，另外的两个量又分别具有某种等量关系，通常可建立分式方程模型.【易错提醒】列分式方程解应用题的步骤跟列一次方程(组)解应用题的区别：要检验两次，既要检验求出来的解是否为原方程的根，又要检验是否符合实际意义．分式方程无解有可能是两种情况：一是去分母后的整式方程无解；二是整式方程有解，但整式方程的解使最简公分母为0，则分式方程也无解．归类探究类型之一分式方程的解法1(1)(2018·镇江)解方程：xx＋2＝2x－1＋1；(2)(2018·贺州)解分式方程：4x2－1＋1＝x－1x＋1.解：(1)方程两边同时乘(x－1)(x＋2)，得x(x－1)＝2(x＋2)＋(x－1)(x＋2)，解得x＝－12.检验：当x＝－12时，(x－1)(x＋2)≠0，∴x＝－12是原方程的解．(2)方程两边同时乘x2－1，得4＋x2－1＝x2－2x＋1，解得x＝－1.当x＝－1时，x2－1＝0，∴x＝－1是增根，∴原分式方程无解．【点悟】解分式方程去分母时，注意不要漏乘常数项，求解后要进行检验，这两项都是容易忽略的地方，要注意检查．【变式训练】1．(2019·自贡)解方程：xx－1－2x＝1.解：方程两边乘以x(x－1)得x2－2(x－1)＝x(x－1)，解得x＝2.检验：当x＝2时，x(x－1)≠0，∴x＝2是原分式方程的解．∴原分式方程的解为x＝2.2．(2018·南通)解方程：1x－2＝1－x2－x－3.解：方程两边同时乘x－2，得1＝x－1－3x＋6.解得x＝2.检验：当x＝2时，x－2＝0，∴x＝2是增根，∴原分式方程无解．类型之二分式方程的增根问题2(2018·潍坊)当m＝时，解分式方程x－5x－3＝m3－x会出现增根．2【解析】分式方程可化为x－5＝－m，由分母可知，分式方程的增根是3，当x＝3时，3－5＝－m，解得m＝2.【点悟】解决分式方程的增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0，确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．【变式训练】3．(2019·巴中)若关于x的分式方程xx－2＋2m2－x＝2m有增根，则m的值为.1【解析】解原分式方程，去分母，得x－2m＝2m(x－2)，若原分式方程有增根，则x＝2，将其代入这个一元一次方程，得2－2m＝2m(2－2)，解得m＝1.类型之三已知方程解的情况，求方程中待定字母的值或取值范围3(2018·眉山)已知关于x的分式方程xx－3－2＝kx－3有一个正数解，则k的取值范围为.k6且k≠3【解析】xx－3－2＝kx－3，方程两边同乘(x－3)，得x－2(x－3)＝k，解得x＝6－k≠3.∵关于x的方程xx－3－2＝kx－3有一个正数解，∴x＝6－k0，∴k6且k≠3，∴k的取值范围是k6且k≠3.故答案为k6且k≠3.【点悟】解含有未知字母的分式方程时，通常先将它化为整式方程，把未知数用待定字母表示，且考虑分式方程的增根情况(如本题中要求x－3≠0)，进而得到关于待定字母的不等式(组)再求解．【变式训练】4．(2017·荆州)若关于x的分式方程k－1x＋1＝2的解为负数，则k的取值范围为.k3且k≠1【解析】去分母，得k－1＝2x＋2，解得x＝k－32.由分式方程的解为负数，得k－320，且x＋1≠0，即k－32≠－1，解得k3且k≠1，∴k的取值范围为k3且k≠1.类型之四分式方程的应用4(2018·山西)2018年1月20日，山西迎来了“复兴号”列车，与“和谐号”相比，“复兴号”列车时速更快，安全性更好．已知“太原南－北京西”全程大约500km，“复兴号”G92次列车平均每小时比某列“和谐号”列车多行驶40km，其行驶时间是该列“和谐号”列车行驶时间的45(两列车中途停留时间均除外)．