2019年湖南省对口高考数学试卷及参考答案

2019年湖南省对口高考数学试卷一、选择题（每小题4分，共40分）1、已知集合},B{0,3}{1Aa，，且}3,2,1,0{BA，则a（）A、0B、1C、2D、3【解析】因为{1,3}{0,}{0,1,3,}{0,1,2,3}ABaa，所以2a，选C2、“4x”是“2x”的（）条件A、充分不必要B、必要不充分C、充分必要D、既不充分又不必要【解析】因为由“4x”可以得出“2x”，而“2x”不能得出“4x”，所以“4x”是“2x”的充分不必要条件。选A3、过点(1,1)P且与直线340xy平行的直线方程是（）A、4370xyB、3410xyC、4310xyD、3410xy【解析】过一点与已知直线0AxByC的平行的直线方程可以设为10AxByC。本题中设所求直线方程为340xyc，将(1,1)P代入得：1c，故所求直线方程为3410xy。选D4、函数2()log([1,8])fxxx的值域为（）A、[0,4]B、[0,3]C、[1,4]D、[1,3]【解析】2()log([1,8])fxxx是单调增函数，所以(1)()(8)ffxf，又2(1)log10,f2(8)log83f，所以2()log([1,8])fxxx的值域为[0,3]。选B5、不等式(1)0xx的解集是（）A、{|1}xxB、{|0}xxC、{|10}xxD、{|1xx或0}x【解析】因为(1)0xx的解为121,0xx，且2x的系数10，所以(1)0xx的解集为{|10}xx。选C6、已知3tan4，且为第二象限角，则sin=（）A、45B、45C、35D、35【解析】由sintancos得：222sintan11cos，即22222sincos1tan1coscos所以221325()1cos416，216cos25，又为第二象限角，所以2sin1cos，即163sin1255。选D7、已知,AB为圆221xy上两点，O为坐标原点，若||2AB，则OAOB（）A、32B、0C、12D、2【解析】由题意得：||||1OAOB。||||cos11cosOAOBOAOBAOBAOBcosAOB。又222||||||2||||cosABOAOBOAOBAOB，所以有2(2)112cos,cos0AOBAOB，所以0OAOB。选B8、函数()sin2fxAx（A为常数）的部分图像如下，则A=（）【解析】由图可得：当2x时，()sin()2232fxAA，所以A=1。选AA、1B、2C、3D、-19、下列命题中，正确的是（）A、垂直于同一直线的两条直线平行B、垂直于同一平面的两个平面平行C、若平面外有两个点到一个平面的距离相等，则该直线平行于这个平面D、一条直线与两个平行平面中的一个垂直，则必与另一个垂直【解析】垂直于同一直线的两条直线可以平行、相交、异面；垂直于同一平面的两个平面可以平行、相交；直线与平面斜交时，也存在两个点到该平面的距离相等。故选D10、已知直线1axby（,ab为常数）经过点(cos,sin)33，则下列不等式一定成立的是（）A、221abB、221abC、1abD、1ab【解析】由直线1axby经过点(cos,sin)33得：13122ab，即32ab，23ab2222222231(23)44434(31)4[(3)]443114[()]4(0)1,244abbbbbbbbbbA所以选二、填空题（每小题4分，共20分）11、在一次射击比赛中，某运动员射击20次的成绩如下单次成绩（环）78910次数4664则该运动员的平均成绩为（环）。【解析】4768694108.54664x12、已知向量(1,0),(0,1),(13,14)abc，且cxayb，则xy。【解析】(1,0)(0,1)(,0)(0,)(,)(13,14)cxaybxyxyxy，所以13,14xy，27xy13、已知5(1)ax的展开式中x的系数为10，则a。【解析】设第1r项的展开式含x，则有555155()1rrrrrrrTCaxCax，所以51r4r。x的系数为4510Ca，所以2a14、将2，5，11三个数分别加上相同的常数m，使这三个数成等比数列，则m。【解析】由题意得：2(5)(2)(11)mmm，整理得：33m，所以1m15、已知函数()()fxxR为奇函数，()()gxxR为偶函数，且2()()41fxgxxx，则(2)(2)fg。【解析】由()fx为奇函数()gx为偶函数得：2()()()()()41fxgxfxgxxx，又22()()()4141fxgxxxxx，所以2(2)(2)242113fg，所以(2)(2)13fg三、解答题（每小题10分，共60分。