2020中考数学大一轮复习课件15：二次函数的应用

第一部分数与代数考点梳理归类探究课时作业第四单元函数及其图象第15课时二次函数的应用考点梳理考点二次函数的应用[核心考点]1.利用二次函数表示实际问题中变量之间的关系，如投球、桥洞等问题．两种类型2.利用二次函数解决实际问题中的最优化问题(如面积最值、长度最值、商品利润最值等)，其实质就是利用二次函数的图象与性质求二次函数的最大值或最小值.；【易错提醒】在实际问题中求最值时，不一定在抛物线的顶点坐标处取得，因为自变量的取值往往受到了制约，要注意自变量的取值范围，要在允许的范围内取值．归类探究类型之一抛物线形问题1(2018·衢州)某游乐园有一个直径为16m的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心3m处达到最高，高度为5m，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合，如图15­1，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立平面直角坐标系．①②图15­1(1)求水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数解析式；(2)王师傅在水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8m的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？(3)经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到32m，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物(高度不变)处汇合．请探究扩建改造后水柱的最大高度．解：(1)∵抛物线的顶点为(3,5)，∴设y＝a(x－3)2＋5，将(8,0)代入解析式，解得a＝－15，∴y＝－15(x－3)2＋5，即y＝－15x2＋65x＋165(0x8)．(2)当y＝1.8时，1.8＝－15x2＋65x＋165，解得x1＝7，x2＝－1(舍去)．答：王师傅必须站在离水池中心7m以内．(3)由y＝－15x2＋65x＋165可得原抛物线与y轴的交点为0，165.∵装饰物的高度不变，∴新抛物线也经过0，165.∵喷水柱的形状不变，∴a＝－15.∵直径扩大到32m，∴新抛物线过点(16,0)．设新抛物线的解析式为y新＝－15x2＋bx＋c(0x16)，将点0，165和(16,0)分别代入解析式，解得b＝3，c＝165，∴y新＝－15x2＋3x＋165，∴y新＝－15x－1522＋28920，当x＝152时，y新＝28920.答：扩建改造后水柱的最大高度为28920m.【点悟】利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或最值问题等．【变式训练】1．(2017·金华)甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，如图15­2，甲在O点正上方1m的P处发出一球，羽毛球飞行的高度y(m)与水平距离x(m)之间满足函数关系式y＝a(x－4)2＋h，已知点O与球网的水平距离为5m，球网的高度为1.55m.图15­2(1)当a＝－124时，①求h的值；②通过计算判断此球能否过网；(2)若甲发球过网后，羽毛球飞行到与点O的水平距离为7m，离地面的高度为125m的Q处时，乙扣球成功，求a的值．解：(1)①当a＝－124时，y＝－124(x－4)2＋h，将点P(0,1)代入，得－124×16＋h＝1，解得h＝53.②把x＝5代入y＝－124(x－4)2＋53，得y＝－124×(5－4)2＋53＝1.625.∵1.6251.55，∴此球能过网．(2)把(0,1)，7，125代入y＝a(x－4)2＋h，得16a＋h＝1，9a＋h＝125，解得a＝－15，h＝215，∴a＝－15.类型之二最值问题2(2018·扬州)“扬州漆器”名扬天下，某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天销售量y(件)与销售单价x(元/件)之间存在一次函数关系，如图15­3.图15­3(1)求y与x之间的函数解析式；(2)如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件，当销售单价为多少时，每天获取的利润最大？最大利润是多少？(3)该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出150元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于3600元，试确定该漆器笔筒销售单价的范围．解：(1)设y与x之间的函数解析式为y＝kx＋b.由题意，得40k＋b＝300，55k＋b＝150，解得k＝－10，b＝700，∴y＝－10x＋700，即y与x之间的函数解析式为y＝－10x＋700.(2)设利润为w元，由题意，得w＝(x－30)·y＝(x－30)(－10x＋700)＝－10x2＋1000x－21000＝－10(x－50)2＋4000.由－10x＋700≥240，得x≤46.∵－100，∴当x50时，w随x的增大而增大，∴当x＝46时，w最大＝－10×(46－50)2＋4000＝3840.答：当销售单价为46元/件时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元．(3)w－150＝－10x2＋1000x－21000－150＝3600，－10(x－50)2＝－250，x－50＝±5，x1＝55，x2＝45.如答图，例2答图由图象得当45≤x≤55时，捐款后每天剩余利润不低于3600元．答：该漆器笔筒销售单价的范围是45元/件到55元/件．【点悟】应用二次函数解决实际问题中的最优化问题，实际上就是求函数的最大值或最小值．解题时，要先根据题目提供的条件，确定函数关系式，并将它配方成顶点式y＝a(x－h)2＋k，再根据二次函数的性质和自变量的取值范围确定最大值或最小值．【变式训练】2．(2018·沈阳)如图15­4，一块矩形土地ABCD由篱笆围着，并且由一条与CD边平行的篱笆EF分开．已知篱笆的总长为900m(篱笆的厚度忽略不计)，当AB＝m时，矩形土地ABCD的面积最大．