2020中考数学大一轮复习课件18：三角形与全等

第二部分图形与几何考点梳理归类探究课时作业第六单元三角形第18课时三角形与全等考点梳理考点1三角形的有关概念及分类定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接而组成的图形叫做．分类：(1)按边分．三角形不等边三角形等腰三角形底边和腰不相等的三角形三角形等边三角形(2)按角分．三角形斜三角形钝角三角形直角三角形锐角三角形考点2三角形的角平分线、高、中线角平分线三角形一个角的平分线和这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的．三角形三条角平分线的交点，称为三角形的内心．高从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称高．三角形三条高的交点，称为三角形的垂心．中线在三角形中，连接一个顶点和它对边的线段叫做三角形的中线．三角形三条中线的交点，称为三角形的重心.角平分线垂线中点考点3三角形的中位线[核心考点]定义连接三角形两边的线段叫做三角形的中位线．定理三角形的中位线第三边，且等于.中点平行于第三边的一半[易错易混点]1.正确理解三角形的中线和中位线的概念，三角形的中线平分三角形的面积，三角形的中位线分得三角形两部分的面积比为1∶3.2．三角形的中位线与中线的区别图形线段条数主要区别中位线3连接两边中点的线段.3条中位线把三角形分成4个全等的三角形．中线3连接顶点和对边中点的线段.3条中线把三角形分成6个面积相等的三角形.考点4三角形三边的关系[核心考点]关系：(1)三角形任意两边之和大于第三边；(2)三角形任意两边之差小于第三边．注意：1.三角形的三边关系揭示了三条线段构成一个三角形的条件，要注意理解“任意”两字的含义．2．判断给定的三条线段能否组成三角形，只需判断两条较短线段的长度和是否大于最长线段的长度即可．考点5三角形的内角和定理及其推论[核心考点]定理三角形三个内角的和等于.推论1.三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．2．三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角.180°考点6角平分线的性质定理及其逆定理性质定理∠1＝∠2，PD⊥OA，PE⊥OB⇒逆定理PD＝PE，PD⊥OA，PE⊥OB⇒PD＝PE∠1＝∠2性质全等三角形的对应边，对应角．判定判定1：三边分别相等的两个三角形全等(简写成“边边边”或“SSS”)．判定2：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等(简写成“边角边”或“SAS”)．判定3：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等(简写成“角边角”或“ASA”)．判定4：两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等(简写成“角角边”或“AAS”)．判定5：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(简写成“斜边、直角边”或“HL”).相等相等考点7全等三角形的性质与判定[核心考点]【易错提醒】AAA，SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．归类探究类型之一三角形三边的关系1(2019·台州)下列长度的三条线段，能组成三角形的是()A．3,4,8B．5,6,10C．5,5,11D．5,6,11B【点悟】把两条较短的线段的长度相加，如果大于最长的那条线段的长度，那么就能够组成三角形．【变式训练】1．(2017·白银)已知a，b，c是△ABC的三条边长，化简|a＋b－c|－|c－a－b|的结果为()A．2a＋2b－2cB．2a＋2bC．2cD．0D【解析】∵a，b，c为△ABC的三条边长，∴a＋b－c0，c－a－b0，∴原式＝a＋b－c＋(c－a－b)＝0.故选D.类型之二三角形的内角和定理及其推论2(1)(2018·南宁)如图18­1，∠ACD是△ABC的外角，CE平分∠ACD.若∠A＝60°，∠B＝40°，则∠ECD等于()A．