灰色系统理论与建模

灰色系统理论与建模主讲:门可佩教授2009.03.16灰色系统理论基础1982年，中国学者邓聚龙教授创立的灰色系统理论，是一种研究少数据、贫信息不确定问题的新方法。灰色系统理论以“部分信息已知、部分信息未知”的“小样本”、“贫信息”不确定系统为研究对象，主要通过对部分已知信息的生成、开发，提取有价值的信息、实现对系统运行行为、演化规律的正确描述和有效监控。灰色系统模型对实验观测数据没有什么特别的要求和限制，因此应用领域十分宽广。GM(1,1)模型的一般过程1.累加生成。设为原始序列对进行一次累加生成，得生成序列其中,(0)X(0)(0)(0)(0)[(1),(2),,()]Xxxxn(1)(1)(1)(1)[(1),(2),,()]Xxxxn(0)X(1)(0)1()(),1,2,,kixkxiknGM(1,1)模型的一般过程2.建模。由构造背景值序列其中，一般取=0.5,建立白化方程(影子方程)为称之为GM(1,1)模型的原始形式(1)X(1)(1)(1)(1)[(2),(3),,()]Zzzzn(1)(1)(1)()(1)(1)()zkxkxk(2,3,,)kn(1)(1)dxaxbdtGM(1,1)模型的一般过程这里，符号GM(1,1)的含义如下：GM（1，1）GreyModel1阶方程1个变量将上式离散化，微分变差分，得到GM(1,1)微分方程如下：称之为GM(1,1)模型的基本形式。(0)(1)()()xkazkbGM(1,1)模型的一般过程其中a,b为待定系数，分别称之为发展系数和灰色作量,a的有效区间是(-2,1)。3.求解参数。应用最小二乘法可经下式得：其中,1ˆ(,)()TTTnaabBBBY(1)(1)(1)(1)(1)(1)11/2((1)(2)),11/2((2)(3)),11/2((1)()),xxxxBxnxn(0)(0)(0)[(2),(3),,()]nYxxxnGM(1,1)模型的一般过程4.建立预测公式(1)(0)(0)(1)(1)ˆ(1)((1))ˆˆˆ(1)(1)()akbbxkxeaaxkxkxkGM(1,1)模型的一般过程5.检验模型求出与之残差，相对误差求出原始数据平均值,残差平均值:(0)11()nkxxkn(0)(0)ˆ()()()ekxkxk(0)()100%()kekxk(0)()xk(0)ˆ()xk()ekkxe(0)21()1nkeeknGM(1,1)模型的一般过程求出原始数据方差与残差方差的均方差比值C和小误差概率p:当，，时，模型精度为一级。当发展系数时,则所建GM(1,1)模型则可用于中长期预测。21s22s2(0)2111[()]nksxkxn2(0)2211[()]nkseken0.35C0.95p(2,1)0.3aa且21Css(0)1{()0.6745}pPekes0.01kGM(1,1)模型的一般过程精度检验等级参照表相对误差关联度均方差比值小误差概率一级二级三级四级0.010.050.100.200.900.800.700.600.350.500.650.800.950.800.700.6000C0p例题设原始序列为：试用GM(1,1)模型对进行模拟。(0)(0)(0)(0)(0)(0)((1),(2),(3),(4),(5))Xxxxxx(0)X(2.874,3.278,3.337,3.390,3.679)第一步对作一阶累加(0)X(1)(1)(1)(1)(1)(1)((1),(2),(3),(4),(5))Xxxxxx(2.874,6.152,9.489,12.897,16.558)第二步对作紧邻均值生成。令得(1)X(1)(1)(1)()0.5(1)0.5()zkxkxk(1)(1)(1)(1)(1)((2),(3),(4),(5))Zzzzz(4.513,7.820,11.184,14.718)于是，(1)(1)(1)(1)4.5131(2)17.8201(3)111.1841(4)114.7181(5)1zzBzz(0)(0)(0)(0)3.278(2)3.336(3)3.390(4)3.678(5)xxYxx第三步对参数列进行最小二乘估计。得ˆ(,)Taab10.03720ˆ()3.06536TTaBBBY第四步确定模型及时间相应式(1)(1)0.03723.06536dxxdt(1)(0)ˆ(1)((1))akbbxkxeaa0.037285.27615182.402151ke第五步求的模拟值(1)X(1)(1)(1)(1)(1)(1)ˆˆˆˆˆ((1),(2),(3),(4),(5))Xxxxxx(2.8704,6.1060,9.4605,12.9422,16.5558)第六步还原求出的模拟值得(0)(1)(1)ˆˆˆ(1)(1)()xkxkxk(0)(0)(0)(0)(0)(0)ˆˆˆˆˆ((1),(2),(3),(4),(5))Xxxxxx(2.8740,3.2320,3.3545,3.4817,3.6136)(0)X第七步检验误差。