矢量的运算法则

工程电磁场矢量的运算法则1.加法:矢量加法是矢量的几何和,服从平行四边形规则。a.满足交换律：ABBAb.满足结合律：CABBACBAC()()()()ABCDACBD工程电磁场zoyx三个方向的单位矢量用表示。ˆˆˆ,,xyzaaa根据矢量加法运算：xyzAAAAˆˆˆ,,xxxyyyzzzAAaAAaAAa所以：ˆˆˆxxyyzzAAaAaAa在直角坐标系下的矢量表示:AxAyAzA其中：工程电磁场矢量：ˆˆˆxxyyzzAAaAaAa模的计算：222||xyzAAAA单位矢量：ˆˆˆˆ||||||||yxzxyzAAAAaaaaAAAA方向角与方向余弦：,,||cos,||cos,||cosAAAAAAzyxˆˆˆcoscoscosxyzaaa在直角坐标系中三个矢量加法运算：ˆˆˆ()()()xxxxyyyyzzzzABCABCaABCaABCazoyxAxAyAzA工程电磁场2.减法：换成加法运算()DABABABCBAB逆矢量：和的模相等，方向相反，互为逆矢量。B()BDBADABC0在直角坐标系中两矢量的减法运算：ˆˆˆ()()()xxxyyyzzzABABaABaABa推论：任意多个矢量首尾相连组成闭合多边形，其矢量和必为零。工程电磁场3.乘法：（1）标量与矢量的乘积：0ˆ||00kkAkAakk方向不变，大小为|k|倍方向相反，大小为|k|倍（2）矢量与矢量乘积分两种定义a.标量积（点积）：||||cosABABBA两矢量的点积含义：一矢量在另一矢量方向上的投影与另一矢量模的乘积，其结果是一标量。工程电磁场•在直角坐标系中，已知三个坐标轴是相互正交的，即ˆˆˆˆˆˆ0,0,0ˆˆˆˆˆˆ1,1,1xyxzyzxxyyzzaaaaaaaaaaaa有两矢量点积：ˆˆˆˆˆˆ()()xxyyzzxxyyzzABAaAaAaBaBaBazzyyxxBABABA•结论:两矢量点积等于对应分量的乘积之和。推论1：满足交换律推论2：满足分配律推论3：当两个非零矢量点积为零,则这两个矢量必正交。ABBA()ABCABAC工程电磁场推论1：不服从交换律：,ABBAABBA推论2：服从分配律：()ABCABAC推论3：不服从结合律：()()ABCABC推论4：当两个非零矢量叉积为零，则这两个矢量必平行。b.矢量积（叉积）：ˆ||||sincABABa•含义：两矢量叉积，结果得一新矢量，其大小为这两个矢量组成的平行四边形的面积，方向为该面的法线方向，且三者符合右手螺旋法则。BAˆca工程电磁场在直角坐标系中，两矢量的叉积运算如下：ˆˆˆxyzxyzxyzaaaABAAABBBˆˆˆˆˆˆ()()xxyyzzxxyyzzABAaAaAaBaBaBaˆˆˆ()()()yzzyxzxxzyxyyxzABABaABABaABABa两矢量的叉积又可表示为：xyzo工程电磁场（3）三重积：三个矢量相乘有以下几种形式：()ABC矢量，标量与矢量相乘。()ABC标量，标量三重积。矢量，矢量三重积。a.标量三重积法则：在矢量运算中,先算叉积,后算点积。定义：||||||sincosABCABC()ABC含义：标量三重积结果为三矢量构成的平行六面体的体积。ABChBC工程电磁场注意：先后轮换次序。推论：三个非零矢量共面的条件。在直角坐标系中：()0ABC()xyzxyzxyzAAAABCBBBCCCˆˆˆˆˆˆ()()xyzxxyyzzxyzxyzaaaABCAaAaAaBBBCCCb.矢量三重积：()()()ABCBACCAB()()()VABCCABBCAABChBC工程电磁场例1：1234ˆˆˆˆˆˆ2,32ˆˆˆˆˆˆ23,325xyzxyzxyzxyzraaaraaaraaaraaa求：4123rarbrcr中的标量a、b、c。解：ˆˆˆ325ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ(2)(32)(23)xyzxyzxyzxyzaaaaaaabaaacaaaˆˆˆ(22)(3)(23)xyzabcaabcaabca则：设213abc22332235abcabcabc工程电磁场例2：已知ˆˆˆ263xyzAaaaˆˆˆ43xyzBaaa求：确定垂直于、所在平面的单位矢量。AB解：已知AB所得矢量垂直于、所在平面。ABˆnABaABˆˆˆˆˆˆ263151030431xyzxyzaaaABaaa1ˆˆˆˆ(326)7nxyzaaaa222||15(10)3035AB工程电磁场已知A点和B点对于原点的位置矢量为和，求：通过A点和B点的直线方程。例3：ab()cakba其中：k为任意实数。(1)ckakbxyzCcABab解：在通过A点和B点的直线方程上，任取一点C，对于原点的位置矢量为，则c工程电磁场矢量微分元：线元、面元、体元例：d,d,dFlBSV其中：和称为微分元。d,dlSdV1.直角坐标系在直角坐标系中，坐标变量为(x,y,z)，如图，做一微分体元。线元：ˆddyylyaˆˆˆddddxyzlxayazadldSˆddxxlxaˆddzzlza面元：ˆdddxxSyza体元：ddddVxyzˆdddyySxzaˆdddzzSxya工程电磁场2.圆柱坐标系在圆柱坐标系中，坐标变量为，如图，做一微分体元。(,,)rz线元：ddddrzlrarazadddrrSrzadddSrzadddzzSrraddddVrrz面元：体元：工程电磁场3.球坐标系在球坐标系中，坐标变量为，如图，做一微分体元。(,,)R2dsinddRRSRadsinddSRRadddSRRadddsindRlRaRaRa线元：面元：体元：2dsindddVRR工程电磁场在柱坐标系中：在球坐标系中：在任意正交曲线坐标系中：ˆˆˆrzaaarrzˆˆˆsinRaaaRRR123112233ˆˆˆuuuaaahuhuhu在不同的坐标系中，梯度的计算公式：在直角坐标系中：ˆˆˆxyzaaaxyz工程电磁场柱坐标系中：1()1rzFFrFFrrrz球坐标系中：22(sin)()111sinsinRFFRFFRRRR132231213123123()()1uuuFhhFhhFhhFhhhuuu正交曲线坐标系中：直角坐标系中：yxzFFFFxyz常用坐标系中，散度的计算公式工程电磁场为了便于记忆，将旋度的计算公式写成下列形式:ˆˆˆxyzxyzaaaFxyzFFF类似地，可以推导出在广义正交坐标系中旋度的计算公式：123123123123123123ˆˆˆ1uuuuuuhahahaFhhhuuuhFhFhFˆˆˆyyxxzzxyzFFFFFFFaaayzzxxy旋度公式：工程电磁场重要的场论公式(1)()01.两个零恒等式任何标量场梯度的旋度恒为零。(2)()0F任何矢量场的旋度的散度恒为零。工程电磁场在圆柱坐标系中：2222221)(1zrrrrr在球坐标系中：22222222111()(sin)sinsinRRRRRR在广义正交曲线坐标系中：22313121231112223331()()()hhhhhhhhhuhuuhuuhu2.拉普拉斯算子2()在直角坐标系中：2222222zyx工程电磁场)(()AAAAAA)(()()()()()ABABBAABBA()ABBAAB()()()ABABBABAAB3.常用的矢量恒等式