40°B．45°C．50°D．55°C图18­1(2)(2018·黄石)如图18­2，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE，BF分别是∠BAC，∠ABC的平分线，∠BAC＝50°，∠ABC＝60°，则∠EAD＋∠ACD＝()A．75°B．80°C．85°D．90°A图18­2【解析】(1)∵∠A＝60°，∠B＝40°，∴∠ACD＝∠A＋∠B＝100°.∵CE平分∠ACD，∴∠ECD＝12∠ACD＝50°，故选C.(2)∵AD是BC边上的高，∠ABC＝60°，∴∠BAD＝30°.∵∠BAC＝50°，AE平分∠BAC，∴∠BAE＝25°，∴∠DAE＝30°－25°＝5°.∵在△ABC中，∠C＝180°－∠ABC－∠BAC＝70°，∴∠EAD＋∠ACD＝5°＋70°＝75°，故选A.【点悟】三角形的内角和定理及其推论是在三角形中进行角度计算和转换的基本工具，我们要学会灵活运用．【变式训练】2．(2019·眉山)如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，∠B＝30°，∠ADC＝70°，则∠C的度数是()图18­3A．50°B．60°C．70°D．80°C【解析】∵∠ADC＝70°，∠B＝30°，∴∠BAD＝∠ADC－∠B＝70°－30°＝40°.∵AD平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠BAD＝80°，∴∠C＝180°－∠B－∠BAC＝180°－30°－80°＝70°.故选C.类型之三三角形中位线的性质的运用3(2019·长沙)如图18­4，要测量池塘两岸相对的A，B两点间的距离，可以在池塘外选一点C，连接AC，BC，分别取AC，BC的中点D，E，测得DE＝50m，则AB的长是m.图18­4100【解析】∵D，E分别是AC，BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴AB＝2DE＝2×50＝100(m)．【点悟】三角形的中位线定理在证明两线平行关系和计算两线段数量关系时有着重要应用，因此，题目中有“中点”，要学会寻找或构造中位线，从而为解题创造条件．【变式训练】3．(2017·绥化)如图18­5，顺次连接腰长为2的等腰直角三角形各边中点得到第1个小三角形，再顺次连接所得的小三角形各边中点得到第2个小三角形，如此操作下去，则第n个小三角形的面积为.图18­5122n－1【解析】记原来三角形的面积为S，第1个小三角形的面积为S1，第2个小三角形的面积为S2，……∵S1＝14·S＝122·S，S2＝14·14S＝124·S，……∴Sn＝122n·S＝122n·12×2×2＝122n－1.类型之四三角形角平分线的性质的运用4(2018·大庆)如图18­6，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC＝110°，则∠MAB＝()A．30°B．35°C．45°D．60°B图18­6【解析】如答图，过点M作MN⊥AD于点N.∵DM平分∠ADC，MC⊥CD，MN⊥AD，∴MC＝MN.∵M是BC的中点，∴MC＝MB，∴MN＝MB.又∵MN⊥AD，MB⊥AB，∴AM平分∠DAB.∵∠B＝∠C＝90°，∴DC∥AB.∵∠ADC＝110°，∴∠DAB＝70°，∴∠MAB＝35°.故选B.例4答图【点悟】遇到角平分线，我们要想到两个结论：一是平分角(得到两个相等的角)；二是角平分线上的点到角的两边的距离相等(可用于证明线段相等)．【变式训练】4．(2018·广安)如图18­7，∠AOE＝∠BOE＝15°，EF∥OB，EC⊥OB于点C.若EC＝1，则OF＝.图18­72【解析】如答图，过点E作ED⊥OA于点D.变式训练4答图∵EF∥CO，∴∠EFA＝∠AOC＝∠AOE＋∠BOE＝30°.∵∠AFE是△OEF的外角，∴∠OEF＝∠AFE－∠AOE＝15°，∴∠OEF＝∠FOE，∴OF＝EF.∵OE是∠AOC的平分线，CE⊥OB，ED⊥OA，∴ED＝CE＝1.在Rt△EFD中，∠EFD＝30°，ED＝1，∴EF＝2ED＝2，∴OF＝2.类型之五全等三角形的判定与性质5(2018·昆明)如图18­8，在△ABC和△ADE中，AB＝AD，∠B＝∠D，∠1＝∠2.