信号与系统第三章(陈后金)1

信号与系统SignalsandSystems普通高等教育“十一五”国家级规划教材《信号与系统》陈后金，胡健，薛健高等教育出版社，2007年系统的时域分析线性非时变系统的描述及特点连续时间LTI系统的响应离散时间LTI系统的响应冲激响应表示的系统特性线性非时变系统的描述及特点线性非时变(LTI)系统的描述线性非时变(LTI)系统的特点线性特性非时变特性微分（差分）特性积分（求和）特性线性非时变(LTI)系统的描述LR+-x(t)i(t)RL串联电路)()(d)(dtxtRittiL由KVL，可得一阶连续系统用一阶微分方程描述一阶连续LTI系统用一阶常系数线性微分方程描述线性非时变(LTI)系统的描述连续LTI系统用n阶常系数线性微分方程描述)()(')()()()(')()(01)1(1)(01)1(1)(txbtxbtxbtxbtyatyatyatymmmmnnnai、bj为常数。离散LTI系统用n阶常系数线性差分方程描述][][00jkxbikyajmjiniai、bj为常数。线性非时变(LTI)系统的特点连续系统，若)()(),()(2211tytxtytx)()()()(2121tytytxtx1．线性特性][][],[][2211kykxkykx离散系统，若][][][][2121kykykxkx其中，为任意常数则则线性非时变(LTI)系统的特点1．线性特性（含有初始状态）)()()0()()0()(212211tybtyaytxbytxaT连续时间系统若则)()0()(111tyytxT)()0()(222tyytxT线性非时变(LTI)系统的特点1．线性特性（含有初始状态）离散时间系统若则][][]0[][]0[][212211kybkyaykxbykxaT][]0[][111kyykxT][]0[][222kyykxT线性非时变(LTI)系统的特点1．线性特性（含有初始状态）结论:具有初始状态的线性系统，输出响应等于零输入响应与零状态响应之和。)()()(zszitytyty][][][zszikykyky[例]判断下列系统是否为线性系统？（其中y(0)、y[0]为系统的初始状态，x(t)、x[k]为系统的输入激励，y(t)、y[k]为系统的输出响应）。)(4)0(5)()1(txyty)(6)0(2)()2(2txyty)(3)()0(4)()3(txtxytyttxtytyd)(dsin2)0(4)()4(][]0[][)5(0ixkykyki2、零输入线性，系统的零输入响应必须对所有的初始状态呈现线性特性。解：分析因为任意线性系统的输出响应都可分解为零输入响应与零状态响应两部分之和，所以判断一个系统是否为线性系统，应从三个方面来判断：1、具有可分解性3、零状态线性，系统的零状态响应必须对所有的输入信号呈现线性特性。)()()(zszitytyty离散线性系统的判断类似[例]判断下列系统是否为线性系统？（其中y(0)、y[0]为系统的初始状态，x(t)、x[k]为系统的输入激励，y(t)、y[k]为系统的输出响应）。)(4)0(5)()1(txyty)(6)0(2)()2(2txyty)(3)()0(4)()3(txtxytyttxtytyd)(dsin2)0(4)()4(][]0[][)5(0ixkykyki线性系统非线性系统非线性系统线性系统零状态响应非线性不满足可分解性线性系统1．在判断可分解性时，应考察系统的完全响应y(t)是否可以表示为两部分之和，其中一部分只与系统的初始状态有关，而另一部分只与系统的输入激励有关。2．在判断系统的零输入响应yzi(t)是否具有线性时，应以系统的初始状态为自变量（如上述例题中y(0))，而不能以其它的变量（如t等）作为自变量。3．在判断系统的零状态响应yzs(t)是否具有线性时，应以系统的输入激励为自变量(如上述例题中x(t))，而不能以其它的变量（如t等）作为自变量。连续时间系统，若离散时间系统，若线性非时变(LTI)系统的特点2．非时变特性)()(zstytx)()(0zs0ttyttx][][zskykx][][zsnkynkx则则线性非时变(LTI)系统的特点3．微分（差分）特性连续时间系统，离散时间系统，若T{x(t)}=y(t)则ttyttxTd)(d}d)(d{若T{x[k]}=y[k]则T{x[k]-x[k-1]}=y[k]-y[k-1]线性非时变(LTI)系统的特点4．积分（求和）特性连续时间系统，离散时间系统，若T{x(t)}=y(t)则d)(}d)({yxTtt若T{x[k]}=y[k]则][]}[{nynxTknkn[例]已知LTI系统在x1(t)激励下产生的响应为y1(t)，试求系统在x2(t)激励下产生的响应y2(t)。解：t011x1(t)e2tu(t)y1(t)t011x2(t)t011从x1(t)和x2(t)图形可以看得出，x2(t)与x1(t)存在以下关系d)()1()(11)1(12xtxtxt根据线性非时变性质，y2(t)与y1(t)之间也存在同样的关系d)()(112ytyt)1()e1(5.0)1(2tut连续时间LTI系统的响应连续时间系统的零输入响应连续时间系统的零状态响应冲激响应卷积积分连续时间LTI系统的响应经典法和卷积法经典法：求解微分方程响应时域求解方法:微分方程的全解即系统的完全响应,由齐次解yh(t)和特解yp(t)组成)()()(phtytyty齐次解yh(t)的形式由齐次方程的特征根确定特解yp(t)的形式由方程右边激励信号的形式确定[例]已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程初始条件y(0)=1,y'(0)=2,输入信号x(t)=etu(t)，求系统的完全响应y(t)。