经查询，“复兴号”G92次列车从太原南到北京西，中途只有石家庄一站，停留10min.求乘坐“复兴号”G92次列车从太原南到北京西需要多长时间．图8­1解：设“复兴号”G92次列车从太原南到北京西的行驶时间需要xh，则“和谐号”列车的行驶时间需要54xh，根据题意，得500x＝50054x＋40，解得x＝52.经检验，x＝52是原分式方程的解，且符合题意，∴x＋16＝83.答：乘坐“复兴号”G92次列车从太原南到北京西需要83h.【点悟】用列方程解决行程问题，无论是整式方程还是分式方程，列方程所依据的基本等量关系式都是“路程＝速度×时间”，具体解题时，要根据题目的情况选择这个关系式的不同形式．注意：解分式方程的应用题时，要检验．【变式训练】5．(2019·达州)端午节前后，张阿姨两次到超市购买同一种粽子，节前，按标价购买，用了96元；节后，按标价的6折购买，用了72元，两次一共购买了27个，这种粽子的标价是多少？解：设粽子的标价是x元，则节后价格为0.6x元．根据题意，得96x＋720.6x＝27，解得x＝8.经检验：x＝8是原分式方程的解，且符合题意．答：这种粽子的标价是8元．课时作业1．(2019·淄博)解分式方程1－xx－2＝12－x－2时，去分母变形正确的是()A．－1＋x＝－1－2(x－2)B．1－x＝1－2(x－2)C．－1＋x＝1＋2(2－x)D．1－x＝－1－2(x－2)D【解析】方程两边同乘以x－2，得1－x＝－1－2(x－2)．故选D.2．(2019·百色)方程1x＋1＝1的解是()A．无解B．x＝－1C．x＝0D．x＝1C【解析】∵分式分母不为0，∴x不等于－1，去分母，方程两边同乘以x＋1，得1＝x＋1，解得x＝0.故选C.3．(2018·德州)分式方程xx－1－1＝3x－1x＋2的解为()A．x＝1B．x＝2C．x＝－1D．无解D【解析】去分母，得x2＋2x－x2－x＋2＝3，解得x＝1.经检验，x＝1是增根，原分式方程无解．故选D.4．(2019·广州)甲、乙二人做某种机械零件，已知甲每小时比乙少做8个，甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等，设甲每小时做x个零件，下列方程正确的是()A.120x＝150x－8B．120x＋8＝150xC.120x－8＝150xD．120x＝150x＋8D【解析】甲每小时做x个零件，则乙每小时做(x＋8)个零件．∵甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等，∴120x＝150x＋8.5．(2019·岳阳)分式方程1x＝2x＋1的解为x＝.6．(2019·滨州)方程x－3x－2＋1＝32－x的解是.1【解析】去分母，得x＋1＝2x，解得x＝1，经检验x＝1是原分式方程的解．x＝1【解析】去分母，得x－3＋x－2＝－3，解得x＝1.当x＝1时，x－2≠0，∴x＝1是原分式方程的解．7．(2017·宿迁)若关于x的分式方程mx－2＝1－x2－x－3有增根，则实数m的值是.1【解析】去分母，得m＝x－1－3(x－2)，由分式方程有增根，得x－2＝0，即x＝2，把x＝2代入上面的整式方程可得m＝1.8．(2017·泸州)若关于x的分式方程x＋mx－2＋2m2－x＝3的解为正实数，则实数m的取值范围是.m6且m≠2【解析】x＋mx－2＋2m2－x＝3，x＋mx－2－2mx－2＝3，x＋m－2m＝3x－6，x＝6－m2.由题意，得x＝6－m20，解得m6.又∵x＝6－m2≠2，∴m≠2，∴m6且m≠2.9．