残差平方和平均相对误差(2)(3)[(2),(3),(4),(5)]0.01511(4)(5)Ts5211.6025%4kk误差检验表序号实际数据模拟数据残差相对误差12343.2783.3373.3903.6793.2303.35453.48173.61360.0460-0.0175-0.09170.06541.40%0.52%2.71%1.78%(0)()xk(0)()xk(0)(0)()()()kxkxkk残差修正GM(1,1)若用修正则称修正后的时间响应式为残差修正GM(1,1)模型，简称残差GM(1,1)0(0)0(1)()(0)(0)00((1))ˆ(1)((1))(())akakkakbbxekkaaxkbbbkkxeakeaaa(0)X0新陈代谢GM(1,1)设原始序列为：设为最新信息，置入最新信息，去掉最老信息，称用建立的模型为新陈代谢GM(1,1)(0)(0)(0)(0)((1),(2),,())Xxxxn(0)(1)xn(0)(1)x(0)(0)(0)(0)((2),(3),,(1))XxxxnGM(1，1)模型的变换1.GM增量模型对原始据时间序列采用特殊的预处理，即先进行一累减算子运算，分离出增量部分再对增量序列建立普通GM(1,1)预测模型，最后再经式还原成总量。我们称经过这种变换的模型为灰色增量模型(IGM模型)。(0)(0)(0)(0)()(1)()ztxxtxt(0)(0)(0)(1)()()xtztxt2.新初值GM模型—以为初始条件的GM模型根据灰色系统理论的新信息优先原理，把的第n个分量作为灰色微分模型的初始条件，可以使模型精度有所提高。灰色微分方程的时间响应函数为还原值(1)()xn(1)x(1)(1)()()(())atnbbxtxneaa(0)(1)(1)(1)(1)(1)(1)()(1)(())aatnbxtxtxtexnea(1)x(1)x3.离散GM模型称为离散GM(1,1)模型，即DGM(1,1)模型。时间响应函数：这里，(1)(1)12(1)()xkxk(1)(0)11211(1)(1)1kkxkx112(,)()TTTBBB(0)(0)(0)(1)(2)()xxxn(1)(1)(1)(1)(1)(1)11/2((1)(2)),11/2((2)(3)),11/2((1)()),xxxxBxnxn还原值DGM(1,1)模型是灰色预测模型的一种新形式，可以全面解释原GM(1,1)模型从离散形式到连续形式转变问题，用DGM(1,1)做纯指数增长序列预测模拟，结果完全符合增长规律，解决了预测稳定性问题。(0)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)()xkxkxkxk1,2,1kn4.无偏GM(1,1)模型在求出之后,得到模型：1,()TTTnabBBBY01(0)ˆ()(1)[(1)](2,3,)akaxkexbaek无偏GM(1,1)模型令再令，建立无偏GM(1,1)模型与传统的GM(1,1)模型相比，无偏GM(1,1)模型不存在传统GM(1,1)模型所固有的偏差，因而就消除了传统GM(1,1)模型在原始数据序列增长率较大时失效的现象，使得其应用范围变得更加广泛。此外，无偏GM(1,1)模型无需进行累减还原，简化了建模步骤，提高了模型的计算速度。1222ˆˆln,22abaa1ˆ012ˆˆ(2,3,)kxkek无偏GM(1,1)模型实际应用时，灰色模型维数的选择也影响到预测的精度。对于维数的选择将采用如下的方法：先由全部的个原始数据建立第一个无偏灰色预测模型，考虑所建立的模型是否符合实际要求，否则去掉，用剩余的个数据建立第二个无偏灰色模型，看是否符合实际要求，否则去掉，用剩余的个数据建立第三个无偏灰色模型，依此类推，直到第个数据被去掉为止。在所建立的个无偏灰色模型中选择拟合最优的曲线作为预测曲线。01x1n02x2n14mnmm0xn灰色关联分析灰色关联分析的基本思想根据序列曲线几何形状的相似程度来判断其联系是否紧密。曲线越接近，相应序列之间关联度就越大，反之就越小。关联度关联度分析是分析系统中各因素关联程度的方法，在计算关联度前应计算关联系数。（1）关联系数：设则关联系数定义为：0000ˆˆˆˆ1,2,...,XkXXXn00001,2,...,XkXXXn00000000ˆˆminminmaxmax()ˆˆmaxmaxXkXkXkXkkXkXkXkXk式中：为第k个点和的绝对误差为两极最小差为两极最大差成为分辨率，一般取对单位不一，初值不同的序列，在计算相关系数前应首先进行初始化，即对该序列所有数据分别除以第一个数据00ˆXkXk0X0ˆX00ˆminminXkXk00ˆmaxmaxXkXk010.5（2）关联度和的关联度0Xk0ˆXk11nkrkn灰色绝对关联度设系统行为序列与长度相同，则称为与的灰色绝对关联度，简称绝对关联度。（其中，与为与的始点零化像0iX1((1))niiisXxdt0001((1))nsXxdt0XiX000011iiiissssss0XiX0X00001()niissXXdt00XiX灰色相对关联度设序列长度相同，且初值皆不等于零，分别为的初值像，则称与的灰色绝对关联度为与的灰色相对关联度，简称为相对关联度，记为0XiX'iX'0X0iriX0X'0X'iX0XiX