极坐标与参数方程总结与习题

丛文龙1极坐标教案3.2极坐标系1、定义：在平面内取一个定点O，叫做极点，引一条射线Ox，叫做极轴，再选一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。对于平面内的任意一点M，用ρ表示线段OM的长度，θ表示从Ox到OM的角，ρ叫做点M的极径，θ叫做点M的极角，有序数对(ρ,θ)就叫做点M的极坐标。这样建立的坐标系叫做极坐标系。2、极坐标有四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位及它的方向．极坐标与直角坐标都是一对有序实数确定平面上一个点，在极坐标系下，一对有序实数、对应惟一点P(，)，但平面内任一个点P的极坐标不惟一．一个点可以有无数个坐标，这些坐标又有规律可循的，P(，)（极点除外）的全部坐标为(,＋k2)或（，＋)12(k），(kZ)．极点的极径为0，而极角任意取．若对、的取值范围加以限制．则除极点外，平面上点的极坐标就惟一了，如限定0，0≤＜2或0，＜≤等．极坐标与直角坐标的不同是，直角坐标系中，点与坐标是一一对应的，而极坐标系中，点与坐标是一多对应的．即一个点的极坐标是不惟一的．3、直线相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为：⑴0⑵cosa⑶cosa⑷sina⑸sina⑹)cos(axMO图1丛文龙24、圆相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为)0(a：⑴a⑵cos2a⑶cos2a⑷sin2a⑸sin2a⑹)cos(2a00xOM图1（，）cosaaOM图2cosaaOM图3sinaOM图4asinaOM图5a),(a)cos(aOMpN图6（，）acos2aaxOM图2sin2aaxOM图4sin2aaxOM图5cos2aaxOM图3aaxOM图1),(a)cos(2aaxOM图6丛文龙35、极坐标与直角坐标互化公式：1．直线的极坐标方程若直线l经过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，求直线l的极坐标方程。设直线l上任意一点的坐标为P(ρ，θ)，由正弦定理，得：OPsin∠OMP=OMsin∠OPM整理得直线l的极坐标方程为ρsin(θ−α)=ρ0sin(θ0−α)。一些特殊位置的直线方程如下：经过极点经过定点M(a，0)，且与极轴垂直经过定点M(b，2)，且与极轴平行θ=αρcosθ=aρsinθ=b2．圆的极坐标方程若圆的圆心为M(ρ0，θ0)，半径为r，求圆的极坐标方程。设P(ρ，θ)为圆上任意一点，由余弦定理，得PM2=OM2+OP2−2OM·OPcos∠POM，则圆的极坐标方程是ρ2−2ρ0ρcos(θ−θ0)+ρ20−r2=0xOlMaxO(M)lαcosxsiny222yx)0(tanxxyyyxOMHN(,)（直极互化图）xOP(ρ，θ)M(ρ0，θ0)lαθθ0ρρ0MPρρ0θ0θOxxOlM(b，2)a丛文龙4一些特殊位置的圆的方程如下(设圆的半径为r)：圆心在极点圆心在极点右侧圆心在极点上方圆心在极点左侧圆心在极点下方ρ=rρ=2rcosθρ=2rsinθρ=−2rcosθρ=−2rsinθ（一）曲线的参数方程的定义：在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个变数t的函数，即)()(tfytfx并且对于t每一个允许值，由方程组所确定的点M（x，y）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x、y之间关系的变数叫做参变数，简称参数．（二）常见曲线的参数方程如下：1．过定点（x0，y0），倾角为α的直线：sincos00tyytxx（t为参数）其中参数t是以定点P（x0，y0）为起点，对应于t点M（x，y）为终点的有向线段PM的数量，又称为点P与点M间的有向距离．根据t的几何意义，有以下结论．○1．设A、B是直线上任意两点，它们对应的参数分别为tA和tB，则AB＝ABtt＝BAABtttt4)(2．○2．线段AB的中点所对应的参数值等于2BAtt．2．中心在（x0，y0），半径等于r的圆：sincos00ryyrxx（为参数）3．中心在原点，焦点在x轴（或y轴）上的椭圆：sincosbyax（为参数）（或sincosaybx）xOxOxOOxxO丛文龙5中心在点（x0,y0）焦点在平行于x轴的直线上的椭圆的参数方程为参数）(.sin,cos00byyaxx4．中心在原点，焦点在x轴（或y轴）上的双曲线：tgsecbyax（为参数）（或ecaybxstg）5．顶点在原点，焦点在x轴正半轴上的抛物线：ptyptx222（t为参数，p＞0）直线的参数方程和参数的几何意义过定点P（x0，y0），倾斜角为的直线的参数方程是sincos00tyytxx（t为参数）．【乘积用的】极坐标的点与直角坐标系的点的互化：1．已知3,5M，下列所给出的不能表示点的坐标的是（）AA．3,5B．34,5C．32,5D．35,52．下列各点中与极坐标6,2不表示同一个点的极坐标是（）BＡ．67,2Ｂ．67,2Ｃ．611,2Ｄ．613,23．点3,1P，则它的极坐标是（）CA．3,2B．34,2C．3,2D．34,21．点22，的极坐标为。)4,22(2．若A33，，B64，，则|AB|=_________，SAOB__________。