第21、22为选做题，若两题都作答，则只计第21题分）16、已知数列{}na为等差数列，121,3aa；（1）求数列{}na的通项公式；（2）设(1)nnnba，数列{}nb的前n项和为nT，求100T【解析】（1）解：设数列{}na的公差为d，则21312daa，1(1)21naandn（2）解：因为(1)(21)nnbn，所以1234991001,3,5,7,,197,199bbbbbb1001357(197)199250100T17、10件产品中有2件不合格品，每次取一件，有放回地抽取三次，用表示取到不合格品的次数，求：（1）随机变量的分布列；（2）三次中至少有一次取到不合格品的概率。【解析】（1）解：（1）随机变量的取值为0，1，2，31038311064(0)()125CPCC；111228311101048(1)()()125CCPCCC；112228311101012(2)()()125CCPCCC；133231101(3)()125CPCC。分布列为：0123P6412548125121251125（2）设A=｛三次中至少有一次取到不合格品｝，则A的对立事件A=｛三次中全部取到合格品｝，此时64()(0)125PAP，所以6461()1125125PA答：三次中至少有一次取到不合格品的概率为61125。18、已知函数2,02,()6,24xxfxxx；（1）画出()fx的图像；（2）若()2fm，求m的取值范围。【解析】（1）解作图如右。抛物线部分描点如下：(0,0)、(0.5,0.25)、(1,1)、(1.5,2.25)、(2,4)，用光滑的曲线连接。线段部分描点如下：(2,4)、(4,2)，连接这两点间线段。（2）解：由题意得：22,0262,24mmmm，所以有24m故m的取值范围为[2,4]19、如图在三棱柱111ABCABC中，1BAAAC底面，1ABBC，90ABC，D为AC的中点；（1）证明：11AABDCC平面；（2）若直线1BA与11ACCA平面所成角为30，求三棱柱111ABCABC的体积。【解析】（1）证明：因为1ABBC且D为AC的中点，所以BDAC；因为1BAAAC底面，BDABC底面，所以1BDAA。1ACAAA，所以11AABDCC平面。（2）解：连1DA，因为11AABDCC平面，所以1BA在11ACCA平面的射影为1DA，即直线1BA与1DA所成角为30。在直角ABC中，90ABC，1ABBC，所以22BDDA。在直角1BDA中，190BDA，130BAD，22BD，所以12BA。在直角1BAA中，190BAA，11,2ABBA，所以1211AA。ABC的面积11111222sABAC，所以三棱柱的体积11122Vsh三棱柱。即三棱柱111ABCABC的体积为12。20、已知椭圆C：2212xy（1）求椭圆的离心率（2）已知点(1,0)M，直线1yx与椭圆C交于A，B两点，求ABM的面积。【解析】（1）解：由题可得：22,1ab，所以2a，22211cab。离心率1222cea（2）解：将直线1yx与椭圆C：2212xy方程中得：22(1)12xx整理得：2340xx设A、B坐标分别为1122(,),(,)xyxy，则12,xx满足方程2340xx所以有12124,03xxxx；又直线斜率1k，所以有221212||1()4ABkxxxx2244211()4033点(1,0)M到直线10xy距离002222|||1(1)101|21(1)AxByCdAB所以ABM的面积14242233ABMs选做题：请在第21、22题中选做一题，若两题都作答，则只计第21题分，请写清题号。21、如图，在直角ABC中，90,60,2ACBABCBC，M为ABC内一点，90BMC，且1MC。（1）求AM的长；（2）求sinAMB的值。【解析】（1）由90BMC，且1MC，，2BC得：3BM，30MBC。在直角ABC中，90,60,2ACBABCBC，所以30ABM，4AB由余弦定理得：2222cosAMABBMABBMABM即2224(3)243cos307AM，7AM（2）由正弦定理得：sinsinABAMAMBABM，即47sinsin30AMB，所以27sin7AMB22、某企业生产A、B两种产品，生产一件A产品需要新型材料2千克，用3个工时；生产一件B产品需要新型材料1千克，用2个工时；生产一件A产品的利润为1600元，生产一件B产品的利润为1000元。现有新型材料200千克，问该企业在不超过360个工时的条件下，如何规划生产，才能使企业获得的总利润最大？并求出总利润的最大值。【解析】解：设生产A、B产品分别为,xy件，可使企业获得的总利润z元，由题意得：目标函数：16001000zxy（元）约束条件：22003236000xyxyxy作出可行域如右图。当目标函数经过点A时，取得最大值。A点坐标由220032360xyxy确定。求得A为(40,120)所以1600401000120184000z最大值（元）答：生产A、B产品分别为40,120件时，可使企业获得的总利润最大，最大利润为184000元。