图15­4150【解析】设AB＝xm，矩形土地ABCD的面积为ym2.由题意，得y＝x·900－3x2＝－32(x－150)2＋33750.∵－320，∴该函数图象的开口向下，当x＝150时，该函数有最大值，即AB＝150m时，矩形土地ABCD的面积最大．3．(2019·衢州)某宾馆有若干间标准房，当标准房的价格为200元时，每天入住的房间数为60间，经市场调查表明，该宾馆每间标准房的价格在170～240元之间(含170元、240元)浮动时，每天入住的房间数(间)与每间标准房的价格x(元)的数据如下表：x/元y/间……19065200602105522050……图15­5(1)根据所给数据在坐标系中描出相应的点，并画出图象；(2)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；(3)设客房的日营业额为w(元)，若不考虑其他因素，问宾馆标准房的价格定为多少元时，客房的日营业额最大？最大为多少元？解：(1)如答图．变式训练3答图(2)设y＝kx＋b(k≠0)，把(200,60)和(220,50)分别代入，得200k＋b＝60，220k＋b＝50.解得k＝－12，b＝160.∴y＝－12x＋160(170≤x≤240)．(3)w＝x·y＝x·－12x＋160＝－12(x－160)2＋12800.∵a＝－120，∴当170≤x≤240时，w随x的增大而减小．故当x取170时，w有最大值，日营业额最大为12750元．课时作业1．(2017·泰安)如图15­1，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，点P从点A沿AC向点C以1cm/s的速度运动，同时点Q从点C沿CB向点B以2cm/s的速度运动(点Q运动到点B时两点均停止)．在运动过程中，四边形PABQ的最小面积为()C图15­1A．19cm2B．16cm2C．15cm2D．12cm2【解析】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，∴AC＝AB2－BC2＝6(cm)．设运动时间为ts(0t4)，则PC＝(6－t)cm，CQ＝2tcm，∴S四边形PABQ＝S△ABC－S△CPQ＝12AC·BC－12PC·CQ＝12×6×8－12(6－t)·2t＝t2－6t＋24＝(t－3)2＋15，∴当t＝3时，四边形PABQ的面积最小，最小面积为15cm2.故选C.2．(2018·绵阳)图15­2是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降2m时，水面宽度增加m.图15­242－4【解析】如答图，建立平面直角坐标系．第2题答图设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出，为AB的一半即2m，抛物线顶点C的坐标为(0,2)．通过以上条件可设顶点式y＝ax2＋2，将A点的坐标(－2,0)代入抛物线的解析式，得出a＝－0.5，∴抛物线的解析式为y＝－0.5x2＋2.当水面下降2m时，通过抛物线在图上的观察可转化为：当y＝－2时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y＝－2与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把y＝－2代入抛物线的解析式得出，即由－2＝－0.5x2＋2，解得x＝±22，故水面此时的宽度为42m，比原先增加了(42－4)m.3．(2018·滨州)如图15­3，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度y(m)与飞行时间x(s)之间具有函数关系y＝－5x2＋20x，请根据要求解答下列问题：图15­3(1)在飞行过程中，当小球的飞行高度为15m时，飞行的时间是多少？(2)在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？(3)在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？解：(1)当y＝15时，有－5x2＋20x＝15，化简，得x2－4x＋3＝0，因式分解，得(x－1)(x－3)＝0，故x＝1或x＝3，即飞行的时间是1s或3s.(2)飞出和落地的瞬间，高度都为0，故y＝0.∴0＝－5x2＋20x，解得x＝0或x＝4，∴小球从飞出到落地所用时间是4－0＝4(s)．(3)当x＝－b2a＝－202×－5＝2时，小球的飞行高度最大，最大高度为4ac－b24a＝4×－5×0－2024×－5＝20(m)．4．(2017·绍兴)某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠墙(墙足够长)，已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为50m．设饲养室的长为x(m)，占地面积为y(m2)．图15­4(1)如图15­4①，饲养室的长为多少时，占地面积最大？(2)如图15­4②，现要求在图中所示位置留2m宽的门，且仍使饲养室的占地面积最大，小敏说：“只要饲养室的长比(1)中的长多2m就行了．”请你通过计算，判断小敏的说法是否正确．解：(1)∵y＝x·50－x2＝－12(x－25)2＋6252，∴当x＝25时，y的值最大，即饲养室的长为25m时，占地面积最大．(2)∵y＝x·50－x－22＝－12(x－26)2＋338，∴当x＝26时，y的值最大，即饲养室的长为26m时，占地面积最大．∵26－25＝1≠2，∴小敏的说法不正确．5．(2019·毕节)某山区不仅有美丽风光，也有许多令人喜爱的土特产，为实现脱贫奔小康，某村组织村民加工包装土特产销售给游客，以增加村民收入．已知某种土特产每袋成本10元．试销阶段每袋的销售价x(元)与该土特产的日销售量y(袋)之间的关系如表：x/元152030…y/袋252010…若日销售量y是销售价x的一次函数，试求：(1)日销售量y(袋)与销售价x(元)的函数解析式；(2)假设后续销售情况与试销阶段效果相同，要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为多少元？每日销售的最大利润是多少元？解：(1)依题意，根据表格的数据，设日销售量y(袋)与销售价x(元)的函数解析式为y＝kx＋b，得25＝15k＋b，20＝20k＋b解得k＝－1，b＝40.故日销售量y(袋)与销售价x(元)的函数解