（其中O是极点）[5，6；]丛文龙65．将直角坐标Ｐ3,1化为极坐标)20,0(。)34,2(16.已知三点A(5，2)，B(-8，611)，C(3，67)，则ΔABC形状为.锐角三角形17.点3,1P，则它的极坐标是)3,2(极坐标方程的轨迹1．ABC的底边,21,10BABC以B点为极点，BC为极轴，求顶点A的轨迹方程。1、23sin102sin（提示：用正弦定理解△ABC，ABCACBABsinsin）２．在极坐标系中，已知圆C的圆心C63，，半径=1，Q点在圆C上运动。（1）求圆C的极坐标方程；（2）若P在直线OQ上运动，且OQ∶QP=2∶3，求动点P的轨迹方程。2、（1）08)6cos(62；（2）050)6cos(152（提示：设P),(，Q（),00，依题意得：00,52，代入可得。）17．在平面直角坐标系中已知点A（3，0），P是圆122yx上一个运点，且AOP的平分线交PA于Q点，求Q点的轨迹的极坐标方程。解:以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,设,Q,2,1POAPOQPOQASSS2sin1321sin21sin321cos23OPAQ丛文龙7题型：一、极坐标方程与直角坐标方程的互化互化条件：极点与原点重合，极轴与x轴正半轴重合，长度单位相同.互化公式：sincosyx或)0(tan222xxyyxθ的象限由点(x,y)所在的象限确定.例1(2007海南宁夏)⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别为cos4，sin4．(I)把⊙O1和⊙O2的极坐标方程化为直角坐标方程；(II)求经过⊙O1，⊙O2交点的直线的直角坐标方程．例3(1998年上海)以直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,若椭圆两焦点的极坐标分别是(1,2),(1,23),长轴长是4,则此椭圆的直角坐标方程是_______________.解：由已知条件知椭圆两焦点的直角坐标为(0,1),(0,-1).c=1,a=2,b2=a2-c2=3,故所求椭圆的直角坐标方程为4322yx=15.与参数方程为()21xttyt为参数等价的普通方程为（）A.214y2xB.21(01)4yx2xC.21(02)4yy2xD.21(01,02)4yxy2x二、已知曲线的极坐标方程,判断曲线类型例4(1990年全国)极坐标方程4sin22=5所表示的曲线是(A)圆(B)椭圆(C)双曲线的一支(D)抛物线解:由已知极坐标方程及三角公式得:2(1-cos)=5,∴2=2cos+5,由互化公式得222yx=2x+5,平方整理得y2=5(x+45),方程表示的曲线是抛物线,故选D.评述:对于给出的极坐标方程相对于极坐标系而言不是标准的,一般将其等价转化为直角坐标方程来判断其曲线类型.类题:1(1991年三南)极坐标方程4sin2=3表示的曲线是(A)二条射线(B)二条相交直线(C)圆(D)抛物线(答案:B)2(1987年全国)极坐标方程=sin+2cos所表示的曲线是(A)直线(B)圆(C)双曲线(D)抛物线(答案:B)3(2001年广东、河南)极坐标方程2cos2=1所表示的曲线是(A)两条相交直线(B)圆(C)椭圆(D)双曲线(答案:D)4(2003北京)极坐标方程1cos22cos2表示的曲线是(A)圆(B)椭圆(C)抛物线(D)双曲线(答案:D)丛文龙80x0x0x0x例5(1994年全国)极坐标方程=cos(4-)所表示的曲线是(A)双曲线(B)椭圆(C)抛物线(D)圆解:曲线=cos(4-)=cos(-4)是把圆=cos绕极点按逆时针方向旋转4而得,曲线的形状仍然是一个圆,故选D评述:把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程较为麻烦,利用旋转不变性则更容易得出答案.方程cos(-0)=0表示一条直线,方程=acos(-0)表示半径为2||a,圆心为(2||a,0)的圆,要注意两者的区别.2.参数方程为1()2xttty为参数表示的曲线是（）A.一条直线B.两条直线C.一条射线D.两条射线例6(2001年全国)极坐标方程=2sin(+4)的图形是(A)(B)(C)(D)解:圆=2sin(+4)是把圆=2sin绕极点按顺时针方向旋转4而得,圆心的极坐标为(1,4),故选C.类题:1(2002江苏)极坐标方程cos与cos=21的图形是21212121(A)(B)(C)(D)(答案:B)2(2004北京春)在极坐标系中，圆心在(),2且过极点的圆的方程为(A)cos22(B)cos22(C)sin22(D)sin22(答案:B)1x01x01x0x01丛文龙9谜底三、判断曲线位置关系例7(2000年京皖春)直线=和直线sin(-)=1的位置关系(A)垂直(B)平行(C)相交但不垂直(D)重合解:直线sin(-)=1是把直线sin=1绕极点按逆时针方向旋转角而得,从而两直线平行,故选B.评注:对直线sin(-)=1与直线sin=1的关系要十分熟悉.四、根据条件求直线和圆的极坐标方程例8(2002北京春)在极坐标系中,如果一个圆的方程是=4cos+6sin，那么过圆心且与极轴平行的直线方程是(A)sin=3(B)sin=–3(C)cos=2(D)cos=–2解:将圆的极坐标方程化为直角坐标方程得:x2+y2=4x+6y,即(x-2)2+(y-3)2=13.圆心为(2,3),所求直线方程为y=3,即sin=3,故选A.评述