小明解方程1x－x－2x＝1的过程如下，请指出他解答过程中的错误，并写出正确的解答过程．解：方程两边同乘x，得1－(x－2)＝1，①去括号，得1－x－2＝1，②合并同类项，得－x－1＝1，③移项，得－x＝2，④解得x＝－2，⑤∴原分式方程的解为x＝－2.⑥解：小明的解法有三处错误：步骤①去分母有误；步骤②去括号有误；步骤⑥少检验．正确解法：方程两边同乘x，得1－(x－2)＝x，去括号，得1－x＋2＝x，移项，得－x－x＝－1－2，合并同类项，得－2x＝－3，解得x＝32.经检验，x＝32是分式方程的解，∴原分式方程的解为x＝32.10．(2019·无锡)解方程：1x－2＝4x＋1.解：去分母得x＋1＝4(x－2)，解得x＝3，经检验x＝3是原分式方程的解．11．(2017·泰州)解方程：x＋1x－1＋41－x2＝1.解：方程两边同乘(x2－1)，得x2＋2x＋1－4＝x2－1，移项、合并同类项，得2x＝2，解得x＝1.检验：当x＝1时，x2－1＝0，∴x＝1是增根，∴原分式方程无解．12．(2018·岳阳)为落实党中央“长江大保护”新发展理念，我市持续推进长江岸线保护，还洞庭湖和长江水清岸绿的自然生态原貌．某工程队负责对一面积为33000m2的非法砂石码头进行拆除，回填土方和复绿施工，为了缩短工期，该工程队增加了人力和设备，实际工作效率比原计划每天提高了20%，结果提前11天完成任务．求实际平均每天施工多少平方米．解：设原计划平均每天施工xm2.根据题意，得33000x－330001＋20%x＝11，解得x＝500.经检验，x＝500是原分式方程的解，且符合题意．∴实际平均每天施工为500×(1＋20%)＝600(m2)．答：实际平均每天施工600m2.13．(2019·湘西州)列方程解应用题：某列车平均提速80km/h，用相同的时间，该列车提速前行驶300km，提速后比提速前多行驶200km，求该列车提速前的平均速度．解：设该列车提速前的平均速度为xkm/h，则提速后的平均速度为(x＋80)km/h，依题意，得300x＝300＋200x＋80，解得x＝120，经检验，x＝120是原方程的解，且符合题意．答：该列车提速前的平均速度为120km/h.14．(2018·广东)某公司购买了一批A，B型芯片，其中A型芯片的单价比B型芯片的单价少9元，已知该公司用3120元购买A型芯片的条数与用4200元购买B型芯片的条数相等．(1)求该公司购买的A，B型芯片的单价各是多少元；(2)若两种芯片共购买了200条，且购买的总费用为6280元，求购买了多少条A型芯片．解：(1)设B型芯片的单价为x元/条，则A型芯片的单价为(x－9)元/条．根据题意，得3120x－9＝4200x，解得x＝35.经检验，x＝35是原方程的解，且符合题意．∴x－9＝26.答：A型芯片的单价为26元/条，B型芯片的单价为35元/条．(2)设购买了a条A型芯片，则购买了(200－a)条B型芯片．根据题意，得26a＋35(200－a)＝6280，解得a＝80.答：购买了80条A型芯片．15．(2019·巴中)在”扶贫攻坚”活动中，某单位计划选购甲、乙两种物品慰问贫困户，已知甲物品的单价比乙物品的单价高10元，若用500元单独购买甲物品与450元单独购买乙物品的数量相同．(1)请问甲、乙两种物品的单价各为多少？(2)如果该单位计划购买甲、乙两种物品共55件，总费用不少于5000元且不超过5050元，通过计算得出共有几种选购方案？解：(1)设甲物品的单价为x元，则乙物品的单价为(x－10)元．根据题意，得500x＝450x－10，解得x＝100.经检验，x＝100是原分式方程的解，且符合题意．∴x－10＝90.答