2020中考数学大一轮复习课件04：因式分解

第一部分数与代数考点梳理归类探究课时作业第二单元代数式第4课时因式分解考点梳理考点因式分解[核心考点]定义把一个多项式化成几个整式的的形式，这种变形叫做多项式的因式分解．方法提公因式法am＋bm＋cm＝．公式法平方差公式：a2－b2＝．完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝，a2－2ab＋b2＝.二次三项式法x2＋(p＋q)x＋pq＝．积m(a＋b＋c)(a＋b)(a－b)(a＋b)2(a－b)2(x＋p)(x＋q)步骤一提：若有公因式，应先；二套：看是否可套用；三查：检查各因式能否继续分解.提公因式公式【易错提醒】因式分解一定要分解彻底，如分解因式2x3－8x，若分解的结果为2x(x2－4)，这是不正确的，因为x2－4还能利用平方差公式进行分解，正确的结果应该为2x(x＋2)(x－2)．归类探究类型之一因式分解的方法1(1)(2019·无锡)分解因式4x2－y2的结果是()A．(4x＋y)(4x－y)B．4(x＋y)(x－y)C．(2x＋y)(2x－y)D．2(x＋y)(x－y)C(2)(2019·株洲)下列各选项中因式分解正确的是()A．x2－1＝(x－1)2B．a3－2a2＋a＝a2(a－2)C．－2y2＋4y＝－2y(y＋2)D．m2n－2mn＋n＝n(m－1)2(3)(2018·温州)分解因式：a2－5a＝．(4)(2019·岳阳)分解因式：ax－ay＝．Da(a－5)a(x－y)(5)(2018·哈尔滨)把多项式x3－25x分解因式，结果是．(6)(2019·眉山)分解因式：3a3－6a2＋3a＝.(7)分解因式：4＋12(x－y)＋9(x－y)2＝.(8)把多项式(a－b)(a－4b)＋ab分解因式，结果是.x(x＋5)(x－5)3a(a－1)2(3x－3y＋2)2(a－2b)2【解析】(1)4x2－y2＝(2x－y)(2x＋y)．故选C.(2)A.x2－1＝(x＋1)(x－1)，此选项错误；B．a3－2a2＋a＝a(a－1)2，此选项错误；C．－2y2＋4y＝－2y(y－2)，此选项错误；D．m2n－2mn＋n＝n(m－1)2，此选项正确．选D.(3)提公因式法，a2－5a＝a(a－5)．(4)提公因式法，ax－ay＝a(x－y)．(5)先提公因式x，再运用平方差公式，x3－25x＝x(x2－25)＝x(x＋5)(x－5)．(6)先提公因式3a，再运用完全平方公式，原式＝3a(a2－2a＋1)＝3a(a－1)2.(7)把(x－y)看成一个整体，运用完全平方公式，原式＝[2＋3(x－y)]2＝(3x－3y＋2)2.(8)先用乘法公式将(a－b)(a－4b)展开，与ab合并后，再运用完全平方公式，(a－b)(a－4b)＋ab＝a2－5ab＋4b2＋ab＝a2－4ab＋4b2＝(a－2b)2.【点悟】因式分解的关键是选择合适的方法．因式分解的步骤：一提(提公因式)、二套(套公式)、三查(检查是否分解彻底)．【变式训练】1．(2019·贺州)把多项式4a2－1分解因式，结果正确的是()A．(4a＋1)(4a－1)B．(2a＋1)(2a－1)C．(2a－1)2D．(2a＋1)2B【解析】4a2－1＝(2a＋1)(2a－1)．故选B.2．(2018·怀化)分解因式：ab＋ac＝．3．(2018·张家界)分解因式：a2＋2a＋1＝.4．(2019·深圳)分解因式：ab2－a＝．【解析】ab2－a＝a(b2－1)＝a(b＋1)(b－1)．a(b＋c)(a＋1)2a(b＋1)·(b－1)5．(2018·徐州)分解因式：2x2－8＝．6．