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第四章几何图形初步4.3.1角学习指南知识管理归类探究分层作业当堂测评学习指南★本节学习主要解决以下问题★1．角的有关概念及表示方法此内容为本节的重点．为此设计了【归类探究】中的例1，例4；【当堂测评】中的第1题；【分层作业】中的第1,2,4,5题．★教学目标★1．理解角的概念，掌握角的表示法．2．认识角的常用度量单位；并会进行度、分、秒的简单换算．学习指南★情景问题引入★小学的时候我们学习过角，对角有了一定的印象，在我们身边也存在很多的角，你还记得角的概念是怎么说的吗？观察图形，你能在图中找到角吗？知识管理1．角的概念定义：有公共端点的组成的图形叫做角，这个公共端点是角的，这两条射线是角的．旋转意义：角也可以看作由一条射线绕着它的端点而形成的图形．两条射线顶点两条边旋转2．角的表示方法表示方法图示适用范围注意点用三个大写字母所有角顶点字母在中间用一个大写字母顶点处只有一个角用顶点字母表示用数字或希腊字母所有角角的内部弧线加相应数字或希腊字母3.平角与周角平角：一条射线绕着它的端点旋转，当终边与始边成时，所成的角是平角．周角：一条射线绕着它的端点旋转(即终边和始边重合时)，所成的角是周角．一条直线360°4．度，分，秒的换算换算：1°＝′，1′＝″.说明：角的度量制除了以度、分、秒为单位的角度制外，还有制和密位制等．6060弧度5．作一个角等于已知角方法：(1)利用量角器可以度量角的大小并画出任意给定度数的角；(2)利用三角尺可以画出30°，45°，60°，90°等特殊角；(3)利用尺规作图画角．归类探究类型之一角的概念及表示方法如图4－3－1，以B为顶点的角有几个？以D为顶点的角有几个？分别把它们表示出来．(本题中不计平角和周角)图4－3－1解：以B为顶点的角有3个，分别是∠ABD，∠ABC，∠CBD.以D为顶点的角有4个，分别是∠ADE，∠EDC，∠ADB，∠BDC.类型之二角度的换算换算：(1)57.32°＝°′″；(2)27°14′24″＝°.57191227.24【解析】(1)先把0.32°化为分：0.32×60′＝19.2′，再把0.2′化为秒：0.2×60″＝12″，∴57.32°＝57°19′12″；(2)先把24″化为分：24″÷60＝0.4′，再把(14＋0.4)′化为度：14.4′÷60＝0.24°，∴27°14′24″＝27.24°.【点悟】从大单位向小单位转化或从小单位向大单位转化，要逐级进行，不能“越级”．类型之三时钟上的角度问题求2点15分，时针与分针的夹角的度数．解：时针每小时转30°，分针每分钟转6°.从零点至2点15分：时针转过的角度为214×30°＝67.5°，分针转过的角度为15×6°＝90°，∴其夹角的度数为90°－67.5°＝22.5°.【点悟】(1)利用这种方法可以算出任何时刻时针与分针的夹角；(2)若差大于180°，再用360°减差就是所求的角度；(3)关键在于明确时针每小时转30°，分针每分钟转6°.类型之四角的计数如图4－3－2，在锐角∠AOB内部，画1条射线，可得3个锐角；画2条不同射线，可得6个锐角；画3条不同射线，可得10个锐角；…；照此规律，画10条不同射线，可得锐角66个．图4－3－2【解析】画1条射线，可得12×3×2个锐角；画2条射线，可得12×4×3个锐角；画3条射线，可得12×5×4个锐角；…；画n条射线，可得12(n＋2)(n＋1)个锐角．当n＝10时，12(n＋2)(n＋1)＝12×12×11＝66.当堂测评1．下面给出的四个图形中的∠1能用三种方法来表示的是()C2．用度、分、秒表示30.26°正确的是()A．30°26′B．30°36′15″C．30°15′36″D．30°20′6″3．把15°48′36″化成以度为单位是()A．15.8°B．15.4836°C．15.81°D．15.36°CC4．换算：(1)98°30′18″＝°；(2)37.145°＝°′″.98.50537842分层作业1．如图4－3－3，下列表示角的方法错误的是()图4－3－3DA．∠1与∠AOB表示同一个角B．∠β表示的是∠BOCC．图中共有三个角：∠AOB，∠AOC，∠BOCD．∠AOC也可用∠O来表示2．[2016·阳谷期中]下列说法正确的是()A．平角是一条直线B．角的边越长，角越大C．大于直角的角叫做钝角D．两个锐角的和不一定是钝角3．下列各式中，角度互化正确的是()A．63.5°＝63°50′B．23°12′36″＝23.48°C．18°18′18″＝3.33°D．22.25°＝22°15′DD4．如图4－3－4，AE是一条直线，图中小于平角的角有()A．4个B．8个C．9个D．10个C图4－3－4图4－3－55．如图4－3－5，分别填出下列各角的另一种表示方法：∠α即，∠ABC即，∠ACE即，∠1即，∠ACD即，∠3即.∠AEC∠B∠2∠BCE∠β∠A或∠BAC或∠EAC6．计算：(1)278°＝°′″；(2)1.45°＝′；(3)12°15′36″＝°；(4)4230″＝′＝°.7.35直角＝°，22.5°＝平角．322308712.2670.51.17554188．[2017·莱州市期末]下列说法中正确的是()A．8时45分，时针与分针的夹角是30°B．6时30分，时针与分针重合C．3时30分，时针与分针的夹角是90°D．3时整，时针与分针的夹角是90°D【解析】8时45分时，时针与分针间有60－4560个大格，其夹角为30°×14＝7.5°，故8时45分时时针与分针的夹角是7.5°，错误；6时30分时，时针在6和7的中间，分针在6的位置，时针与分针不重合，错误；3时30分时，时针与分针间有2.5个大格，其夹角为30°×2.5＝75°，故3时30分时时针与分针的夹角不为直角，错误；3时整，时针与分针的夹角正好是30°×3＝90°，正确．9．4时10分，时针和分针的夹角是度．65【解析】4时10分，时针和分针相距2＋16＝136(个)大格，30°×136＝65°.10．某人下午六点多钟外出买东西，看手表上的时针与分针的夹角是110°，下午近7点回到家时，发现时针与分针的夹角又是110°，求这个人外出了多长时间．解：分针每分钟走6°，即分针的速度是6度/分钟，时针1小时走30°，则1分钟走0.5°，即时针的速度是0.5度/分钟．开始时分针在时针后面110°，后来是分针在时针前面110°，这是一个追及问题．设这个人外出了x分钟，则(6－0.5)x＝110＋110，解得x＝40，即这个人外出了40分钟．