求证：BC＝DE.图18­8证明：∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠DAC＝∠2＋∠DAC，即∠BAC＝∠DAE.在△ABC和△ADE中，∠B＝∠D，AB＝AD，∠BAC＝∠DAE，∴△ABC≌△ADE(ASA)，∴BC＝DE.【点悟】1.三角形全等的证明思路：证三角形全等已知两边找夹角→SAS找直角→HL找另一边→SSS已知一边和一角边为角的对边→找任一角→AAS角的边为一边→找角的另一边→SAS找已知边所在的另一角→ASA找边的对角→AAS已知两角找夹边→ASA找不是夹边的任一边→AAS2．三角形全等的性质是证明线段相等、角相等的常用依据．在三角形中，遇到证明线段相等或角相等的问题，首先可以考虑判断两条线段或两个角所在的两个三角形是否全等．【变式训练】5．(2019·柳州)如图18­9，在▱ABCD中，全等三角形的对数共有()图18­9A．2对B．3对C．4对D．5对C【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC；OD＝OB，OA＝OC.∵OD＝OB，OA＝OC，∠AOD＝∠COB，∴△AOD≌△COB(SAS)．①同理，可得出△AOB≌△COD(SAS)．②∵BC＝DA，CD＝AB，BD＝DB，∴△CDB≌△ABD(SSS)．③同理，可得△ACD≌△CAB(SSS)．④因此共有4对全等三角形．6．(2019·临沂)如图18­10，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，FC∥AB.若AB＝4，CF＝3，则BD的长是()图18­10A．0.5B．1C．1.5D．2B【解析】∵CF∥AB，∴∠A＝∠FCE，∠ADE＝∠F.在△ADE和△CFE中，∠A＝∠FCE，∠ADE＝∠F，DE＝FE，∴△ADE≌△CFE(AAS)．∴AD＝CF＝3.∵AB＝4，∴BD＝AB－AD＝AB－CF＝4－3＝1.故选B.7．(2018·衡阳)如图18­11，已知线段AC，BD相交于点E，AE＝DE，BE＝CE.图18­11(1)求证：△ABE≌△DCE；(2)当AB＝5时，求CD的长．(1)证明：在△ABE和△DCE中，AE＝DE，∠AEB＝∠DEC，BE＝CE，∴△ABE≌△DCE(SAS)．(2)解：由(1)知△ABE≌△DCE，∴AB＝DC.∵AB＝5，∴CD＝5.课时作业1．(2018·贵阳)如图18­1，在△ABC中有四条线段DE，BE，EG，FG，其中有一条线段是△ABC的中线，则该线段是()B图18­1A．线段DEB．线段BEC．线段EGD．线段FG2．(2018·河北)下列图形具有稳定性的是()A3．(2017·长沙)一个三角形的三个内角的度数之比为1∶2∶3，则这个三角形一定是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形B【解析】设三角形的三个内角的度数分别为x,2x,3x，则x＋2x＋3x＝180°，解得x＝30°，则3x＝90°，∴这个三角形一定是直角三角形．故选B.4．(2019·自贡)已知三角形的两边长分别为1和4，第三边长为整数，则该三角形的周长为()A．7B．8C．9D．10C【解析】∵两边长为1和4，∴由三角形三边关系可知，第三边x的取值范围是4－1x1＋4，即3x5.又∵第三边长为整数，∴x＝4.∴该三角形的周长为1＋4＋4＝9.故选C.5．(2018·眉山)将一副直角三角尺按如图18­2所示的位置放置，使含30°角的三角尺的一条直角边和含45°角的三角尺的一条直角边放在同一条直线上，则∠α的度数是()A．45°B．60°C．75°D．85°C图18­2第5题答图【解析】如答图，∵∠ACD＝90°，∠F＝45°，∴∠CGF＝∠DGB＝45°，则∠α＝∠D＋∠DGB＝30°＋45°＝75°.故选C.6．(2018·东营)如图18­3，在Rt△ABC中，∠B＝90°，以顶点C为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，BC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于12EF的长为半径画弧，