0),()(8)('6)(ttxtytyty0862ss4221ss，ttKKty3221hee)(特征根为齐次解yh(t)解:(1)求齐次方程y''(t)+6y'(t)+8y(t)=0的齐次解yh(t)特征方程为t0[例]已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程初始条件y(0)=1,y'(0)=2,输入信号x(t)=etu(t)，求系统的完全响应y(t)。0),()(8)('6)(ttxtytyty解:(2)求非齐次方程y''(t)+6y'(t)+8y(t)=x(t)的特解yp(t)由输入x(t)的形式，设方程的特解为yp(t)=Cet将特解带入原微分方程即可求得常数C=1/3。t0[例]已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程初始条件y(0)=1,y'(0)=2,输入信号x(t)=etu(t)，求系统的完全响应y(t)。0),()(8)('6)(ttxtytyty解:(3)求方程的全解解得A=5/2，B=11/6tttBAtytytye31ee)()()(42ph131)0(BAy23142)0('BAy0,e31e611e25)(42ttyttt1)若初始条件不变，输入信号x(t)=sintu(t)，则系统的完全响应y(t)=？2)若输入信号不变，初始条件y(0)=0,y'(0)=1,则系统的完全响应y(t)=？经典法不足之处若微分方程右边激励项较复杂，则难以处理。若激励信号发生变化，则须全部重新求解。若初始条件发生变化，则须全部重新求解。这种方法是一种纯数学方法，无法突出系统响应的物理概念。连续时间LTI系统的响应经典法和卷积法响应时域求解方法:经典法：求解微分方程卷积法：系统完全响应=零输入响应+零状态响应求解齐次微分方程得到零输入响应利用卷积积分可求出零状态响应)()()(zszitytyty)(*)()(zithtxty一、系统的零输入响应定义：系统的零输入响应是输入信号为零，仅由系统的初始状态单独作用而产生的输出响应。0)()(')()(01)1(1)(tyatyatyatynnn数学模型:求解方法：根据微分方程的特征根确定零输入响应的形式再由初始状态确定待定系数。齐次解yh(t)的形式(1)特征根是不等实根s1,s2,,sntsntstsnKKKtyeee)(2121h(2)特征根是等实根s1=s2==sn=stsnntststKtKKty121heee)((3)特征根是成对共轭复根)sincos(e)sincos(e)(11211h1tKtKtKtKtyinintti2/,jnisiii一、系统的零输入响应解:系统的特征方程为[例]已知某线性时不变系统的动态方程式为:y(t)+5y'(t)+6y(t)=4x(t),t0系统的初始状态为y(0)=1，y'(0)=3，求系统的零输入响应yzi(t)。0652ss3221ss，ttKKty3221ziee)(0,e5e6)(32zittytt系统的特征根为y(0)=yzi(0)=K1+K2=1y'(0)=y'zi(0)=2K13K2=3解得K1=6，K2=5[例]已知某线性时不变系统的动态方程式为:y(t)+4y'(t)+4y(t)=3x(t),t0系统的初始状态为y(0)=2，y'(0)=1，求系统的零输入响应yzi(t)。解:系统的特征方程为0442ss221sstttKKty2221ziee)(0,e3e2)(22zitttytt系统的特征根为（两相等实根）y(0)=yzi(0)=K1=1;y'(0)=y'zi(0)=2K1+K2=3解得K1=2,K2=3[例]已知某线性时不变系统的动态方程式为：y(t)+2y'(t)+5y(t)=4x(t),t0系统的初始状态为y(0)=1，y'(0)=3，求系统的零输入响应yzi(t)。解:系统的特征方程为系统的特征根为0522ssj21j2121ss，)2sin2cose)(21zitKtKtyt（y(0)=yzi(0)=K1=1y'(0)=y'zi(0)=K1+2K2=3解得K1=1，K2=20),2sin22(cose)(zittttyt二、系统的零状态响应求解系统的零状态响应yzs(t)方法：1)直接求解初始状态为零的微分方程。2)卷积法：利用信号分解和线性非时变系统的特性求解。定义：当系统的初始状态为零时，由系统的外部激励x(t)产生的响应称为系统的零状态响应，用yzs(t)表示。卷积法求解系统零状态响应yzs(t)的思路1)将任意信号分解为单位冲激信号的线性组合2)求出单位冲激信号作用在初始状态为零的系统上的响应——冲激响应3)利用线性非时变系统的特性，即可求出任意信号x(t)激励下系统的零状态响应yzs(t)。卷积法求解系统零状态响应yzs(t)推导)()(tht)()(tht)()()()(thxtx由非时变特性由均匀特性由积分特性d)()()(txtxd)()()(zsthxty)()(d)()()(zsthtxthxty[例]已知某LTI系统的动态方程式为：y'(t)+3y(t)=2x(t)系统的冲激响应h(t