(2019·长沙)分解因式：am2－9a＝．7．(2019·安徽芜湖二模)分解因式a3－6a2＋9a＝.8．(2018·杭州)分解因式：(a－b)2－(b－a)＝．2(x＋2)(x－2)【解析】2x2－8＝2(x2－4)＝2(x＋2)(x－2)．【解析】am2－9a＝a(m2－9)＝a(m＋3)(m－3)．【解析】a3－6a2＋9a＝a(a2－6a＋9)＝a(a－3)2.【解析】原式＝(a－b)2＋(a－b)＝(a－b)(a－b＋1)．a(m＋3)·(m－3)a(a－3)2(a－b)(a－b＋1)类型之二因式分解的应用2(1)(2018·菏泽)若a＋b＝2，ab＝－3，则代数式a3b＋2a2b2＋ab3的值为.(2)已知n为整数，试说明(n＋7)2－(n－3)2一定能被20整除．－12(1)【解析】∵a＋b＝2，ab＝－3，∴a3b＋2a2b2＋ab3＝ab(a2＋2ab＋b2)＝ab(a＋b)2＝－3×4＝－12.(2)解：∵(n＋7)2－(n－3)2＝[(n＋7)＋(n－3)][(n＋7)－(n－3)]＝20(n＋2)，∴(n＋7)2－(n－3)2一定能被20整除．【点悟】因式分解是研究代数式的基础，通过因式分解将多项式合理变形，是求代数式的值的常用方法，具体做法是根据题目的特点，先通过因式分解将式子变形，然后直接代入或整体代入求值．【变式训练】9．(2019·湘潭)若a＋b＝5，a－b＝3，则a2－b2＝.15【解析】∵a＋b＝5，a－b＝3，∴a2－b2＝(a＋b)(a－b)＝5×3＝15.10．设y＝kx，是否存在实数k，使得代数式(x2－y2)(4x2－y2)＋3x2(4x2－y2)能化简为x4？若能，请求出所有满足条件的k的值；若不能，请说明理由．【解析】先利用因式分解得到原式＝(4x2－y2)(x2－y2＋3x2)＝(4x2－y2)2，再把y＝kx代入得到原式＝(4x2－k2x2)2＝(4－k2)2x4，所以当4－k2＝±1时满足条件，然后解关于k的方程即可．解：能．∵(x2－y2)(4x2－y2)＋3x2(4x2－y2)＝(4x2－y2)(x2－y2＋3x2)＝(4x2－y2)2，∴当y＝kx时，原式＝(4x2－k2x2)2＝(4－k2)2x4.令4－k2＝±1，解得k＝±3或±5，即当k＝±3或±5时，原代数式可化简为x4.课时作业1．(2017·常德)下列各式由左到右的变形，属于分解因式的是()A．a(m＋n)＝am＋anB．a2－b2－c2＝(a－b)(a＋b)－c2C．10x2－5x＝5x(2x－1)D．x2－16＋6x＝(x＋4)(x－4)＋6xC2．(2019·安徽亳州模拟)下列各式中，能用完全平方公式因式分解的是()A．y2－x2＋2xyB．x2＋y2＋xyC．25y2＋15y＋9D．4x2＋9－12xD【解析】4x2＋9－12x＝(2x)2－2·2x·3＋32＝(2x－3)2.故选D.3．(2019·潍坊)下列因式分解正确的是()A．3ax2－6ax＝3(ax2－2ax)B．－x2＋y2＝(－x＋y)(－x－y)C．a2＋2ab＋4b2＝(a＋2b)2D．－ax2＋2ax－a＝－a(x－1)2D【解析】A．3ax2－6ax＝3ax(x－2)；B.－x2＋y2＝(－x＋y)(x＋y)；C.不能分解因式；D.正确．故选D.4．(2019·湘西州)分解因式：ab－7a＝．5．(2018·自贡)分解因式：ax2＋2axy＋ay2＝.6．(2019·张家界)分解因式：x2y－y＝．7．(2018·潍坊)分解因式：(x＋2)x－x－2＝．a(b－7)【解析】原式＝a(b－7)．a(x＋y)2【解析】原式＝a(x2＋2xy＋y2)＝a(x＋y)2.y(x＋1)·(x－1)【解析】原式＝y(x2－1)＝y(x＋1)(x－1)．(x＋2)(x－1)8．(2018·东营)分解因式：x3－4xy2＝．9．(2019·武威)因式分解：xy2－4x＝．10．(2018·威海)分解因式：－12a2＋2a－2＝.x(x＋2y)·(x－2y)【解析】原式＝x(x2－4y2)＝x(x＋2y)(x－2y)．x(y＋2)·(y－2)【解析】原式＝x(y2－4)＝x(y＋2)(y－2)．－12(a－2)2【解析】原式＝－12(a2－4a＋4)＝－12(a－2)2.11．(2019·淄博)分解因式：x3＋5x2＋6x＝．12．分解因式：x2－2x＋(x－2)＝．13．(2018·齐齐哈尔)分解因式：6(a－b)2＋3(a－b)．x(x＋3)(x＋2)【解析】x3＋5x2＋6x＝x(x2＋5x＋6)＝x(x＋3)(x＋2)．(x＋1)(x－2)【解析】原式＝x(x－2)＋(x－2)＝(x＋1)(x－2)．解：6(a－b)2＋3(a－b)＝3(a－b)[2(a－b)＋1]＝3(a－b)(2a－2b＋1)．14．(2017·山西)分解因式：(y＋2x)2－(x＋2y)2.15．已知a－b＝5，ab＝3，求代数式a3b－2a2b2＋ab3的值．解：原式＝[(y＋2x)＋(x＋2y)][(y＋2x)－(x＋2y)]＝3(x＋y)(x－y)．解：a3b－2a2b2＋ab3＝ab(a2－2ab＋b2)＝ab(a－b)2.把a－b＝5，ab＝3代入，原式＝3×25＝75.16．(2017·百色)用“十字相乘法”分解因式2x2－x－3的方法如下．(1)二次项系数：2＝1×2.(2)常数项：－3＝－1×3＝1×(－3)．图4­1是对“交叉相乘之和”的验算．图4­1①1×3＋2×(－1)＝1；②1×(－1)＋2×3＝5；③1×(－3)＋2×1＝－1；④1×1＋2×(－3)＝－5.(3)发现第③个“交叉相乘之和”的结果等于一次项系数－1.即(x＋1)(2x－3)＝2x2－3x＋2x－3＝2x2－x－3，则2x2－x－3＝(x＋1)(2x－3)．像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．仿照以上方法，分解因式：3x2＋5x－12＝．(x＋3)(3x－4)17．(2017·河北)已知任意五个连续整数的平方和是5的倍数．(1)(－1)2＋02＋12＋22＋32的结果是5的几倍？(2)设五个连续整数的中间一个数为n，写出它们的平方和，并说明是5的倍数．解：(1)(－1)2＋02＋12＋22＋32＝1＋0＋1＋4＋9＝15，∵15÷5＝3，∴(－1)2＋02＋12＋22＋32的结果是5的3倍．(2)设五个连续整数的中间一个数为n，则其余的四个整数分别是n－2，n－1，n＋1，n＋2.∴(n－2)2＋(n－1)2＋n2＋(n＋1)2＋(n＋2)2＝n2－4n＋4＋n2－2n＋1＋n2＋n2＋2n＋1＋n2＋4n＋4＝5n2＋10＝5(n2＋2)．∵n是整数，∴n2＋2是整数，∴五个连续整数的平方和是5的倍数．18．(2018·临安区)阅读下列题目的解题过程：已知a，b，c为△ABC的三边长，且满足a2c2－b2c2＝a4－b4，试判断△ABC的形状．解：∵a2c2－b2c2＝a4－b4，(①)∴c2(a2－b2)＝(a2＋b2)(a2－b2)，(②)∴c2＝a2＋b2，(③)∴△ABC是直角三角形．问：(1)上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号：；(2)错误的原因：；(3)本题正确的结论：．③没有考虑a＝b的情况△ABC是等腰三角形或直角三角形